Mesure finie

Sur un espace mesurable , une mesure finie (ou mesure bornée) est une mesure positive μ pour laquelle μ(X) est fini, ou plus généralement une mesure signée, voire une mesure complexe (en) dont la masse (valeur sur X de la variation totale |μ| de μ) est finie.

Fonctions intégrablesModifier

Toute fonction complexe f mesurable et bornée est intégrable contre toute mesure finie   ; et on dispose de la majoration :

 

Exemples de mesures finiesModifier

Suite décroissante des espaces LpModifier

D'après l'inégalité de Hölder ou celle de Jensen, les espaces Lp d'une mesure finie forment une famille décroissante pour l'inclusion, avec des injections continues. Plus précisément :

 

Une réciproque très forte est vraie : si μ est σ-finie et s'il existe p et q, avec 1 ≤ p < q ≤ +∞, tels que Lp(μ) ⊃ Lq(μ), alors μ est finie[1].

Espace des mesures finiesModifier

Toute somme de mesures finies (signées ou complexes) est une mesure finie. Toute mesure proportionnelle à une mesure finie est une mesure finie.

L'espace   des mesures finies (signées ou complexes) forme un espace de Banach (réel ou complexe) pour la norme :

 

Pour toute mesure ν sur   (finie ou pas), l'application f fν induit une isométrie de L1(ν) sur un sous-espace vectoriel fermé de  .

Lorsque ν est σ-finie, ce sous-espace auquel L1(ν) s'identifie est égal (d'après le théorème de Radon-Nikodym) à l'ensemble de toutes les mesures finies absolument continues par rapport à ν. Il est inclus dans le dual topologique de L(ν) :

 

Cette inclusion est stricte (sauf dans les cas triviaux) car (L(ν))' est constitué des « mesures » (finies et absolument continues par rapport à ν) qui sont seulement finiment additives.

Note et référenceModifier

  1. (en) Walter Rudin, Real and complex analysis [détail des éditions] (lire en ligne) : on commence par montrer qu'une telle inclusion est automatiquement continue, grâce au théorème du graphe fermé et à un lemme (cf. Théorème de Riesz-Fischer) qui garantit que toute suite convergente dans Lp possède une sous-suite qui converge presque partout.