En mathématiques , les multi-indices généralisent la notion d'indice entier en permettant d'envisager plusieurs variables entières pour une indexation. L'utilisation des multi-indices a pour but de simplifier les formules qu'on rencontre dans le calcul à plusieurs variables, que ce soit pour le calcul polynomial ou en analyse vectorielle .
Un multi-indice de taille n est un vecteur
α
=
(
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
)
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}
à coefficients
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
Au multi-indice α est associé
sa longueur (parfois appelée module )
|
α
|
{\displaystyle |\alpha |}
|
α
|
=
∑
k
=
1
n
α
k
=
α
1
+
…
+
α
n
{\displaystyle |\alpha |\ =\ \sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\ =\ \alpha _{1}\ +\ \dots \ +\ \alpha _{n}}
On utilise pour un vecteur
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
x
α
=
x
1
α
1
x
2
α
2
…
x
n
α
n
=
∏
k
=
1
n
x
k
α
k
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}=\prod _{k=1}^{n}x_{k}^{\alpha _{k}}}
Et on peut introduire l'opérateur différentiel
∂
α
:=
∂
1
α
1
∂
2
α
2
…
∂
n
α
n
avec
∂
i
j
:=
∂
j
∂
x
i
j
.
{\displaystyle \partial ^{\alpha }:=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}\qquad {\hbox{avec}}\qquad \partial _{i}^{j}:={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{i}^{j}}}.}
Il faut prendre garde à n'utiliser cette notation que dans le cas de fonctions pour lesquelles l'ordre des dérivations n'importe pas (c'est-à-dire vérifiant par exemple les conditions du théorème de Schwarz ).
Plus généralement, on peut définir un opérateur différentiel d'ordre N pour n variables par une formule telle que
P
(
∂
)
=
∑
|
α
|
≤
N
a
α
(
x
)
∂
α
{\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}}
Pour écrire les formules classiques, on introduit une multi-factorielle généralisant la factorielle :
α
!
=
∏
k
=
1
n
(
α
k
!
)
=
α
1
!
×
…
×
α
n
!
{\displaystyle \alpha \,!\ =\ \prod _{k=1}^{n}(\,\alpha _{k}\,!\,)\ =\ \alpha _{1}\,!\ \times \ \dots \ \times \ \alpha _{n}\,!}
Et il est possible de généraliser les coefficients binomiaux :
(
α
β
)
=
α
!
(
α
−
β
)
!
β
!
=
(
α
1
β
1
)
(
α
2
β
2
)
…
(
α
n
β
n
)
{\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\frac {\alpha !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}}
Les coefficients multinomiaux peuvent également s'écrire à l'aide d'une notation multi-indice :
(
k
α
)
=
k
!
α
1
!
α
2
!
⋯
α
n
!
=
k
!
α
!
{\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}
|
α
|
=
k
{\displaystyle |\alpha |=k\,}
Enfin pour décrire les domaines d'indexation il est utile de donner une relation d'ordre partielle sur les multi-indices
α
≤
β
⟺
∀
i
∈
[
[
1
;
n
]
]
,
α
i
≤
β
i
{\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Longleftrightarrow \quad \forall i\in [\![1;n]\!],\quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad }
Avec ces notations un certain nombre de formules classiques s'écrivent de façon relativement compacte et admettent des généralisations vectorielles.
Généralisation de la formule du binôme de Newton
(
x
+
y
)
α
=
∑
β
≤
α
(
α
β
)
x
α
−
β
y
β
{\displaystyle \left(\mathbf {x} +\mathbf {y} \right)^{\alpha }=\sum _{\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }\,\mathbf {x} ^{\alpha -\beta }\mathbf {y} ^{\beta }}
On peut également donner une écriture compacte de la formule du multinôme
(
∑
i
=
1
n
x
i
)
k
=
∑
|
α
|
=
k
k
!
α
!
x
α
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}}
Il est souvent utile de disposer de l'effet d'un opérateur différentiel sur un monôme
∂
i
x
k
=
{
k
!
(
k
−
i
)
!
x
k
−
i
si
i
≤
k
0
sinon.
{\displaystyle \partial ^{i}x^{k}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&{\hbox{si}}\,\,i\leq k\\0&{\hbox{sinon.}}\end{matrix}}\right.}
Généralisation de la formule de Leibniz u, v
∂
α
(
u
v
)
=
∑
ν
≤
α
(
α
ν
)
∂
ν
u
∂
α
−
ν
v
{\displaystyle \partial ^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }u\,\partial ^{\alpha -\nu }v}}
Il en découle une formule d'intégration par parties support compact il vient
∫
u
(
∂
α
v
)
d
x
=
(
−
1
)
|
α
|
∫
(
∂
α
u
)
v
d
x
{\displaystyle \int {u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int {(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}}
Formule qui est utile par exemple en distribution .
Écriture des différentes formules de Taylor :
f
(
x
+
h
)
=
∑
|
α
|
≤
n
∂
α
f
(
x
)
|
α
|
!
h
α
+
R
n
(
x
,
h
)
{\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{|\alpha |!}}\mathbf {h} ^{\alpha }}+R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )}
où l'expression du dernier terme (reste) dépend de la formule utilisée. Par exemple pour la formule avec reste intégral il vient
R
n
(
x
,
h
)
=
(
n
+
1
)
∑
|
α
|
=
n
+
1
h
α
|
α
|
!
∫
0
1
(
1
−
t
)
n
∂
α
f
(
x
+
t
h
)
d
t
{\displaystyle R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {\mathbf {h} ^{\alpha }}{|\alpha |!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\,dt}
![{\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Longleftrightarrow \quad \forall i\in [\![1;n]\!],\quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8c500a9f5861984ccc30814f98222c7e41491a5)
