Adrien-Marie Legendre , qui en a offert la première étude systématique, a montré que des changements de variables adéquats permettent d'exprimer les intégrales elliptiques en fonction de seulement trois formes canoniques[ 1] appelées intégrale elliptique de première , de deuxième et de troisième espèce où
0
<
k
<
1
{\displaystyle 0<k<1}
et qui s'écrivent souvent ainsi[ 4] :
espèce
k
2
∈
[
0
;
∞
[
∩
φ
∈
]
−
∞
;
∞
[
{\displaystyle \scriptstyle {\begin{aligned}k^{2}&\in \left[0;\infty \right[\\\cap \\\varphi &\in \left]-\infty ;\infty \right[\end{aligned}}}
k
2
∈
[
0
;
∞
[
∩
φ
∈
[
−
π
2
;
π
2
]
{\displaystyle \scriptstyle {\begin{aligned}k^{2}&\in \left[0;\infty \right[\\\cap \\\varphi &\in \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\end{aligned}}}
k
2
∈
]
−
∞
;
∞
[
∩
φ
∈
]
−
∞
;
∞
[
{\displaystyle \scriptstyle {\begin{aligned}k^{2}&\in \left]-\infty ;\infty \right[\\\cap \\\varphi &\in \left]-\infty ;\infty \right[\end{aligned}}}
k
2
∈
[
0
;
1
]
∩
φ
∈
]
−
∞
;
∞
[
{\displaystyle \scriptstyle {\begin{aligned}k^{2}&\in \left[0;1\right]\\\cap \\\varphi &\in \left]-\infty ;\infty \right[\end{aligned}}}
Forme de Legendre
Forme de Jacobi
1re
F
(
φ
,
k
)
{\displaystyle F\left(\varphi \,,\,k\right)}
=
F
(
sin
φ
;
k
)
{\displaystyle =F\left(\sin \varphi \,;\,k\right)}
=
F
(
φ
|
k
2
)
{\displaystyle =F\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)}
=
F
(
φ
∖
arcsin
k
)
{\displaystyle =F\left(\varphi \setminus \arcsin k\right)}
=
∫
0
φ
d
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
{\displaystyle =\int _{0}^{\varphi }\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}
=
t
=
sin
θ
∫
0
sin
φ
d
t
(
1
−
t
2
)
(
1
−
k
2
t
2
)
{\displaystyle {\stackrel {t=\sin \theta }{=}}\int _{0}^{\sin \varphi }\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}}
2e
E
(
φ
,
k
)
{\displaystyle E\left(\varphi \,,\,k\right)}
=
E
(
sin
φ
;
k
)
{\displaystyle =E\left(\sin \varphi \,;\,k\right)}
=
E
(
φ
|
k
2
)
{\displaystyle =E\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)}
=
E
(
φ
∖
arcsin
k
)
{\displaystyle =E\left(\varphi \setminus \arcsin k\right)}
=
∫
0
φ
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
{\displaystyle =\int _{0}^{\varphi }\scriptstyle {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta }
=
t
=
sin
θ
∫
0
sin
φ
1
−
k
2
t
2
1
−
t
2
d
t
{\displaystyle {\stackrel {t=\sin \theta }{=}}\int _{0}^{\sin \varphi }\scriptstyle {\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}
3e
Π
(
n
,
φ
,
k
)
{\displaystyle \Pi \left(n\,,\,\varphi \,,\,k\right)}
=
Π
(
n
,
sin
φ
;
k
)
{\displaystyle =\Pi \left(n\,,\,\sin \varphi \,;\,k\right)}
=
Π
(
n
,
φ
|
k
2
)
{\displaystyle =\Pi \left(n\,,\,\varphi \,|\,k^{2}\right)}
=
Π
(
n
,
φ
∖
arcsin
k
)
{\displaystyle =\Pi \left(n\,,\,\varphi \setminus \arcsin k\right)}
=
∫
0
φ
1
1
−
n
sin
2
θ
d
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
{\displaystyle =\int _{0}^{\varphi }\scriptstyle {\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}
=
t
=
sin
θ
∫
0
sin
φ
1
1
−
n
t
2
d
t
(
1
−
t
2
)
(
1
−
k
2
t
2
)
{\displaystyle {\stackrel {t=\sin \theta }{=}}\int _{0}^{\sin \varphi }\scriptstyle {\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}}
On prendra garde en particulier à ne pas confondre la virgule avec le point-virgule. La notation de l'intégrale elliptique avec un point-virgule ne permet que d'exprimer des intégrales elliptiques où
φ
∈
[
−
π
/
2
;
π
/
2
]
{\displaystyle \varphi \in \left[-\pi /2;\pi /2\right]}
. En utilisant
m
{\displaystyle m}
au lieu de
k
2
{\displaystyle k^{2}}
, l'ensemble de définition est étendu à
m
<
0
{\displaystyle m<0}
, mais de toute façon, on peut toujours se ramener à une forme où
k
∈
]
0
;
1
[
{\displaystyle k\in ]0;1[}
.
n
∈
C
{\displaystyle n\in \mathbb {C} }
. Il est aussi défini[ B 1] :
D
(
φ
,
k
)
=
D
(
sin
φ
;
k
)
=
D
(
φ
|
k
2
)
=
D
(
φ
∖
arcsin
k
)
=
∫
0
φ
sin
2
θ
d
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
=
t
=
sin
θ
∫
=
0
sin
φ
t
2
d
t
(
1
−
t
2
)
(
1
−
k
2
t
2
)
{\displaystyle D\left(\varphi \,,\,k\right)=D\left(\sin \varphi \,;\,k\right)=D\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=D\left(\varphi \setminus \arcsin k\right)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}{\stackrel {t=\sin \theta }{=}}\int _{=0}^{\sin \varphi }{\frac {t^{2}\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}}
On appelle :
k
∈
]
0
;
1
[
{\displaystyle k\in ]0;1[}
le module elliptique ou excentricité
m
=
k
2
{\displaystyle m=k^{2}}
le paramètre
k
′
=
1
−
k
2
{\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}
le comodule
arcsin
k
{\displaystyle \arcsin k}
l'angle modulaire
φ
{\displaystyle \varphi }
l'amplitude
n
{\displaystyle n}
la caractéristique
L'intégrale est dite :
incomplète si
φ
{\displaystyle \varphi }
est quelconque
complète si
φ
=
π
/
2
{\displaystyle \varphi =\pi /2}
Les intégrales elliptiques complètes de 1re , 2e et 3e espèce sont respectivement[ 5] :
K
(
k
)
=
F
(
π
2
,
k
)
E
(
k
)
=
E
(
π
2
,
k
)
Π
(
n
,
k
)
=
Π
(
n
,
π
2
,
k
)
{\displaystyle {\begin{aligned}K\left(k\right)&=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)\\E\left(k\right)&=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)\\\Pi \left(n,k\right)&=\Pi \left(n,{\tfrac {\pi }{2}},k\right)\end{aligned}}}
K
m
(
m
)
=
F
(
π
2
|
m
)
E
m
(
m
)
=
E
(
π
2
|
m
)
Π
(
n
|
m
)
=
Π
(
n
,
π
2
|
m
)
{\displaystyle {\begin{aligned}K_{m}\left(m\right)&=F\left({\tfrac {\pi }{2}}|m\right)\\E_{m}\left(m\right)&=E\left({\tfrac {\pi }{2}}|m\right)\\\Pi \left(n\,|\,m\right)&=\Pi \left(n,{\tfrac {\pi }{2}}|m\right)\end{aligned}}}
On définit aussi[ 6] :
K
′
(
k
)
=
K
(
k
′
)
E
′
(
k
)
=
E
(
k
′
)
Π
′
(
k
)
=
Π
(
k
′
)
{\displaystyle {\begin{aligned}K'\left(k\right)&=K\left(k'\right)\\E'\left(k\right)&=E\left(k'\right)\\\Pi '\left(k\right)&=\Pi \left(k'\right)\end{aligned}}}
On définit[ A 2] :
Δ
=
Δ
(
θ
)
=
Δ
(
θ
,
k
)
=
1
−
k
2
sin
2
θ
{\displaystyle \Delta =\Delta (\theta )=\Delta (\theta ,k)={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}
Le "nom elliptique"[ traduction souhaitée 1] ou grandeur d'expansion jacobienne est la fonction spéciale :
q
(
k
)
=
exp
[
−
π
K
′
(
k
)
K
(
k
)
]
{\displaystyle q\left(k\right)=\exp \left[-\pi {\frac {K'\left(k\right)}{K\left(k\right)}}\right]}
Intégrales complètes
K
(
k
)
{\displaystyle K(k)}
E
(
k
)
{\displaystyle E(k)}
Π
(
n
,
k
)
{\displaystyle \Pi (n,k)}
pour différentes valeurs de
n
{\displaystyle n}
K
m
(
m
)
{\displaystyle K_{m}(m)}
et
E
m
(
m
)
{\displaystyle E_{m}(m)}
La pente n'est pas nulle en 0.
pointillés ligne continue tirets
f
(
θ
,
k
)
=
1
1
−
k
2
sin
2
θ
{\displaystyle \color {red}f\left(\theta \,,\,k\right)={\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}
F
(
φ
,
k
)
=
∫
0
φ
f
(
θ
,
k
)
d
θ
{\displaystyle \color {orange}F\left(\varphi \,,\,k\right)=\int _{0}^{\varphi }f\left(\theta \,,\,k\right)\mathrm {d} \theta }
K
(
k
)
=
F
(
π
2
,
k
)
d
θ
{\displaystyle \color {brown}K\left(k\right)=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)\mathrm {d} \theta }
e
(
θ
,
k
)
=
1
−
k
2
sin
2
θ
{\displaystyle \color {blue}e\left(\theta \,,\,k\right)={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}
E
(
φ
,
k
)
=
∫
0
φ
e
(
θ
,
k
)
d
θ
{\displaystyle \color {cyan}E\left(\varphi \,,\,k\right)=\int _{0}^{\varphi }e\left(\theta \,,\,k\right)\mathrm {d} \theta }
E
(
k
)
=
E
(
π
2
,
k
)
d
θ
{\displaystyle \color {purple}E\left(k\right)=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)\mathrm {d} \theta }
π
(
n
,
θ
,
k
)
=
1
1
−
n
sin
2
θ
1
1
−
k
2
sin
2
θ
{\displaystyle \color {green}\pi \left(n\,,\,\theta \,,\,k\right)={\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}
Π
(
n
,
φ
,
k
)
=
∫
0
φ
π
(
n
,
θ
,
k
)
d
θ
{\displaystyle \definecolor {lightGreen}{rgb}{0,1,0.25098039215686274}\color {lightGreen}\Pi \left(n\,,\,\varphi \,,\,k\right)=\int _{0}^{\varphi }\pi \left(n\,,\,\theta \,,\,k\right)\mathrm {d} \theta }
Π
(
n
,
k
)
=
∫
0
φ
π
(
n
,
π
2
,
k
)
d
θ
{\displaystyle \color {black}\Pi \left(n\,,\,k\right)=\int _{0}^{\varphi }\pi \left(n\,,\,{\tfrac {\pi }{2}}\,,\,k\right)\mathrm {d} \theta }
F
(
φ
|
m
)
{\displaystyle F(\varphi |m)}
pour diverses valeurs de
m
{\displaystyle m}
E
(
φ
|
m
)
{\displaystyle E(\varphi |m)}
pour diverses valeurs de
m
{\displaystyle m}
Adrien-Marie Legendre a montré que des changements de variables permettent de ramener les intégrales de la forme[ A 3]
f
(
x
)
=
∫
x
0
x
A
(
t
)
+
B
(
t
)
P
(
t
)
C
(
t
)
+
D
(
t
)
P
(
t
)
d
t
{\displaystyle f(x)=\int _{x_{0}}^{x}{A(t)+B(t){\sqrt {P(t)}} \over C(t)+D(t){\sqrt {P(t)}}}\,\mathrm {d} t}
aux trois formes canoniques sus-mentionnées.
Décomposition en éléments simples
modifier
En effet, on peut décomposer l'intégrande ainsi :
f
(
x
)
=
∫
x
0
x
A
(
t
)
C
(
t
)
−
B
(
t
)
D
(
t
)
P
(
t
)
C
2
(
t
)
−
D
2
(
t
)
P
(
t
)
d
t
+
∫
x
0
x
[
B
(
t
)
C
(
t
)
−
A
(
t
)
D
(
t
)
]
P
(
t
)
[
C
2
(
t
)
−
D
2
(
t
)
P
(
t
)
]
P
(
t
)
d
t
=
∫
x
0
x
E
(
t
)
d
t
+
∫
x
0
x
F
(
t
)
I
(
t
)
d
t
+
∫
x
0
x
G
(
t
)
P
(
t
)
d
t
+
∫
x
0
x
H
(
t
)
I
(
t
)
P
(
t
)
d
t
=
∑
i
=
0
deg
(
E
)
ρ
i
∫
x
0
x
t
i
d
t
+
∑
i
=
1
deg
(
I
)
κ
i
∫
x
0
x
1
(
t
−
t
i
)
p
i
d
t
+
∑
i
=
0
deg
(
G
)
λ
i
∫
x
0
x
t
i
P
(
t
)
d
t
+
∑
i
=
1
deg
(
I
)
μ
i
∫
x
0
x
1
(
t
−
t
i
)
p
i
P
(
t
)
d
t
=
∑
i
=
0
deg
(
E
)
[
ρ
i
t
i
+
1
i
+
1
]
x
0
x
+
∑
i
=
1
deg
(
I
)
[
(
p
i
=
1
)
κ
i
ln
(
t
−
t
i
)
+
(
p
i
≠
1
)
−
κ
i
(
p
i
−
1
)
(
t
−
t
i
)
p
i
−
1
]
x
0
x
+
∑
i
=
0
deg
(
G
)
λ
i
∫
x
0
x
t
i
P
(
t
)
d
t
+
∑
i
=
1
deg
(
I
)
μ
i
∫
x
0
x
1
(
t
−
t
i
)
p
i
P
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {A(t)C(t)-B(t)D(t)P(t)}{C^{2}(t)-D^{2}(t)P(t)}}\,\mathrm {d} t+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\left[B(t)C(t)-A(t)D(t)\right]P(t)}{\left[C^{2}(t)-D^{2}(t)P(t)\right]{\sqrt {P(t)}}}}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{x_{0}}^{x}E(t)\,\mathrm {d} t+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {F(t)}{I(t)}}\,\mathrm {d} t+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {G(t)}{\sqrt {P(t)}}}\,\mathrm {d} t+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {H(t)}{I(t){\sqrt {P(t)}}}}\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{i=0}^{\deg(E)}\rho _{i}\int _{x_{0}}^{x}t^{i}\,\mathrm {d} t+\sum _{i=1}^{\deg(I)}\kappa _{i}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{\left(t-t_{i}\right)^{p_{i}}}}\,\mathrm {d} t+\sum _{i=0}^{\deg(G)}\lambda _{i}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {t^{i}}{\sqrt {P(t)}}}\,\mathrm {d} t+\sum _{i=1}^{\deg(I)}\mu _{i}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{(t-t_{i})^{p_{i}}{\sqrt {P(t)}}}}\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{i=0}^{\deg(E)}\left[\rho _{i}{\frac {t^{i+1}}{i+1}}\right]_{x_{0}}^{x}+\sum _{i=1}^{\deg(I)}\left[{\begin{matrix}\left(p_{i}=1\right)\kappa _{i}\ln \left(t-t_{i}\right)\\+\left(p_{i}\neq 1\right){\frac {-\kappa _{i}}{\left(p_{i}-1\right)\left(t-t_{i}\right)^{p_{i}-1}}}\end{matrix}}\right]_{x_{0}}^{x}+\sum _{i=0}^{\deg(G)}\lambda _{i}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {t^{i}}{\sqrt {P(t)}}}\,\mathrm {d} t+\sum _{i=1}^{\deg(I)}\mu _{i}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{(t-t_{i})^{p_{i}}{\sqrt {P(t)}}}}\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}
où
E
{\displaystyle E}
,
F
{\displaystyle F}
,
G
{\displaystyle G}
,
H
{\displaystyle H}
et
I
{\displaystyle I}
sont des polynômes tels que
deg
(
F
)
⩽
deg
(
I
)
−
1
{\displaystyle \deg(F)\leqslant \deg(I)-1}
et
deg
(
H
)
⩽
deg
(
I
)
−
1
{\displaystyle \deg(H)\leqslant \deg(I)-1}
et
P
(
t
)
=
α
+
β
t
+
γ
t
2
+
δ
t
3
+
ϵ
t
4
{\displaystyle P(t)=\alpha +\beta \,t+\gamma \,t^{2}+\delta \,t^{3}+\epsilon \,t^{4}}
. Il reste deux intégrales à calculer.
Réduction du degré des polynômes
modifier
Chacune des intégrales du troisième terme peut se ramener à une expression de la forme :
∫
x
0
x
a
t
2
+
b
t
+
c
P
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {at^{2}+bt+c}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t}
Démonstration
On pose :
Γ
i
(
x
)
=
∫
x
0
x
t
i
P
(
t
)
d
t
{\displaystyle \Gamma ^{i}(x)=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {t^{i}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t}
Legendre fait remarquer que, puisque :
x
i
−
3
P
(
x
)
−
x
0
i
−
3
P
(
x
0
)
=
∫
x
0
x
d
d
t
[
t
i
−
3
P
(
t
)
]
d
t
=
∫
x
0
x
[
(
i
−
3
)
P
(
t
)
+
1
2
t
P
′
(
t
)
]
t
i
−
4
P
(
t
)
d
t
=
∫
x
0
x
[
(
i
−
3
)
(
α
+
β
t
+
γ
t
2
+
δ
t
3
+
ϵ
t
4
)
+
1
2
(
β
t
+
2
γ
t
2
+
3
δ
t
3
+
4
ϵ
t
4
)
]
t
i
−
4
P
(
t
)
d
t
=
∫
x
0
x
[
(
i
−
3
)
α
+
(
i
−
5
2
)
β
t
+
(
i
−
2
)
γ
t
2
+
(
i
−
3
2
)
δ
t
3
+
(
i
−
1
)
ϵ
t
4
]
t
i
−
4
P
(
t
)
d
t
=
(
i
−
3
)
α
Γ
i
−
4
(
x
)
+
(
i
−
5
2
)
β
Γ
i
−
3
(
x
)
+
(
i
−
2
)
γ
Γ
i
−
2
(
x
)
+
(
i
−
3
2
)
δ
Γ
i
−
1
(
x
)
+
(
i
−
1
)
ϵ
Γ
i
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{i-3}{\sqrt {P(x)}}-x_{0}^{i-3}{\sqrt {P(x_{0})}}&=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[t^{i-3}{\sqrt {P(t)}}\right]\mathrm {d} t=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\left[(i-3)P(t)+{\tfrac {1}{2}}tP'(t)\right]t^{i-4}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t\\&=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\left[{\begin{aligned}(i-3)\left(\alpha +\beta \,t+\;\,\gamma \,t^{2}+\;\;\delta \,t^{3}+\;\;\epsilon \,t^{4}\right)\\+{\tfrac {1}{2}}\;\left(\qquad \beta t+2\gamma \,t^{2}+3\delta \,t^{3}+4\epsilon \,t^{4}\right)\end{aligned}}\right]t^{i-4}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t\\&=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\left[\left(i-3\right)\alpha +\left(i-{\tfrac {5}{2}}\right)\beta \,t+\left(i-2\right)\gamma \,t^{2}+\left(i-{\tfrac {3}{2}}\right)\delta \,t^{3}+\left(i-1\right)\epsilon \,t^{4}\right]t^{i-4}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t\\&=\left(i-3\right)\alpha \,\Gamma ^{i-4}(x)+\left(i-{\tfrac {5}{2}}\right)\beta \,\Gamma ^{i-3}(x)+\left(i-2\right)\gamma \,\Gamma ^{i-2}(x)+\left(i-{\tfrac {3}{2}}\right)\delta \,\Gamma ^{i-1}(x)+\left(i-1\right)\epsilon \,\Gamma ^{i}(x)\end{aligned}}}
⇒
Γ
i
(
x
)
=
x
i
−
3
P
(
x
)
−
x
0
i
−
3
P
(
x
0
)
−
(
i
−
3
2
)
δ
Γ
i
−
1
(
x
)
−
(
i
−
2
)
γ
Γ
i
−
2
(
x
)
−
(
i
−
5
2
)
β
Γ
i
−
3
(
x
)
−
(
i
−
3
)
α
Γ
i
−
4
(
x
)
(
i
−
1
)
ϵ
{\displaystyle \Rightarrow \Gamma ^{i}(x)={\frac {x^{i-3}{\sqrt {P(x)}}-x_{0}^{i-3}{\sqrt {P(x_{0})}}-\left(i-{\tfrac {3}{2}}\right)\delta \,\Gamma ^{i-1}(x)-\left(i-2\right)\gamma \,\Gamma ^{i-2}(x)-\left(i-{\tfrac {5}{2}}\right)\beta \,\Gamma ^{i-3}(x)-\left(i-3\right)\alpha \,\Gamma ^{i-4}(x)}{(i-1)\epsilon }}}
Γ
i
{\displaystyle \Gamma ^{i}}
peut s'exprimer en fonction de
Γ
i
−
1
{\displaystyle \Gamma ^{i-1}}
, et à son tour,
Γ
i
−
1
{\displaystyle \Gamma ^{i-1}}
en fonction de
Γ
i
−
2
{\displaystyle \Gamma ^{i-2}}
, etc. jusqu'à
Γ
3
{\displaystyle \Gamma ^{3}}
qu'on peut encore exprimer en fonction de
Γ
2
{\displaystyle \Gamma ^{2}}
,
Γ
1
{\displaystyle \Gamma ^{1}}
et
Γ
0
{\displaystyle \Gamma ^{0}}
puisque le dernier terme est nul.
Chacune des intégrales du quatrième terme peut se ramener à une expression de la forme :
∫
x
0
x
a
t
2
+
b
t
+
c
+
d
t
−
r
P
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {at^{2}+bt+c+{\frac {d}{t-r}}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t}
Démonstration
Si on pose
ω
=
t
−
r
{\displaystyle \omega =t-r}
, on a :
P
(
t
)
=
α
+
β
(
ω
+
r
)
+
γ
(
ω
+
r
)
2
+
δ
(
ω
+
r
)
3
+
ϵ
(
ω
+
r
)
4
=
α
′
+
β
′
ω
+
γ
′
ω
2
+
δ
′
ω
3
+
ϵ
′
ω
4
=
P
ω
(
ω
)
{\displaystyle P(t)=\alpha +\beta \left(\omega +r\right)+\gamma \left(\omega +r\right)^{2}+\delta \left(\omega +r\right)^{3}+\epsilon \left(\omega +r\right)^{4}=\alpha '+\beta '\omega +\gamma '\omega ^{2}+\delta '\omega ^{3}+\epsilon '\omega ^{4}=P_{\omega }\left(\omega \right)}
On pose :
Υ
r
i
(
x
)
=
∫
x
0
−
r
x
−
r
1
ω
i
P
ω
(
ω
)
d
ω
{\displaystyle \Upsilon _{r}^{i}(x)=\int _{x_{0}-r}^{x-r}{\frac {1}{\omega ^{i}{\sqrt {P_{\omega }(\omega )}}}}\,\mathrm {d} \omega }
et on a :
−
P
ω
(
x
−
r
)
(
x
−
r
)
i
−
1
+
P
ω
(
x
0
−
r
)
(
x
0
−
r
)
i
−
1
=
∫
x
0
−
r
x
−
r
d
d
ω
[
−
ω
1
−
i
P
ω
(
ω
)
]
d
ω
=
∫
x
0
−
r
x
−
r
(
i
−
1
)
P
ω
(
ω
)
−
1
2
ω
P
ω
′
(
ω
)
ω
i
P
ω
(
ω
)
d
ω
=
∫
x
0
−
r
x
−
r
[
(
i
−
1
)
(
α
′
+
β
′
ω
+
γ
′
ω
2
+
δ
′
ω
3
+
ϵ
′
ω
4
)
−
1
2
(
β
′
ω
+
2
γ
′
ω
2
+
3
δ
′
ω
3
+
4
ϵ
′
ω
4
)
]
ω
i
P
ω
(
ω
)
d
ω
=
∫
x
0
−
r
x
−
r
[
(
i
−
1
)
α
′
+
(
i
−
3
2
)
β
′
ω
+
(
i
−
2
)
γ
′
ω
2
+
(
i
−
5
2
)
δ
′
ω
3
+
(
q
i
−
3
)
ϵ
′
ω
4
]
ω
i
P
ω
(
ω
)
d
ω
=
(
i
−
1
)
α
′
Υ
r
i
(
x
)
+
(
i
−
3
2
)
β
′
Υ
r
i
−
1
(
x
)
+
(
i
−
2
)
γ
′
Υ
r
i
−
2
(
x
)
+
(
i
−
5
2
)
δ
′
Υ
r
i
−
3
(
x
)
+
(
i
−
3
)
ϵ
′
Υ
r
i
−
4
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\sqrt {P_{\omega }(x-r)}}{\left(x-r\right)^{i-1}}}+{\frac {\sqrt {P_{\omega }(x_{0}-r)}}{\left(x_{0}-r\right)^{i-1}}}&=\int _{x_{0}-r}^{x-r}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}\left[-\omega ^{1-i}{\sqrt {P_{\omega }\left(\omega \right)}}\right]\mathrm {d} \omega =\int _{x_{0}-r}^{x-r}{\frac {(i-1)P_{\omega }(\omega )-{\tfrac {1}{2}}\omega P_{\omega }'(\omega )}{\omega ^{i}{\sqrt {P_{\omega }(\omega )}}}}\mathrm {d} \omega \\&=\int _{x_{0}-r}^{x-r}{\frac {\left[{\begin{aligned}(i-1)\left(\alpha '+\beta '\omega +\;\;\,\gamma '\omega ^{2}+\;\;\delta '\omega ^{3}+\;\;\,\epsilon '\omega ^{4}\right)\\-{\tfrac {1}{2}}\left(\qquad \;\beta '\omega +2\,\gamma '\omega ^{2}+3\,\delta '\omega ^{3}+4\,\epsilon '\omega ^{4}\right)\\\end{aligned}}\right]}{\omega ^{i}{\sqrt {P_{\omega }(\omega )}}}}\mathrm {d} \omega \\&=\int _{x_{0}-r}^{x-r}{\frac {\left[\left(i-1\right)\alpha '+\left(i-{\tfrac {3}{2}}\right)\beta '\omega +\left(i-2\right)\gamma '\omega ^{2}+\left(i-{\tfrac {5}{2}}\right)\delta '\omega ^{3}+\left(q_{i}-3\right)\epsilon '\omega ^{4}\right]}{\omega ^{i}{\sqrt {P_{\omega }(\omega )}}}}\mathrm {d} \omega \\&=\left(i-1\right)\alpha '\,\Upsilon _{r}^{i}(x)+\left(i-{\tfrac {3}{2}}\right)\beta '\,\Upsilon _{r}^{i-1}(x)+\left(i-2\right)\gamma '\,\Upsilon _{r}^{i-2}(x)+\left(i-{\tfrac {5}{2}}\right)\delta '\,\Upsilon _{r}^{i-3}(x)+\left(i-3\right)\epsilon '\,\Upsilon _{r}^{i-4}(x)\end{aligned}}}
⇒
Υ
r
i
(
x
)
=
−
P
ω
(
x
−
r
)
(
x
−
r
)
i
−
1
+
P
ω
(
x
0
−
r
)
(
x
0
−
r
)
i
−
1
−
(
i
−
3
2
)
β
′
Υ
r
i
−
1
(
x
)
+
(
i
−
2
)
γ
′
Υ
r
i
−
2
(
x
)
+
(
i
−
5
2
)
δ
′
Υ
r
i
−
3
(
x
)
+
(
i
−
3
)
ϵ
′
Υ
r
i
−
4
(
x
)
(
i
−
1
)
α
′
{\displaystyle \Rightarrow \Upsilon _{r}^{i}(x)={\frac {-{\frac {\sqrt {P_{\omega }(x-r)}}{\left(x-r\right)^{i-1}}}+{\frac {\sqrt {P_{\omega }(x_{0}-r)}}{\left(x_{0}-r\right)^{i-1}}}-\left(i-{\tfrac {3}{2}}\right)\beta '\,\Upsilon _{r}^{i-1}(x)+\left(i-2\right)\gamma '\,\Upsilon _{r}^{i-2}(x)+\left(i-{\tfrac {5}{2}}\right)\delta '\,\Upsilon _{r}^{i-3}(x)+\left(i-3\right)\epsilon '\,\Upsilon _{r}^{i-4}(x)}{(i-1)\alpha '}}}
Ici encore, les
Υ
r
i
{\displaystyle \Upsilon _{r}^{i}}
peuvent s'exprimer en fonction de
Υ
r
1
{\displaystyle \Upsilon _{r}^{1}}
,
Υ
r
0
{\displaystyle \Upsilon _{r}^{0}}
,
Υ
r
−
1
{\displaystyle \Upsilon _{r}^{-1}}
et
Υ
r
−
2
{\displaystyle \Upsilon _{r}^{-2}}
.
Si
α
{\displaystyle \alpha }
,
β
{\displaystyle \beta }
,
γ
{\displaystyle \gamma }
,
δ
{\displaystyle \delta }
et
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
sont réels, et si on veut qu'ils le restent, alors si
r
{\displaystyle r}
est réel, on peut faire disparaître le quatrième terme du numérateur en posant :
z
=
1
t
−
r
⇔
t
=
1
z
+
r
{\displaystyle z={\frac {1}{t-r}}\Leftrightarrow t={\frac {1}{z}}+r}
Élimination des puissances impaires du radical
modifier
On peut ensuite faire disparaître les puissances impaires sous le radical. Si on écrit :
P
(
t
)
=
α
+
β
t
+
γ
t
2
+
δ
t
3
+
ϵ
t
4
=
(
α
1
+
2
β
1
t
+
γ
1
t
2
)
(
α
2
+
2
β
2
t
+
γ
2
t
2
)
=
ϵ
(
t
−
t
a
)
(
t
−
t
b
)
(
t
−
t
c
)
(
t
−
t
d
)
{\displaystyle P(t)=\alpha +\beta \,t+\gamma \,t^{2}+\delta \,t^{3}+\epsilon \,t^{4}=\left(\alpha _{1}+2\beta _{1}t+\gamma _{1}t^{2}\right)\left(\alpha _{2}+2\beta _{2}t+\gamma _{2}t^{2}\right)=\epsilon \,\left(t-t_{a}\right)\left(t-t_{b}\right)\left(t-t_{c}\right)\left(t-t_{d}\right)}
Une première méthode est de poser :
y
=
α
2
+
2
β
2
t
+
γ
2
t
2
α
1
+
2
β
1
t
+
γ
1
t
2
⇒
P
(
t
)
=
(
α
1
+
2
β
1
t
+
γ
1
t
2
)
y
{\displaystyle y={\sqrt {\frac {\alpha _{2}+2\beta _{2}t+\gamma _{2}t^{2}}{\alpha _{1}+2\beta _{1}t+\gamma _{1}t^{2}}}}\Rightarrow {\sqrt {P(t)}}=\left(\alpha _{1}+2\beta _{1}t+\gamma _{1}t^{2}\right)y}
Ainsi, on a :
t
=
β
1
y
2
−
β
2
±
(
β
1
y
2
−
β
2
)
2
−
(
α
1
y
2
−
α
2
)
(
γ
1
y
2
−
γ
2
)
γ
2
−
γ
1
y
2
{\displaystyle t={\frac {\beta _{1}\,y^{2}-\beta _{2}\pm {\sqrt {\left(\beta _{1}\,y^{2}-\beta _{2}\right)^{2}-\left(\alpha _{1}\,y^{2}-\alpha _{2}\right)\left(\gamma _{1}\,y^{2}-\gamma _{2}\right)}}}{\gamma _{2}-\gamma _{1}\,y^{2}}}}
d
t
=
y
[
2
γ
1
(
β
1
y
2
−
β
2
)
−
2
β
1
(
γ
1
y
2
−
γ
2
)
(
γ
1
y
2
−
γ
2
)
2
±
(
γ
1
y
2
−
γ
2
)
[
2
(
α
1
γ
1
−
β
1
2
)
y
2
+
2
β
1
β
2
+
α
1
γ
2
−
α
2
γ
1
]
+
2
γ
1
[
(
β
1
y
2
−
β
2
)
2
−
(
α
1
y
2
−
α
2
)
(
γ
1
y
2
−
γ
2
)
]
(
γ
1
y
2
−
γ
2
)
2
(
β
1
y
2
−
β
2
)
2
−
(
α
1
y
2
−
α
2
)
(
γ
1
y
2
−
γ
2
)
]
d
y
{\displaystyle \mathrm {d} t=y\left[{\tfrac {2\,\gamma _{1}\,\left(\beta _{1}\,y^{2}-\beta _{2}\right)-2\,\beta _{1}\,\left(\gamma _{1}\,y^{2}-\gamma _{2}\right)}{\left(\gamma _{1}\,y^{2}-\gamma _{2}\right)^{2}}}\pm {\tfrac {\left(\gamma _{1}\,y^{2}-\gamma _{2}\right)\left[2\left(\alpha _{1}\gamma _{1}-\beta _{1}^{2}\right)y^{2}+2\,\beta _{1}\beta _{2}\,+\alpha _{1}\gamma _{2}-\alpha _{2}\gamma _{1}\right]+2\gamma _{1}\left[\left(\beta _{1}\,y^{2}-\beta _{2}\right)^{2}-\left(\alpha _{1}\,y^{2}-\alpha _{2}\right)\left(\gamma _{1}\,y^{2}-\gamma _{2}\right)\right]}{\left(\gamma _{1}\,y^{2}-\gamma _{2}\right)^{2}{\sqrt {\left(\beta _{1}\,y^{2}-\beta _{2}\right)^{2}-\left(\alpha _{1}\,y^{2}-\alpha _{2}\right)\left(\gamma _{1}\,y^{2}-\gamma _{2}\right)}}}}\right]\mathrm {d} y}
Une deuxième méthode qui permet d'avoir
P
(
t
)
=
(
α
3
+
γ
3
y
2
)
(
α
4
+
γ
4
y
2
)
{\displaystyle P(t)=\left(\alpha _{3}+\gamma _{3}y^{2}\right)\left(\alpha _{4}+\gamma _{4}y^{2}\right)}
(ce qui n'est pas immédiatement le cas avec la première méthode) est de poser :
t
=
p
+
q
y
1
+
y
{\displaystyle t={\frac {p+q\,y}{1+y}}}
Si
α
{\displaystyle \alpha }
,
β
{\displaystyle \beta }
,
γ
{\displaystyle \gamma }
,
δ
{\displaystyle \delta }
et
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
sont réels, alors on peut toujours trouver deux réels
p
{\displaystyle p}
et
q
{\displaystyle q}
qui permettent d'écrire
P
(
y
)
{\displaystyle P(y)}
sans puissances impaires de
y
{\displaystyle y}
.
Démonstration
Deux cas se présentent :
P
(
t
)
{\displaystyle P(t)}
a des racines non réelles.
En réinjectant l'expression de
t
{\displaystyle t}
dans les deux facteurs de
P
(
t
)
{\displaystyle P(t)}
, puis en faisant abstraction du dénominateur commun, les puissances impaires de
y
{\displaystyle y}
disparaissent si :
{
α
1
+
β
1
(
p
+
q
)
+
γ
1
p
q
=
0
α
2
+
β
2
(
p
+
q
)
+
γ
2
p
q
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}\alpha _{1}\,+\beta _{1}\,\left(p+q\right)+\gamma _{1}\,p\,q=0\\\alpha _{2}\,+\beta _{2}\,\left(p+q\right)+\gamma _{2}\,p\,q=0\end{cases}}}
Si on suppose que
α
1
+
2
β
1
t
+
γ
1
t
2
{\displaystyle \alpha _{1}+2\,\beta _{1}\,t+\gamma _{1}\,t^{2}}
contient deux racines complexes, puisqu'on a
β
1
2
−
α
1
γ
1
<
0
{\displaystyle \beta _{1}^{2}-\alpha _{1}\,\gamma _{1}<0}
, on a :
(
p
−
q
)
2
=
(
p
+
q
)
2
−
4
p
q
=
(
α
1
+
γ
1
p
q
β
1
)
2
−
4
p
q
=
(
α
1
+
γ
1
p
q
β
1
−
2
β
1
γ
1
)
2
+
4
α
1
γ
1
−
4
β
1
2
γ
1
2
>
0
⇒
p
,
q
∈
R
{\displaystyle \left(p-q\right)^{2}=\left(p+q\right)^{2}-4p\,q=\left({\frac {\alpha _{1}+\gamma _{1}\,p\,q}{\beta _{1}}}\right)^{2}-4\,p\,q=\left({\frac {\alpha _{1}+\gamma _{1}\,p\,q}{\beta _{1}}}-{\frac {2\beta _{1}}{\gamma _{1}}}\right)^{2}+{\frac {4\,\alpha _{1}\gamma _{1}-4\,\beta _{1}^{2}}{\gamma _{1}^{2}}}>0\Rightarrow p,q\in \mathbb {R} }
P
(
t
)
{\displaystyle P(t)}
a toutes ses racines réelles.
La paire d'équation se réécrit :
{
t
a
t
b
−
1
2
(
t
a
+
t
b
)
(
p
+
q
)
+
p
q
=
0
t
c
t
d
−
1
2
(
t
c
+
t
d
)
(
p
+
q
)
+
p
q
=
0
⇒
{
p
+
q
=
2
(
t
a
t
b
−
t
c
t
d
)
t
a
+
t
b
−
t
c
−
t
d
p
q
=
−
t
c
t
d
+
(
t
c
+
t
d
)
(
t
a
t
b
−
t
c
t
d
)
t
a
+
t
b
−
t
c
−
t
d
=
t
a
t
b
t
c
+
t
a
t
b
t
d
−
t
a
t
c
t
d
−
t
b
t
c
t
d
t
a
+
t
b
−
t
c
−
t
d
{\displaystyle {\begin{cases}t_{a}t_{b}-{\frac {1}{2}}\left(t_{a}+t_{b}\right)\left(p+q\right)+p\,q=0\\t_{c}t_{d}-{\frac {1}{2}}\left(t_{c}+t_{d}\right)\left(p+q\right)+p\,q=0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}p+q={\frac {2\left(t_{a}t_{b}-t_{c}t_{d}\right)}{t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}}}\\p\,q=-t_{c}t_{d}+{\frac {\left(t_{c}+t_{d}\right)\left(t_{a}t_{b}-t_{c}t_{d}\right)}{t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}}}={\frac {t_{a}t_{b}t_{c}+t_{a}t_{b}t_{d}-t_{a}t_{c}t_{d}-t_{b}t_{c}t_{d}}{t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}}}\end{cases}}}
⇒
(
p
−
q
2
)
2
=
(
p
+
q
2
)
2
−
p
q
=
(
t
a
t
b
−
t
c
t
d
)
2
+
(
−
t
a
t
b
t
c
−
t
a
t
b
t
d
+
t
a
t
c
t
d
+
t
b
t
c
t
d
)
(
t
a
+
t
b
−
t
c
−
t
d
)
(
t
a
+
t
b
−
t
c
−
t
d
)
2
=
2
t
a
t
b
t
c
t
d
+
t
a
2
t
b
2
+
t
c
2
t
d
2
+
t
a
2
(
t
c
t
d
−
t
b
t
c
−
t
b
t
d
)
+
t
b
2
(
t
c
t
d
−
t
a
t
c
−
t
a
t
d
)
+
t
c
2
(
t
a
t
b
−
t
a
t
d
−
t
b
t
d
)
+
t
d
2
(
t
a
t
b
−
t
a
t
c
−
t
b
t
c
)
(
t
a
+
t
b
−
t
c
−
t
d
)
2
=
(
t
a
2
+
t
c
t
d
−
t
a
t
c
−
t
a
t
d
)
(
t
b
2
+
t
c
t
d
−
t
b
t
c
−
t
b
t
d
)
(
t
a
+
t
b
−
t
c
−
t
d
)
2
=
(
t
a
−
t
c
)
(
t
a
−
t
d
)
(
t
b
−
t
c
)
(
t
b
−
t
d
)
(
t
a
+
t
b
−
t
c
−
t
d
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow \left({\frac {p-q}{2}}\right)^{2}&=\left({\frac {p+q}{2}}\right)^{2}-pq={\tfrac {\left(t_{a}t_{b}-t_{c}t_{d}\right)^{2}+\left(-t_{a}t_{b}t_{c}-t_{a}t_{b}t_{d}+t_{a}t_{c}t_{d}+t_{b}t_{c}t_{d}\right)\left(t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}\right)}{\left(t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}\right)^{2}}}\\&={\tfrac {2t_{a}t_{b}t_{c}t_{d}+t_{a}^{2}t_{b}^{2}+t_{c}^{2}t_{d}^{2}+t_{a}^{2}\left(t_{c}t_{d}-t_{b}t_{c}-t_{b}t_{d}\right)+t_{b}^{2}\left(t_{c}t_{d}-t_{a}t_{c}-t_{a}t_{d}\right)+t_{c}^{2}\left(t_{a}t_{b}-t_{a}t_{d}-t_{b}t_{d}\right)+t_{d}^{2}\left(t_{a}t_{b}-t_{a}t_{c}-t_{b}t_{c}\right)}{\left(t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}\right)^{2}}}\\&={\tfrac {\left(t_{a}^{2}+t_{c}t_{d}-t_{a}t_{c}-t_{a}t_{d}\right)\left(t_{b}^{2}+t_{c}t_{d}-t_{b}t_{c}-t_{b}t_{d}\right)}{\left(t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}\right)^{2}}}={\tfrac {\left(t_{a}-t_{c}\right)\left(t_{a}-t_{d}\right)\left(t_{b}-t_{c}\right)\left(t_{b}-t_{d}\right)}{\left(t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}\right)^{2}}}\end{aligned}}}
⇒
p
,
q
=
t
a
t
b
−
t
c
t
d
±
(
t
a
−
t
c
)
(
t
a
−
t
d
)
(
t
b
−
t
c
)
(
t
b
−
t
d
)
t
a
+
t
b
−
t
c
−
t
d
{\displaystyle \Rightarrow p,q={\frac {t_{a}t_{b}-t_{c}t_{d}\pm {\sqrt {\left(t_{a}-t_{c}\right)\left(t_{a}-t_{d}\right)\left(t_{b}-t_{c}\right)\left(t_{b}-t_{d}\right)}}}{t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}}}}
Si
t
a
⩾
t
c
⩾
t
b
⩾
t
d
{\displaystyle t_{a}\geqslant t_{c}\geqslant t_{b}\geqslant t_{d}}
,
p
,
q
∉
R
{\displaystyle p,q\notin \mathbb {R} }
. Mais si
t
a
⩾
t
b
⩾
t
c
⩾
t
d
{\displaystyle t_{a}\geqslant t_{b}\geqslant t_{c}\geqslant t_{d}}
ou si
t
a
⩾
t
c
⩾
t
d
⩾
t
b
{\displaystyle t_{a}\geqslant t_{c}\geqslant t_{d}\geqslant t_{b}}
,
p
,
q
∈
R
{\displaystyle p,q\in \mathbb {R} }
. Il y a trois façons d'exprimer
P
(
t
)
{\displaystyle P(t)}
: une façon donnera
p
{\displaystyle p}
et
q
{\displaystyle q}
imaginaires et deux façons donneront
p
{\displaystyle p}
et
q
{\displaystyle q}
réels.
Élimination des puissances impaires de la fonction rationnelle
modifier
En posant
t
1
=
t
2
{\displaystyle t_{1}=t^{2}}
, on a
d
t
1
=
2
t
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} t_{1}=2\,t\,\mathrm {d} t}
et
∫
x
0
x
b
t
P
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {b\,t}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t}
s'exprime avec des fonctions trigonométriques ou hyperboliques.
De même,
∫
x
0
x
d
t
−
r
P
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {\frac {d}{t-r}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t}
se transformera en
∫
x
0
x
d
′
d
t
(
1
−
n
t
2
)
P
(
t
)
{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {d'\mathrm {d} t}{\left(1-n\,t^{2}\right){\sqrt {P(t)}}}}}
.
Démonstration
On pose :
{
d
′
=
−
d
r
n
=
1
r
2
{\displaystyle {\begin{cases}d'&=-{\frac {d}{r}}\\n&={\frac {1}{r^{2}}}\end{cases}}}
On a :
∫
x
0
x
d
t
−
r
P
(
t
)
d
t
=
∫
x
0
x
d
(
t
+
r
)
t
2
−
r
2
P
(
t
)
d
t
=
t
1
=
t
2
−
d
r
∫
x
0
x
d
t
(
1
−
1
r
2
t
2
)
P
(
t
)
+
d
2
∫
t
1
=
t
2
=
x
0
2
x
2
d
t
1
(
t
1
−
r
2
)
a
′
t
1
2
+
2
b
′
t
1
+
c
′
=
t
2
=
t
1
+
b
′
a
′
∫
x
0
x
d
′
d
t
(
1
−
n
t
2
)
P
(
t
)
+
d
2
∫
x
0
2
+
b
′
a
′
x
2
+
b
′
a
′
d
t
2
(
t
2
−
b
′
a
′
−
r
2
)
a
′
t
2
2
−
b
′
2
−
a
′
c
′
a
′
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\frac {d}{t-r}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\frac {d\left(t+r\right)}{t^{2}-r^{2}}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t&{\stackrel {t_{1}=t^{2}}{=}}-{\frac {d}{r}}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\left(1-{\frac {1}{r^{2}}}t^{2}\right){\sqrt {P(t)}}}}+{\frac {d}{2}}\int _{t_{1}=t^{2}=x_{0}^{2}}^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} t_{1}}{\left(t_{1}-r^{2}\right){\sqrt {a't_{1}^{2}+2b't_{1}+c'}}}}\\&{\stackrel {t_{2}=t_{1}+{\frac {b'}{a'}}}{=}}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {d'\mathrm {d} t}{\left(1-n\,t^{2}\right){\sqrt {P(t)}}}}+{\frac {d}{2}}\int _{x_{0}^{2}+{\frac {b'}{a'}}}^{x^{2}+{\frac {b'}{a'}}}{\frac {\mathrm {d} t_{2}}{\left(t_{2}-{\frac {b'}{a'}}-r^{2}\right){\sqrt {a't_{2}^{2}-{\frac {b'^{2}-a'c'}{a'}}}}}}\end{aligned}}}
Et :
∫
d
t
(
t
−
a
)
t
2
−
b
=
∫
1
b
−
a
2
1
1
+
(
a
t
−
b
)
2
(
b
−
a
2
)
(
t
2
−
b
)
a
b
−
a
2
(
t
2
−
b
)
−
(
a
t
−
b
)
b
−
a
2
t
(
b
−
a
2
)
(
t
2
−
b
)
3
/
2
d
t
=
{
arctan
a
t
−
b
b
−
a
2
t
2
−
b
b
−
a
2
si
b
−
a
2
>
0
−
argth
a
t
−
b
a
2
−
b
t
2
−
b
a
2
−
b
si
b
−
a
2
<
0
−
2
argth
t
+
a
2
a
a
si
b
−
a
2
=
0
et
a
≠
0
−
1
t
si
a
=
b
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\mathrm {d} t}{\left(t-a\right){\sqrt {t^{2}-b}}}}&=\int {\frac {1}{\sqrt {b-a^{2}}}}{\frac {1}{1+{\frac {\left(a\,t-b\right)^{2}}{\left(b-a^{2}\right)\left(t^{2}-b\right)}}}}{\frac {a{\sqrt {b-a^{2}}}\left(t^{2}-b\right)-\left(a\,t-b\right){\sqrt {b-a^{2}}}\,t}{\left(b-a^{2}\right)\left(t^{2}-b\right)^{3/2}}}\mathrm {d} t\\&={\begin{cases}{\dfrac {\arctan {\frac {a\,t-b}{{\sqrt {b-a^{2}}}{\sqrt {t^{2}-b}}}}}{\sqrt {b-a^{2}}}}&{\text{si }}b-a^{2}>0\\[4pt]-{\dfrac {\operatorname {argth} {\frac {a\,t-b}{{\sqrt {a^{2}-b}}{\sqrt {t^{2}-b}}}}}{\sqrt {a^{2}-b}}}&{\text{si }}b-a^{2}<0\\[4pt]-{\dfrac {{\sqrt {2}}\operatorname {argth} {\sqrt {\frac {t+a}{2a}}}}{\sqrt {a}}}&{\text{si }}b-a^{2}=0{\text{ et }}a\neq 0\\[4pt]-{\dfrac {1}{t}}&{\text{si }}a=b=0\end{cases}}\end{aligned}}}
Enfin, si
a
′
<
0
⇔
t
2
−
b
<
0
{\displaystyle a'<0\Leftrightarrow t^{2}-b<0}
, on utilisera encore
arctan
(
i
x
)
=
i
argth
x
{\displaystyle \arctan \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {argth} x}
et le résultat sera toujours réel.
Soit
a
′
,
b
′
,
c
′
∈
R
{\displaystyle a',b',c'\in \mathbb {R} }
et
0
<
k
<
1
{\displaystyle 0<k<1}
. On peut toujours avoir :
d
t
P
(
t
)
=
d
t
a
′
t
4
+
2
b
′
t
2
+
c
′
=
N
d
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {a't^{4}+2b't^{2}+c'}}}={\frac {N\,\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}
Démonstration
Si
b
′
2
−
a
′
c
′
⩽
0
{\displaystyle b'^{2}-a'c'\leqslant 0}
, on peut écrire
cos
α
=
b
′
a
′
c
′
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b'}{\sqrt {a'c'}}}}
et poser
θ
=
2
arctan
(
a
′
c
′
4
t
)
⇔
t
=
c
′
a
′
4
tan
θ
2
{\displaystyle \theta =2\arctan \left({\sqrt[{4}]{\frac {a'}{c'}}}t\right)\Leftrightarrow t={\sqrt[{4}]{\frac {c'}{a'}}}\tan {\frac {\theta }{2}}}
. Ainsi :
d
t
P
(
t
)
=
c
′
a
′
4
d
θ
2
cos
2
θ
2
c
′
tan
4
θ
2
+
2
cos
α
tan
2
θ
2
+
1
=
d
θ
2
a
′
c
′
4
cos
4
θ
2
+
2
(
1
−
2
sin
2
α
2
)
cos
2
θ
2
sin
2
θ
2
+
sin
4
θ
2
=
d
θ
2
a
′
c
′
4
(
cos
2
θ
2
+
sin
2
θ
2
)
2
−
sin
2
α
2
sin
2
θ
=
1
2
a
′
c
′
4
d
θ
1
−
sin
2
α
2
sin
2
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}&={\frac {{\sqrt[{4}]{\frac {c'}{a'}}}\mathrm {d} \theta }{2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}{\sqrt {c'}}{\sqrt {\tan ^{4}{\frac {\theta }{2}}+2\cos \alpha \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}+1}}}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{2{\sqrt[{4}]{a'c'}}{\sqrt {\cos ^{4}{\frac {\theta }{2}}+2\left(1-2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\right)\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\sin ^{4}{\frac {\theta }{2}}}}}}\\&={\frac {\mathrm {d} \theta }{2{\sqrt[{4}]{a'c'}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\right)^{2}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\theta }}}}={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{a'c'}}}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\theta }}}\end{aligned}}}
Sinon, on posera
t
2
=
A
−
B
sin
2
θ
C
−
D
sin
2
θ
{\displaystyle t^{2}={\frac {A-B\sin ^{2}\theta }{C-D\sin ^{2}\theta }}}
(où
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
et
D
{\displaystyle D}
sont 4 nouvelles grandeurs) et plusieurs cas se présentent :
P
(
t
)
=
s
2
(
t
2
−
p
2
)
(
t
2
−
q
2
)
⇒
t
2
∈
[
0
;
p
2
]
∪
[
q
2
;
∞
[
{\displaystyle P(t)=\;\;\,s^{2}\left(t^{2}-p^{2}\right)\left(t^{2}-q^{2}\right)\Rightarrow t^{2}\in \left[0;p^{2}\right]\cup \left[q^{2};\infty \right[}
.
p
⩽
q
{\displaystyle p\leqslant q}
. On pose :
θ
=
arcsin
t
p
⇔
t
=
p
sin
θ
⇒
d
t
P
(
t
)
=
p
cos
θ
d
θ
s
p
cos
θ
q
2
−
p
2
sin
2
θ
=
1
s
q
d
θ
1
−
p
2
q
2
sin
2
θ
{\displaystyle \theta =\arcsin {\frac {t}{p}}\Leftrightarrow t=p\,\sin \theta \Rightarrow {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}={\frac {p\,\cos \theta \,\mathrm {d} \theta }{s\,p\,\cos \theta {\sqrt {q^{2}-p^{2}\sin ^{2}\theta }}}}={\frac {1}{s\,q}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\sin ^{2}\theta }}}}
pour
t
2
∈
[
0
;
p
2
]
{\displaystyle t^{2}\in \left[0;p^{2}\right]}
θ
=
−
arcsin
q
t
⇔
t
=
−
q
sin
θ
⇒
d
t
P
(
t
)
=
q
cos
θ
sin
2
θ
d
θ
s
q
cos
θ
q
2
−
p
2
sin
2
θ
sin
2
θ
=
1
s
q
d
θ
1
−
p
2
q
2
sin
2
θ
{\displaystyle \theta =-\arcsin {\frac {q}{t}}\Leftrightarrow t=-{\frac {q}{\sin \theta }}\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}={\frac {{\frac {q\,\cos \theta }{\sin ^{2}\theta }}\mathrm {d} \theta }{\frac {s\,q\,\cos \theta {\sqrt {q^{2}-p^{2}\sin ^{2}\theta }}}{\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{s\,q}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\sin ^{2}\theta }}}}
pour
t
2
∈
[
q
2
;
∞
[
{\displaystyle t^{2}\in \left[q^{2};\infty \right[}
P
(
t
)
=
s
2
(
t
2
+
p
2
)
(
t
2
−
q
2
)
⇒
t
2
∈
[
q
2
;
∞
[
{\displaystyle P(t)=\;\;\,s^{2}\left(t^{2}+p^{2}\right)\left(t^{2}-q^{2}\right)\Rightarrow t^{2}\in \left[q^{2};\infty \right[}
. On pose :
θ
=
arccos
q
t
⇔
t
=
q
cos
θ
⇒
d
t
P
(
t
)
=
q
sin
θ
cos
2
θ
d
θ
s
q
sin
θ
q
2
+
p
2
cos
2
θ
cos
2
θ
=
1
s
p
2
+
q
2
d
θ
1
−
p
2
p
2
+
q
2
sin
2
θ
{\displaystyle \theta =\arccos {\frac {q}{t}}\Leftrightarrow t={\frac {q}{\cos \theta }}\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}={\frac {{\frac {q\,\sin \theta }{\cos ^{2}\theta }}\mathrm {d} \theta }{\frac {s\,q\,\sin \theta {\sqrt {q^{2}+p^{2}\cos ^{2}\theta }}}{\cos ^{2}\theta }}}={\frac {1}{s{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {p^{2}}{p^{2}+q^{2}}}\sin ^{2}\theta }}}}
P
(
t
)
=
s
2
(
t
2
+
p
2
)
(
t
2
+
q
2
)
⇒
t
2
∈
[
0
;
∞
[
{\displaystyle P(t)=\;\;\,s^{2}\left(t^{2}+p^{2}\right)\left(t^{2}+q^{2}\right)\Rightarrow t^{2}\in \left[0;\infty \right[}
.
p
⩽
q
{\displaystyle p\leqslant q}
. On pose :
θ
=
arctan
t
p
⇔
t
=
p
tan
θ
⇒
d
t
P
(
t
)
=
p
cos
2
θ
d
θ
s
p
q
2
+
p
2
tan
2
θ
cos
θ
=
1
s
q
d
θ
1
−
q
2
−
p
2
q
2
sin
2
θ
{\displaystyle \theta =\arctan {\frac {t}{p}}\Leftrightarrow t=p\,\tan \theta \Rightarrow {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}={\frac {{\frac {p}{\cos ^{2}\theta }}\mathrm {d} \theta }{\frac {s\,p{\sqrt {q^{2}+p^{2}\tan ^{2}\theta }}}{\cos \theta }}}={\frac {1}{s\,q}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {q^{2}-p^{2}}{q^{2}}}\sin ^{2}\theta }}}}
P
(
t
)
=
−
s
2
(
t
2
−
p
2
)
(
t
2
−
q
2
)
⇒
t
2
∈
[
p
2
;
q
2
[
{\displaystyle P(t)=-s^{2}\left(t^{2}-p^{2}\right)\left(t^{2}-q^{2}\right)\Rightarrow t^{2}\in \left[p^{2};q^{2}\right[}
.
p
⩽
q
{\displaystyle p\leqslant q}
. On pose :
θ
=
π
−
arccos
t
q
⇔
t
=
−
q
cos
θ
⇒
d
t
P
(
t
)
=
q
sin
θ
d
θ
s
q
(
q
2
cos
2
θ
−
p
2
)
sin
θ
=
1
s
q
2
−
p
2
d
θ
1
−
q
2
q
2
−
p
2
sin
2
θ
{\displaystyle \theta =\pi -\arccos {\frac {t}{q}}\Leftrightarrow t=-q\cos \theta \Rightarrow {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}={\frac {q\sin \theta \;\mathrm {d} \theta }{s\,q\left(q^{2}\cos ^{2}\theta -p^{2}\right)\sin \theta }}={\frac {1}{s{\sqrt {q^{2}-p^{2}}}}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{q^{2}-p^{2}}}\sin ^{2}\theta }}}}
P
(
t
)
=
−
s
2
(
t
2
+
p
2
)
(
t
2
−
q
2
)
⇒
t
2
∈
[
0
;
q
2
[
{\displaystyle P(t)=-s^{2}\left(t^{2}+p^{2}\right)\left(t^{2}-q^{2}\right)\Rightarrow t^{2}\in \left[0;q^{2}\right[}
. On pose :
θ
=
arcsin
(
p
2
+
q
2
)
t
2
q
2
(
t
2
+
p
2
)
⇔
t
=
p
q
sin
θ
p
2
+
q
2
cos
2
θ
⇒
d
t
P
(
t
)
=
p
q
(
p
2
+
q
2
)
cos
θ
(
p
2
+
q
2
cos
2
θ
)
3
/
2
d
θ
s
p
q
(
p
2
+
q
2
)
cos
θ
p
2
+
q
2
cos
2
θ
=
1
s
p
2
+
q
2
d
θ
1
−
q
2
p
2
+
q
2
sin
2
θ
{\displaystyle \theta =\arcsin {\sqrt {\frac {\left(p^{2}+q^{2}\right)t^{2}}{q^{2}\left(t^{2}+p^{2}\right)}}}\Leftrightarrow t={\frac {p\,q\sin \theta }{\sqrt {p^{2}+q^{2}\cos ^{2}\theta }}}\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}={\frac {{\frac {p\,q\left(p^{2}+q^{2}\right)\cos \theta }{\left(p^{2}+q^{2}\cos ^{2}\theta \right)^{3/2}}}\mathrm {d} \theta }{\frac {s\,p\,q\left(p^{2}+q^{2}\right)\cos \theta }{p^{2}+q^{2}\cos ^{2}\theta }}}={\frac {1}{s{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{p^{2}+q^{2}}}\sin ^{2}\theta }}}}
P
(
t
)
=
−
s
2
(
t
2
+
p
2
)
(
t
2
+
q
2
)
⇒
t
2
∈
∅
{\displaystyle P(t)=-s^{2}\left(t^{2}+p^{2}\right)\left(t^{2}+q^{2}\right)\Rightarrow t^{2}\in \varnothing }
. On n'intègre pas car
P
(
t
)
⩽
0
{\displaystyle P(t)\leqslant 0}
.
Si les racines
t
2
{\displaystyle t^{2}}
de
P
(
t
)
=
a
′
t
4
+
2
b
′
t
2
+
c
′
=
a
′
(
t
2
−
p
2
)
(
t
2
−
q
2
)
{\displaystyle P(t)=a't^{4}+2b't^{2}+c'=a'\left(t^{2}-p^{2}\right)\left(t^{2}-q^{2}\right)}
sont réelles, c.-à-d. si
p
2
{\displaystyle p^{2}}
et
q
2
{\displaystyle q^{2}}
sont réels, on devra résoudre une expression de la forme
∫
x
0
x
a
t
2
+
c
+
d
1
−
n
t
2
P
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {at^{2}+c+{\frac {d}{1-n\,t^{2}}}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t}
avec
t
2
=
A
−
B
sin
2
θ
C
−
D
sin
2
θ
{\displaystyle t^{2}={\frac {A-B\sin ^{2}\theta }{C-D\sin ^{2}\theta }}}
, ce qui donnera :
∫
x
0
x
a
A
−
a
B
sin
2
θ
C
−
D
sin
2
θ
+
c
+
d
C
−
d
D
sin
2
θ
(
C
−
n
A
)
−
(
D
−
n
B
)
sin
2
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
=
∫
x
0
x
a
B
D
+
(
A
D
−
B
C
)
D
1
C
−
D
sin
2
θ
+
c
+
d
D
D
−
n
B
+
n
d
(
A
D
−
B
C
)
D
−
n
B
1
(
C
−
n
A
)
−
(
D
−
n
B
)
sin
2
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
=
∫
x
0
x
c
+
a
B
D
+
d
D
D
−
n
B
+
(
A
D
−
B
C
)
D
C
1
1
−
D
C
sin
2
θ
+
n
d
(
A
D
−
B
C
)
(
D
−
n
B
)
(
C
−
n
A
)
1
1
−
D
−
n
B
C
−
n
A
sin
2
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {{\frac {a\,A-a\,B\sin ^{2}\theta }{C-D\sin ^{2}\theta }}+c+{\frac {d\,C-d\,D\sin ^{2}\theta }{\left(C-n\,A\right)-\left(D-n\,B\right)\sin ^{2}\theta }}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\mathrm {d} \theta &=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {{\frac {a\,B}{D}}+{\frac {\left(A\,D-B\,C\right)}{D}}{\frac {1}{C-D\sin ^{2}\theta }}+c+{\frac {d\,D}{D-n\,B}}+{\frac {n\,d\,\left(A\,D-B\,C\right)}{D-n\,B}}{\frac {1}{\left(C-n\,A\right)-\left(D-n\,B\right)\sin ^{2}\theta }}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\mathrm {d} \theta \\&=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {c+{\frac {a\,B}{D}}+{\frac {d\,D}{D-n\,B}}+{\frac {\left(A\,D-B\,C\right)}{DC}}{\frac {1}{1-{\frac {D}{C}}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {n\,d\,\left(A\,D-B\,C\right)}{\left(D-n\,B\right)\left(C-n\,A\right)}}{\frac {1}{1-{\frac {D-n\,B}{C-n\,A}}\sin ^{2}\theta }}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\mathrm {d} \theta \end{aligned}}}
si
D
≠
0
{\displaystyle D\neq 0}
et si
D
−
n
B
≠
0
{\displaystyle D-n\,B\neq 0}
, sinon il restera en plus un terme multipliant
sin
2
θ
{\displaystyle \sin ^{2}\theta }
. Ainsi, on sera amené à résoudre :
∫
0
φ
a
1
+
a
2
(
1
−
k
2
sin
2
θ
)
+
∑
i
a
3
,
i
1
1
−
n
i
sin
2
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
=
a
1
F
(
φ
,
k
)
+
a
2
E
(
φ
,
k
)
+
∑
i
Π
(
n
i
,
φ
,
k
)
{\displaystyle \int _{0}^{\varphi }{\frac {a_{1}+a_{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)+\sum _{i}a_{3,i}{\frac {1}{1-n_{i}\sin ^{2}\theta }}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\mathrm {d} \theta =a_{1}F\left(\varphi ,k\right)+a_{2}E\left(\varphi ,k\right)+\sum _{i}\Pi \left(n_{i},\varphi ,k\right)}
Si les racines
t
2
{\displaystyle t^{2}}
de
P
(
t
)
{\displaystyle P(t)}
ne sont pas réelles,
t
2
{\displaystyle t^{2}}
ne peut pas être exprimé sous la forme
A
−
B
sin
2
θ
C
−
D
sin
2
θ
{\displaystyle {\frac {A-B\sin ^{2}\theta }{C-D\sin ^{2}\theta }}}
[ A 2] , mais on peut toujours exprimer une intégrale elliptique à l'aide des trois intégrales sus-mentionnées[ 8] [Comment ?] .
Des changements de variable donnent d'autres expressions :
F
(
φ
,
k
)
=
∫
u
=
sin
θ
=
0
sin
φ
1
(
1
−
u
2
)
(
1
−
k
2
u
2
)
d
u
=
∫
v
=
u
sin
φ
=
0
1
sin
φ
(
1
−
sin
2
φ
v
2
)
(
1
−
k
2
sin
2
φ
v
2
)
d
v
=
∫
u
=
tan
θ
=
0
tan
φ
1
(
1
+
u
2
)
[
1
+
(
1
−
k
2
)
u
2
]
d
u
=
∫
v
=
u
tan
φ
=
0
1
tan
φ
(
1
+
tan
2
φ
v
2
)
[
1
+
(
1
−
k
2
)
tan
2
φ
v
2
]
d
v
=
∫
u
=
tan
θ
2
=
0
tan
φ
2
2
(
1
+
u
2
)
2
−
4
k
2
u
2
d
u
=
∫
v
=
u
tan
φ
2
=
0
1
2
tan
φ
2
(
1
+
tan
2
φ
2
v
2
)
2
−
4
k
2
tan
2
φ
2
v
2
d
v
E
(
φ
,
k
)
=
∫
u
=
sin
θ
=
0
sin
φ
1
−
k
2
u
2
1
−
u
2
d
u
=
∫
v
=
u
sin
φ
=
0
1
sin
φ
1
−
k
2
sin
2
φ
v
2
1
−
sin
2
φ
v
2
d
v
=
∫
u
=
tan
θ
=
0
tan
φ
1
+
(
1
−
k
2
)
u
2
(
1
+
u
2
)
3
/
2
d
u
=
∫
v
=
u
tan
φ
=
0
1
tan
φ
1
+
(
1
−
k
2
)
tan
2
φ
v
2
(
1
+
tan
2
φ
v
2
)
3
/
2
d
v
=
∫
u
=
tan
θ
2
=
0
tan
φ
2
2
(
1
+
u
2
)
2
−
4
k
2
u
2
(
1
+
u
2
)
2
d
u
=
∫
v
=
u
tan
φ
2
=
0
1
2
tan
φ
2
(
1
+
tan
2
φ
2
v
2
)
2
−
4
k
2
tan
2
φ
2
v
2
(
1
+
tan
2
φ
2
v
2
)
2
d
v
Π
(
n
,
φ
,
k
)
=
∫
u
=
sin
θ
=
0
sin
φ
1
1
−
n
u
2
1
(
1
−
u
2
)
(
1
−
k
2
u
2
)
d
u
=
∫
v
=
u
sin
φ
=
0
1
1
1
−
n
sin
2
φ
v
2
1
(
1
−
sin
2
φ
v
2
)
(
1
−
k
2
sin
2
φ
v
2
)
d
v
=
∫
u
=
tan
θ
=
0
tan
φ
1
1
+
(
1
−
n
)
u
2
1
+
u
2
1
+
(
1
−
k
2
)
u
2
d
u
=
∫
v
=
u
tan
φ
=
0
1
1
1
+
(
1
−
n
)
tan
2
φ
v
2
tan
φ
1
+
tan
2
φ
v
2
1
+
(
1
−
k
2
)
tan
2
φ
v
2
d
v
=
∫
u
=
tan
θ
2
=
0
tan
φ
2
2
(
1
+
u
2
)
2
(
1
+
u
2
)
2
−
4
n
u
2
1
(
1
+
u
2
)
2
−
4
k
2
u
2
d
u
=
∫
v
=
u
tan
φ
2
=
0
1
2
tan
φ
2
(
1
+
tan
2
φ
2
v
2
)
2
(
1
+
tan
2
φ
2
v
2
)
2
−
4
n
tan
2
φ
2
v
2
1
(
1
+
tan
2
φ
2
v
2
)
2
−
4
k
2
tan
2
φ
2
v
2
d
v
{\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi ,k)&=\int _{u=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{\sqrt {(1-u^{2})(1-k^{2}u^{2})}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;=\int _{v={\frac {u}{\sin \varphi }}=0}^{1}{\frac {\sin \varphi }{\sqrt {(1-\sin ^{2}\varphi \;v^{2})(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi \;v^{2})}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan \theta =0}^{\tan \varphi }{\frac {1}{\sqrt {(1+u^{2})[1+(1-k^{2})u^{2}]}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \quad \;\,=\int _{v={\frac {u}{\tan \varphi }}=0}^{1}{\frac {\tan \varphi }{\sqrt {(1+\tan ^{2}\varphi \;v^{2})[1+(1-k^{2})\tan ^{2}\varphi \;v^{2}]}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan {\frac {\theta }{2}}=0}^{\tan {\frac {\varphi }{2}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+u^{2})^{2}-4k^{2}u^{2}}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \quad \;\;\,=\int _{v={\frac {u}{\tan {\frac {\varphi }{2}}}}=0}^{1}{\frac {2\tan {\frac {\varphi }{2}}}{\sqrt {(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}-4k^{2}\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2}}}}\,\mathrm {d} v\\E(\varphi ,k)&=\int _{u=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {\sqrt {1-k^{2}u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,=\int _{v={\frac {u}{\sin \varphi }}=0}^{1}{\frac {\sin \varphi {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi \;v^{2}}}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\varphi \;v^{2}}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan \theta =0}^{\tan \varphi }{\frac {\sqrt {1+(1-k^{2})u^{2}}}{(1+u^{2})^{3/2}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\,=\int _{v={\frac {u}{\tan \varphi }}=0}^{1}{\frac {\tan \varphi {\sqrt {1+(1-k^{2})\tan ^{2}\varphi \;v^{2}}}}{(1+\tan ^{2}\varphi \;v^{2})^{3/2}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan {\frac {\theta }{2}}=0}^{\tan {\frac {\varphi }{2}}}{\frac {2{\sqrt {(1+u^{2})^{2}-4k^{2}u^{2}}}}{(1+u^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \quad \,=\int _{v={\frac {u}{\tan {\frac {\varphi }{2}}}}=0}^{1}{\frac {2\tan {\frac {\varphi }{2}}{\sqrt {(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}-4k^{2}\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2}}}}{(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} v\\\Pi (n,\varphi ,k)&=\int _{u=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nu^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {\left(1-u^{2}\right)\left(1-k^{2}u^{2}\right)}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad =\int _{v={\frac {u}{\sin \varphi }}=0}^{1}{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\varphi \;v^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {\left(1-\sin ^{2}\varphi \;v^{2}\right)\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi \;v^{2}\right)}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan \theta =0}^{\tan \varphi }{\frac {1}{1+(1-n)u^{2}}}{\frac {\sqrt {1+u^{2}}}{\sqrt {1+(1-k^{2})u^{2}}}}\,\mathrm {d} u\qquad \quad \;=\int _{v={\frac {u}{\tan \varphi }}=0}^{1}{\frac {1}{1+(1-n)\tan ^{2}\varphi \;v^{2}}}{\frac {\tan \varphi {\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi \;v^{2}}}}{\sqrt {1+(1-k^{2})\tan ^{2}\varphi \;v^{2}}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan {\frac {\theta }{2}}=0}^{\tan {\frac {\varphi }{2}}}{\frac {2(1+u^{2})^{2}}{(1+u^{2})^{2}-4nu^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {(1+u^{2})^{2}-4k^{2}u^{2}}}}\,\mathrm {d} u=\int _{v={\frac {u}{\tan {\frac {\varphi }{2}}}}=0}^{1}{\frac {2\tan {\frac {\varphi }{2}}(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}}{(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}-4n\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}-4k^{2}\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2}}}}\mathrm {d} v\end{aligned}}}
Avec une série de Taylor-MacLaurin
modifier
On peut utiliser son développement en série entière ,
∀
k
2
∈
]
−
∞
;
1
[
{\displaystyle \forall k^{2}\in ]-\infty ;1[}
:
K
(
k
)
=
∫
θ
=
0
π
/
2
1
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
=
π
2
∑
n
=
0
∞
[
P
2
n
(
0
)
]
2
k
2
n
=
π
2
∑
n
=
0
∞
[
CBC
(
n
)
2
2
n
]
2
k
2
n
=
π
2
∑
n
=
0
∞
[
C
2
n
n
2
2
n
]
2
k
2
n
=
π
2
∑
n
=
0
∞
[
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
]
2
k
2
n
=
π
2
∑
n
=
0
∞
[
(
2
n
)
!
2
2
n
n
!
2
]
2
k
2
n
=
π
2
{
1
+
(
1
2
)
2
k
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
k
4
+
⋯
+
[
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
]
2
k
2
n
+
⋯
}
{\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&=\int _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[P_{2n}\left(0\right)\right]^{2}k^{2n}\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\operatorname {CBC} \left(n\right)}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right]^{2}k^{2n}\\&={\frac {\pi }{2}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}k^{2n}+\cdots \right\}\end{aligned}}}
où :