Intégrale elliptique

fonction rationelle relative aux polynômes

Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme est une fonction rationnelle à deux variables, est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et est une constante ; autrement dit , , et sont des polynômes quelconques.

Formes canoniques

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Adrien-Marie Legendre, qui en a offert la première étude systématique, a montré que des changements de variables adéquats permettent d'exprimer les intégrales elliptiques en fonction de seulement trois formes canoniques[1] appelées intégrale elliptique de première, de deuxième et de troisième espèce  et qui s'écrivent souvent ainsi[4] :

espèce         Forme de Legendre Forme de Jacobi
1re
           
2e
           
3e
           

On prendra garde en particulier à ne pas confondre la virgule avec le point-virgule. La notation de l'intégrale elliptique avec un point-virgule ne permet que d'exprimer des intégrales elliptiques où  . En utilisant   au lieu de  , l'ensemble de définition est étendu à  , mais de toute façon, on peut toujours se ramener à une forme où  .  . Il est aussi défini[B 1] :

 

Vocabulaire

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On appelle :

  •   le module elliptique ou excentricité
  •   le paramètre
  •   le comodule
  •   l'angle modulaire
  •   l'amplitude
  •   la caractéristique

L'intégrale est dite :

  • incomplète si   est quelconque
  • complète si  

Les intégrales elliptiques complètes de 1re, 2e et 3e espèce sont respectivement[5] :

   

On définit aussi[6] :

 

On définit[A 2] :

 

Le "nom elliptique"[traduction souhaitée 1] ou grandeur d'expansion jacobienne est la fonction spéciale :

 

Graphiques

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Intégrales complètes
 
 
  pour différentes valeurs de  
  et  
La pente n'est pas nulle en 0.
 
pointillés ligne continue tirets
     
     
     
  et  . Cliquer pour modifier   et  
  pour diverses valeurs de  
  pour diverses valeurs de  

Historique

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L'intégrale est appelée elliptique car des intégrales de cette forme apparaissent lors du calcul du périmètre des ellipses et de la surface des ellipsoïdes. Il existe également des applications de grande envergure en physique. Par exemple :

Legendre appelait ces intégrales des fonctions elliptiques. Après les travaux de Niels Abel et de Carl Gustav Jakob Jacobi, en 1827, le nom de fonction elliptique est maintenant réservé aux applications réciproques de ces intégrales ou découlant de ces applications réciproques : les fonctions elliptiques de Jacobi, les fonctions elliptiques de Weierstrass et les fonctions elliptiques d'Abel.

Nombres d'espèces

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Adrien-Marie Legendre a montré que des changements de variables permettent de ramener les intégrales de la forme[A 3]   aux trois formes canoniques sus-mentionnées.

Décomposition en éléments simples

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En effet, on peut décomposer l'intégrande ainsi :

 

 ,  ,  ,   et   sont des polynômes tels que   et   et  . Il reste deux intégrales à calculer.

Réduction du degré des polynômes

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Chacune des intégrales du troisième terme peut se ramener à une expression de la forme :

 

Chacune des intégrales du quatrième terme peut se ramener à une expression de la forme :

 

Si  ,  ,  ,   et   sont réels, et si on veut qu'ils le restent, alors si   est réel, on peut faire disparaître le quatrième terme du numérateur en posant :

 

Élimination des puissances impaires du radical

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On peut ensuite faire disparaître les puissances impaires sous le radical. Si on écrit :

 
  • Une première méthode est de poser :
 
Ainsi, on a :
 
 
  • Une deuxième méthode qui permet d'avoir   (ce qui n'est pas immédiatement le cas avec la première méthode) est de poser :
 
Si  ,  ,  ,   et   sont réels, alors on peut toujours trouver deux réels   et   qui permettent d'écrire   sans puissances impaires de  .

Élimination des puissances impaires de la fonction rationnelle

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En posant  , on a   et   s'exprime avec des fonctions trigonométriques ou hyperboliques.

De même,   se transformera en  .

Expression sous une forme trigonométrique

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Soit   et  . On peut toujours avoir :

 

Forme canonique

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Si les racines   de   sont réelles, c.-à-d. si   et   sont réels, on devra résoudre une expression de la forme   avec  , ce qui donnera :

 

si   et si  , sinon il restera en plus un terme multipliant  . Ainsi, on sera amené à résoudre :  

Si les racines   de   ne sont pas réelles,   ne peut pas être exprimé sous la forme  [A 2], mais on peut toujours exprimer une intégrale elliptique à l'aide des trois intégrales sus-mentionnées[8][Comment ?].

Autres écritures

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Avec des intégrales

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Des changements de variable donnent d'autres expressions :

 

Avec une série de Taylor-MacLaurin

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1re espèce

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On peut utiliser son développement en série entière,   :

 

où :