Coefficient binomial

nombre de parties de k éléments dans un ensemble de n éléments

En mathématiques, les coefficients binomiaux, définis pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n, donnent le nombre de parties de k éléments dans un ensemble de n éléments. On les note (lu « k parmi n ») ou Ck
n
(lu « nombre de combinaisons de k parmi n »).

Les deux notations sont préconisées par la norme ISO/CEI 80000-2:2009[1] : la première est celle du « coefficient binomial » (2-10.4) et la seconde celle du « nombre de combinaisons sans répétition » (2-10.6).

Cette quantité s'exprime à l'aide de la fonction factorielle :

.

Les coefficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme en algèbre, dénombrements, développement en série, lois de probabilités, etc.

On peut les généraliser, sous certaines conditions, aux nombres complexes.

Établissement de la formuleModifier

L'expression   du nombre de parties à k éléments, c'est-à-dire du nombre de k-combinaisons dans un ensemble à n éléments, se détermine en calculant de deux façons différentes le nombre de k-arrangements dans cet ensemble, à savoir

 

La confrontation des deux calculs donne l'expression algébrique de  , pour k variant de 0 à n[2] :

 

en particulier,   (dans un ensemble à n éléments, il y a exactement une partie à 0 élément : l'ensemble vide) et de même,  .

Si k est strictement négatif ou strictement supérieur à n, le coefficient binomial est nul.

Exemple : Dans un ensemble à 4 éléments {a,b,c,d}, il y a   parties à deux éléments, à savoir : {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}.

Propriété récursive des coefficients binomiaux d'entiers Modifier

Une importante relation, la formule de Pascal, lie les coefficients binomiaux : pour tout couple (n,k) d'entiers naturels[3],

 

On la démontre classiquement par un raisonnement combinatoire élémentaire[4], mais on peut aussi utiliser la forme factorielle[5].

Elle donne lieu au triangle de Pascal qui permet un calcul rapide des coefficients pour de petites valeurs de n :

0 : 1
1 : 1 1
2 : 1 2 1
3 : 1 3 3 1
4 : 1 4 6 4 1
5 : 1 5 10 10 5 1
6 : 1 6 15 20 15 6 1
7 : 21 35 35 21
8 : 28 56 70 56 28

Les coefficients   pour 0 ≤ kn figurent à la n-ième ligne. Le triangle est construit en plaçant des 1 aux extrémités de chaque ligne et en complétant la ligne en reportant la somme des deux nombres adjacents de la ligne supérieure. k se lit de gauche à droite sur la n-ième ligne en partant de 0 jusqu'à n.

Utilisation des coefficients binomiauxModifier

Développement du binôme de NewtonModifier

Ces nombres sont les coefficients qui apparaissent en développant la puissance n-ième de x + y :

 

Par exemple, en regardant la cinquième ligne du triangle de Pascal, on obtient immédiatement que :

  .

Dérivée d'ordre n d'un produit de fonctionsModifier

Soient n un entier supérieur ou égal à 1, et f et g deux fonctions n fois dérivables en un point x, alors leur produit fg est aussi n fois dérivable au point x, et la dérivée d'ordre n est donnée par la formule de Leibniz :

 

Par exemple,  

Combinatoire et statistiqueModifier

Les coefficients binomiaux sont importants en combinatoire, parce qu'ils fournissent des formules utilisées dans des problèmes fréquents de dénombrement :

  • Le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments est égal à  . C'est également le nombre de listes de longueur n, constituées de 1 et de 0, et ayant k fois l'élément 1 et n–k l'élément 0. Ces parties ou ces listes sont appelées des k-combinaisons sans répétition.
  • Le nombre de suites de n entiers naturels dont la somme vaut k est égale à  . C'est aussi le nombre de façons de choisir k éléments d'un ensemble à n éléments si les répétitions sont permises (nombre de combinaisons avec répétition).
  • En théorie des probabilités et en statistique, les coefficients de binôme apparaissent dans la définition de la loi binomiale.
  • Ils interviennent dans la définition des polynômes de Bernstein et dans l'équation paramétrique d'une courbe de Bézier.
  • D'un point de vue plus intuitif, ce nombre permet de savoir combien de tirages de k éléments parmi n différents on peut réaliser. Exemple : les quatre as d'un jeu de cartes sont face contre table, on veut savoir combien de possibilités de jeu il existe si l'on prend simultanément deux cartes au hasard. Si l'on suit la formule il y en a six.
    Pour s'en persuader, voici la liste des mains :
    1. as de cœur et as de carreau
    2. as de cœur et as de trèfle
    3. as de cœur et as de pique
    4. as de carreau et as de trèfle
    5. as de carreau et as de pique
    6. as de trèfle et as de pique
Il n'existe pas d'autres possibilités vu que l'ordre n'importe pas (« carreau - pique » est équivalent à « pique - carreau »).

Diviseurs et coefficients binomiauxModifier

  • Un entier n ≥ 2 est premier si et seulement si tous les   pour k = 1, … , n – 1 sont divisibles par n.

Si p est un nombre premier et pr est la plus grande puissance de p qui divise  , alors r est égal au nombre d'entiers naturels j tels que la partie fractionnaire de kpj soit plus grande que la partie fractionnaire de npj. C'est le nombre de retenues dans l'addition de k et n – k, lorsque ces deux nombres sont écrits en base p[6],[7].

En particulier,   est toujours divisible par   (pgcd signifie plus grand commun diviseur).

La règle permet de déterminer les   qui sont pairs. Il suffit pour cela de prendre p = 2 et r ≥ 1. La soustraction de n par k nécessite donc au moins une retenue en binaire. Cela signifie que, dans le développement binaire de n, il se trouve au moins un 0 situé au même rang qu'un 1 dans le développement binaire de k.

À l'inverse,   est impair si, à chaque fois que k possède un 1 dans son développement binaire, il en est de même de n au même rang. On dit que k implique n. Par exemple, si n est de la forme 2p – 1, tous ses chiffres binaires valent 1, et tous les   seront impairs. Si n = 2p, alors n possède un seul 1 dans son développement binaire, et seuls   et   sont impairs, tous les autres sont pairs.

GénéralisationsModifier

Elargissement du domaine de définitionModifier

Jusqu'à présent le coefficient binomial   était définit pour k et n entiers naturels avec kn. Il existe plusieurs manières d'étendre le domaine de définition (ces différentes extensions de la définition étant compatibles les unes avec les autres).

  • Tout d'abord, l'interprétation combinatoire des coefficients binomiaux amène à poser   pour n < k. En effet, il n'existe pas de sous-ensembles à k éléments d'un ensemble à n éléments si n < k.
  • Pour tout entier naturel n et tout entier naturel k compris entre 0 et n, le coefficient binomial   satisfait la formule  . Le terme de droite dans cette égalité a toujours un sens lorsque n est un entier relatif et même un nombre réel ou complexe et lorsque k est un entier naturel quelconque. Si l'on utilise le symbole de Pochhammer   pour les factorielles descendantes, alors pour tout nombre réel ou complexe z et entier naturel k on peut définir le coefficient binomial   par la formule :
     .
    C'est cette définition des coefficients binomiaux qui est utilisée dans la formule du binôme négatif, dans la formule du binôme généralisée ainsi que dans la définition de la loi binomiale négative (généralisée à un premier paramètre réel).
  • Il existe une autre manière de définir   pour k entier naturel et n entier relatif par la formule :
     
    qui ramène au cas initial lorsque n est négatif.
  • Il est possible de poser   lorsque k est un entier négatif. L'avantage de cette convention est qu'elle conserve la plupart des formules établies jusqu'ici vraies.
  • La définition de   peut se généraliser, à l'aide de la fonction gamma Γ. Pour tout entier naturel n, n! = Γ(n+1), ainsi, pour tout entier naturel n et pour tout entier naturel kn on a :
     .
    Comme la fonction Γ est définie pour tout complexe qui n'est pas un entier négatif ou nul, on peut généraliser le coefficient binomial à tous complexes w et z qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls et tels que z - w ne soit pas un entier négatif ou nul, par la formule :
     .
    Cette formule peut d'ailleurs s'écrire plus simplement à l'aide de la fonction bêta B :
     .
  • Enfin, il est possible d'unifier toutes les définitions précédentes avec la fonction gamma, en résolvant le problème de pôles de cette fonction par un passage à la limite :
     .
    Dans cette dernière formule, l'ordre des limites est important[8]. Cette définition donne une valeur infinie au coefficient binomial dans le cas où z est un entier négatif non nul et w n'est pas un entier strictement négatif.
Récapitulatif des généralisations[9]
Généralisation Domaine de définition Définition Notations et remarques
   

 

   

 

   

 

 
   

 

   

 

   

 

 
   

 

 

    désigne la fonction gamma.

 

   

 

   

 

Coefficients multinomiauxModifier

Une autre généralisation importante des coefficients binomiaux part de la formule du multinôme de Newton, laquelle permet de définir les coefficients multinomiaux.

Formules faisant intervenir les coefficients binomiauxModifier

On suppose que k, n sont des entiers ; x, y, z, z′ des complexes.

On rappelle que :

  (formule de Pascal)
  (formule du binôme de Newton)

Les formules suivantes peuvent être utiles :

 
  et plus généralement   (formule parfois dite « du pion »[10]).

En remplaçant dans (3) x = y = 1, on obtient

  ;

De nombreuses formules analogues peuvent être obtenues ainsi ; par exemple, avec x = 1 et y = −1, on obtient

  si n > 0 ;

avec x = 1 et y = i (donc y2 = −1), on obtient

 .

Dans l'identité (3), en remplaçant x par 1 et en prenant la dérivée en 1 par rapport à y, il vient

 

En développant (x + y)n(x + y)m = (x + y)m+n avec (3), on obtient l'identité de Vandermonde :

  et plus généralement  

À partir du développement (8), en remplaçant m et r par n et en utilisant (4), on obtient

 .

En développant (x + y)2n(xy)2n = (x2y2)2n et en observant le coefficient devant x2ny2n, on obtient

  .

On a

 ,

Fn+1 désigne le n+ 1-ième terme de la suite de Fibonacci. Cette formule sur les diagonales du triangle de Pascal peut être démontrée par une récurrence sur n en utilisant (2).

Pour tous entiers naturels m, n et rm + n,

 

Cet analogue de l'identité de Vandermonde (8) peut se démontrer de la même façon, à partir de la formule du binôme négatif[11]. Un cas particulier est (pour tous entiers rn ≥ 0)[12] :

 .

Encadrement et approximationsModifier

L'encadrement suivant fait intervenir le nombre de Neper et est valable pour toute valeur de k et n[13] :

 

L'écart entre les deux bornes croit exponentiellement, c'est pourquoi il peut être préférable d'utiliser un équivalent asymptotique lorsque l'on connait le comportement de k par rapport à celui de n. Grâce à la formule de Stirling, lorsque n et k tend vers l'infini on a :

 

Mais pour être plus précis, il faut particulariser à différents régimes asymptotiques [13],[14]. Dans les cas ci-dessous,   est la fonction entropie binaire.

  • cas 1: si  ,  ,   alors  
  • cas 2: si  ,   ,   alors  
  • cas 3: si n et k tendent vers l'infini tels que   alors  

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Binomial coefficient » (voir la liste des auteurs).
  1. ISO 80000-2:2009, Grandeurs et unités — Partie 2: Mathématiques, Première édition du 1er décembre 2009, chapitre 10 : Combinatoire
  2. Pour plus de détails, voir le chapitre « Combinaisons sans répétition » sur Wikiversité.
  3. Y compris pour   car  . Cf. par exemple F. Benoist, B. Rivet, S. Maffre, L. Dorat et B. Touzillier, Mathématiques ECS 1re année, Dunod, (lire en ligne), p. 9.
  4. Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon « Sommation » sur Wikiversité.
  5. Voir par exemple Benoist et al. 2011, p. 9, ou le chapitre « Formule du binôme » de la leçon « Sommation » sur Wikiversité.
  6. (de) E. E. Kummer, « Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesentzen », J. Reine Angew. Math., vol. 44,‎ , p. 93-146 (lire en ligne).
  7. (en) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 1 : Fundamental Algorithms (lire en ligne), § 1.2.6, ex. 11.
  8. (en) John D. Cook, « Binomial coefficients ».
  9. Ces définitions sont compatibles lorsque les domaines de définitions s'intersectent.
  10. René Adad, « Principales propriétés des coefficients binomiaux » (consulté le )
  11. Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon sur les séries génératrices sur Wikiversité.
  12. Voir en:Hockey-stick identity.
  13. a et b (en) Shagnik Das, « A brief note on estimates of binomial coefficients » (consulté le )
  14. (en) Neven ELOZOVIC, « Asymptotic expansions of gamma and related functions, binomial coefficients, inequalities and means » [« développement asymptotique de la fonction gamma et de fonctions associées, de coefficients binomiaux, d'inégalités et de moyennes »], Journal of mathematical inequalities, vol. 9,‎ , p. 1024 (lire en ligne)

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Sur les autres projets Wikimedia :

BibliographieModifier

  • (en) Henry W. Gould (en), Combinatorial Identities, A Standardized Set of Tables Listing 500 Binomial Coefficient Summations, (lire en ligne)
  • (en) Henry W. Gould, Tables of Combinatorial Identities, edited by J. Quaintance, 2010, vol. 1 à 8
  • (en) John Riordan (en), Combinatorial Identities, R. E. Krieger, (1re éd. 1968, John Wiley & Sons)

Lien externeModifier

Gérard Eguether, « Coefficients binomiaux »