Fonction thêta

special functions of several complex variables
Fonction theta de Jacobi avec et Par convention (mathematica) : soit encore: par changement de variable.

En mathématiques, on appelle fonctions thêta certaines fonctions spéciales d'une ou de plusieurs variables complexes. Elles apparaissent dans plusieurs domaines, comme l'étude des variétés abéliennes, des espaces de modules, et les formes quadratiques. Elles ont aussi des applications à la théorie des solitons. Leurs généralisations en algèbre extérieure apparaissent dans la théorie quantique des champs, plus précisément dans la théorie des cordes et des D-branes.

Les fonctions thêtas les plus courantes sont celles qui apparaissent en théorie des fonctions elliptiques. Elles vérifient par rapport à l'une de leurs variables (traditionnellement z) certaines relations fonctionnelles qui traduisent les formules d'addition des périodes des fonctions elliptiques associées (quelquefois appelée quasi-périodicité, à ne pas confondre avec la notion homonyme en dynamique).

Fonction thêta de JacobiModifier

La fonction thêta de Jacobi est une fonction de deux variables complexes. C'est la somme totale de la série

 

qui n'est définie que lorsque z décrit le plan complexe et τ le demi-plan de Poincaré des complexes de partie imaginaire strictement positive.

Cette fonction est périodique en la variable z, de période 1. Autrement dit elle satisfait l'équation fonctionnelle suivante :

 

Cela se vérifie directement, car à τ fixé, la série définissant la fonction thêta a la forme d'une série de Fourier.

La fonction se comporte aussi très régulièrement en respectant l'addition par τ et satisfait l'équation fonctionnelle

 

a et b sont des entiers.

 
Fonction Theta ϑ1 pour différentes valeurs de q = eτ. Le point noir à droite représente les différentes valeurs prises par τ.
 
Fonction Theta ϑ1 pour différentes valeurs de q = eτ. Le point noir à droite représente les différentes valeurs prises par τ.

Fonctions auxiliairesModifier

Il est pratique de définir trois fonctions thêta auxiliaires, que nous pouvons écrire

 
 
 

Cette notation suit celle de Riemann et de Mumford ; la formulation originelle de Jacobi était en termes du nome q = exp(πτ) plutôt que τ, et thêta appelé θ3, avec ϑ01 en termes de θ0, ϑ10 nommé θ2 et ϑ11 appelé θ1.

Si nous fixons z = 0 dans les fonctions thêta précédentes, nous obtenons quatre fonctions de τ seulement, définies sur le demi-plan de Poincaré (quelquefois appelées constantes thêta). Celles-ci peuvent être utilisées pour définir une variété de formes modulaires, et pour paramétrer certaines courbes ; en particulier l'identité de Jacobi est

 

laquelle est la courbe de Fermat de degré quatre.

Identités de JacobiModifier

Les identités de Jacobi décrivent comment les fonctions thêta transforment sous le groupe modulaire. Soit

 

Alors

 
 
 
 

Voir aussi : (en) « Proof of Jacobi's identity for   functions », sur PlanetMath

Représentations de produitsModifier

La fonction thêta de Jacobi peut être exprimée comme un produit, à travers le théorème du triple produit de Jacobi :

 

Les fonctions auxiliaires ont les expressions, avec q = exp(iπτ) :

 
 
 
 

Représentations intégralesModifier

Les fonctions thêta de Jacobi ont les représentations intégrales suivantes :

 
 
 
 

Relation avec la fonction zêta de RiemannModifier

Notons qu'en utilisant la formule sommatoire de Poisson et que ex2/2 est sa propre transformée de Fourier on obtient

 

Cette relation fut utilisée par Riemann pour démontrer l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann, signifiant l'intégrale

 

dont on peut montrer qu'elle est invariante par substitution de s par 1 – s. L'intégrale correspondante pour z différent de zéro est donnée dans l'article sur la fonction zêta de Hurwitz.

Relation avec la fonction elliptique de WeierstrassModifier

La fonction thêta fut utilisée par Jacobi pour construire (dans une forme adaptée pour un calcul facile) ses fonctions elliptiques comme des quotients des quatre fonctions thêta précédentes, et il aurait pu l'utiliser pour construire aussi les fonctions elliptiques de Weierstrass, puisque

 

où la constante c est définie comme le développement de Laurent de   à z = 0 ne possède aucun terme constant.

Certaines relations avec les formes modulairesModifier

Avec η la fonction êta de Dedekind, on a l'égalité

 .

Comme solution de l'équation de la chaleurModifier

La fonction thêta de Jacobi est l'unique solution de l'équation de la chaleur à une dimension avec des conditions aux limites périodiques au temps zéro. Ceci est plus facile à voir en prenant z = x réel, et en prenant τ = it avec t réel et positif. Alors, nous pouvons écrire

 

qui résout l'équation de la chaleur

 

Le fait que cette solution soit unique peut être vu en notant qu'à t = 0, la fonction thêta devient le peigne de Dirac :

 

δ est la fonction δ de Dirac. Ainsi, la solution générale peut être précisée en juxtaposant la condition aux limites (périodique) à t = 0 avec la fonction thêta.

Relation avec le groupe de HeisenbergModifier

La fonction thêta de Jacobi peut être pensée comme le prolongement d'une représentation du groupe de Heisenberg en mécanique quantique, quelquefois appelée la représentation thêta (en). Ceci peut être vu en construisant le groupe explicitement. Soit f(z) une fonction holomorphe, soit a et b des nombres réels, et fixons une valeur de τ. Alors, définissons les opérateurs Sa et Tb tels que

 

et

 

Notons que

 

et

 

mais S et T ne commutent pas :

 

Ainsi, nous voyons que S et T ensemble avec une phase unitaire forme un groupe de Lie nilpotent, le groupe de Heisenberg (réel continu), paramétrable par  U(1) est le groupe unitaire. Un élément de groupe général U (λ, a, b) ∈ H alors agit sur une fonction holomorphe f(z) comme

 

λU(1). Notons que U(1) = Z(H) est à la fois le centre de H et le groupe dérivé [H, H].

Définissons le sous-groupe Γ ⊂ H comme

 

Alors, nous voyons que la fonction thêta de Jacobi est une fonction entière de z qui est invariante sous Γ, et l'on peut montrer que la fonction thêta de Jacobi est une telle fonction unique.

La représentation thêta ci-dessus du groupe d'Heisenberg peut être reliée à la représentation canonique de Weyl du groupe d'Heisenberg comme suit. Fixons une valeur pour τ et définissons une norme sur les fonctions entières du plan complexe comme

 

Soit   l'ensemble des fonctions entières f de norme finie. Notons que   est un espace hilbertien, que   est unitaire sur  , et que   est irréductible sous cette action. Alors   et L2(R) sont isomorphes comme H-modules (en), où H agit sur   comme

 

pour   et  .

Voir aussi le théorème de Stone-von Neumann (en) pour plus de développements sur ces idées.

GénéralisationsModifier

Si F est une forme quadratique de n variables, alors la fonction thêta associée avec F est

 

avec la somme s'étendant sur le réseau des entiers ℤn. Cette fonction thêta est une forme modulaire de poids n/2 (sur un sous-groupe défini de manière approprié) du groupe modulaire. Dans le développement de Fourier,

 

les nombres RF(k) sont appelés les nombres de représentation de la forme.

Fonction thêta de RamanujanModifier

Fonction thêta de RiemannModifier

Soit

 

l'ensemble des matrices carrées symétriques dont la partie imaginaire est définie positive ; Hn est l'analogue multi-dimensionnel du demi-plan de Poincaré. L'analogue n-dimensionnel du groupe modulaire est le groupe symplectique Sp(2n, Z) ; pour n = 1, Sp(2, Z) = SL(2, Z). L'analogue (n – 1)-dimensionnel des sous-groupes de congruence est  .

Alors, FHn donné, la fonction thêta de Riemann est définie comme suit

 

Ici,   est un vecteur complexe n-dimensionnel, et l'exposant T désigne la transposition. La fonction thêta de Jacobi est alors un cas particulier, avec n = 1 et  H est le demi-plan de Poincaré.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

Lien externeModifier

(en) Product representations of Jacobi   functions, Jacobi's identity for   functions et Integral representations of Jacobi   functions de PlanetMath

Crédit d'auteursModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Theta function » (voir la liste des auteurs).