Constante de Gauss

nombre transcendent

En mathématiques, la constante de Gauss, notée G, est l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la racine carrée de 2[1],[2] :

[3].

Cette constante porte le nom du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss car il a découvert le [4],[5] que :

.

Relation avec d'autres constantesModifier

La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction bêta en (1/4, 1/2) :

 

soit encore, grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 :

 

et puisque π et Γ(1/4) sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendante.

Constantes de la lemniscateModifier

La constante de Gauss peut être utilisée dans la définition des constantes de la lemniscate.

  • La première est
     
      est la longueur de la lemniscate de Bernoulli de paramètre a = 1
  • La seconde est
     .

Autres formulesModifier

La constante de Gauss peut également s'exprimer grâce à la fonction thêta de Jacobi :

 .

Une série rapidement convergente vers la constante de Gauss est :

 .

La constante est aussi donnée par un produit infini :

 .

La constante de Gauss a pour fraction continue [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …][6].

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gauss's constant » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Constant », sur MathWorld.
  2. (en) Keith B. Oldham, Jan C. Myland et Jerome Spanier, An Atlas of Functions : With Equator, New York, NY, Springer, , 748 p. (ISBN 978-0-387-48806-6, lire en ligne), p. 15.
  3. Pour les 20 000 premiers chiffres décimaux, voir ce lien de la suite A014549 de l'OEIS.
  4. Pour plus de détails, voir le § Histoire de l'article sur la moyenne arithmético-géométrique.
  5. (en) David A. Cox, « The arithmetic-geometric mean of Gauss », L'Enseignement mathématique, vol. 30,‎ , p. 275-330 (DOI 10.5169/seals-53831).
  6. Pour les 20 000 premiers termes, voir ce lien de la suite A053002 de l'OEIS.

Lien externeModifier

(en) Eric W. Weisstein, « Lemniscate Constant », sur MathWorld