Arc tangente intégral

En mathématiques, la fonction arc tangente intégral est une fonction spéciale, définie comme une primitive de la fonction .

Graphe de la fonction arc tangente intégral.

Définition

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La fonction arc tangente intégral est définie par :

 

La fonction arc tangente ( ) est considérée ici sur sa branche principale, c'est-à-dire que   pour tout nombre réel  [1].

Histoire et notations

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Spence (1809)[2] a étudié la fonction en utilisant la notation  . La fonction a été étudiée aussi par Ramanujan[3].

La notation   (et plus généralement  , cf. « Généralisation ») est due à Lewin.

Propriétés

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La fonction arc tangente intégral est impaire[1] :

 

Les valeurs de   et   sont reliées par l'identité :

 ,

vraie pour tout   (ou, plus généralement, pour  ). On le prouve en dérivant et en utilisant l'identité  [3],[4].

La valeur particulière   donne la constante de Catalan  [4].

Relation avec d'autres fonctions

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Développement en série

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La représentation en série entière de l'arc tangente intégral est :

 ,

qui est absolument convergente pour  [1].

Relation avec le dilogarithme

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L'arc tangente intégral est étroitement lié au dilogarithme  , et peut être exprimé simplement en termes de cette fonction :

 

Ainsi[1] :

 

Relation avec la fonction chi de Legendre

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L'arc tangente intégral est lié à la fonction chi de Legendre   par[1] :

 

On peut remarquer que   peut s'exprimer à partir de l'intégrale  , similaire à l’expression de l'arc tangente intégral mais avec la tangente hyperbolique réciproque à la place de l'arc tangente.

Relation avec la fonction zêta de Lerch

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L'arc tangente intégral peut également être écrit en termes de fonction transcendante de Lerch   :

 

Généralisation

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De façon similaire au polylogarithme  , la fonction :

 

est définie de manière analogue. Elle vérifie la relation de récurrence[5] :

 

Par cette représentation en série, on peut voir l'égalité avec les valeurs spéciales  , où   représente la fonction bêta de Dirichlet.

Notes et références

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  1. a b c d et e Lewin 1981, Section 2.1, p. 38–39
  2. William Spence, An essay on the theory of the various orders of logarithmic transcendents; with an inquiry into their applications to the integral calculus and the summation of series, London, (lire en ligne)
  3. a et b Ramanujan, « On the integral   », Journal of the Indian Mathematical Society, vol. 7,‎ , p. 93–96 Appears in: Collected Papers of Srinivasa Ramanujan, , 40–43 p.
  4. a et b Lewin 1981, Section 2.2, p. 39–40
  5. Lewin 1981, Section 7.1.2, p. 190

Bibliographie

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