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Ellipsoïde

surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions
Ellipsoïde avec (a, b, c) = (4, 2, 1).

En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de point à l'infini.

L'ellipsoïde admet un centre et au moins trois plans de symétrie. L'intersection d'un ellipsoïde avec un plan est une ellipse, un point ou l'ensemble vide.

L'équation d'un ellipsoïde centré à l'origine d'un système cartésien et aligné avec les axes du repère est de la forme

a, b et c sont des paramètres strictement positifs donnés, égaux à la longueur des demi-axes de cet ellipsoïde.

Sommaire

ÉquationsModifier

Équation généraliséeModifier

Dans un repère cartésien en trois dimensions, l'équation d'une surface quadratique est   où la matrice A est, par construction, une matrice symétrique réelle. D'après le théorème spectral, elle est diagonalisable et ses valeurs propres sont toutes réelles. Si ces trois valeurs propres sont strictement positives (ou strictement négatives), c'est-à-dire que A est de signature (3, 0) (ou (0, 3)), cette équation définit une quadratique type ellipsoïde. À condition éventuellement de changer tous les coefficients de l'équation par leur opposé, la matrice A est alors définie positive. Le déterminant de A n'étant pas nul, la quadratique possède un centre dont les coordonnées sont   et son équation s'écrit sous la forme :   avec  

Si k est strictement positif, l'ellipsoïde (centré en v et arbitrairement orienté) est alors l'ensemble des points x vérifiant l'équation :

 

A1 est réelle, définie positive.

De plus, les vecteurs propres de   définissent les axes de l'ellipsoïde et les valeurs propres de   sont égales à l'inverse du carré des demi-axes (i.e.  ,   et  )[1]. Les valeurs singulières de  , étant égales aux valeurs propres, sont donc égales à l'inverse du carré des demi-axes.

ParamétrisationModifier

Un ellipsoïde peut être paramétré de différentes manières. Une des possibilités, en choisissant l'axe z, est la suivante :    Les paramètres peuvent être vus comme des coordonnées sphériques. Pour un   constant, nous obtenons une ellipse qui est l'intersection de l'ellipsoïde et d'un plan z = k. Le paramètre   correspond alors à l'anomalie excentrique de cette ellipse. Il existe deux autres paramétrisations, chacune possédant sa propre interprétation. Seuls les ellipsoïdes de révolution possèdent une unique définition de la latitude réduite.

Espace projectifModifier

En géométrie projective[réf. nécessaire], l'équation d'un ellipsoïde imaginaire est de la forme

 

L'équation genre ellipsoïde, cône imaginaire :

 

Cas particuliersModifier

Ellipsoïde de révolutionModifier

Article détaillé : Ellipsoïde de révolution.

Dans le cas où seuls deux paramètres sont égaux, l'ellipsoïde peut être engendré par la rotation d'une ellipse autour d'un de ses axes. Il s'agit d'un ellipsoïde de révolution, parfois appelé sphéroïde, permettant d'obtenir les miroirs elliptiques des projecteurs de cinéma et les ballons de rugby. On montre aussi que cette surface est optimale pour les dirigeables.

En prenant a = b, l'équation s'écrit :

 

On obtient un ellipsoïde de révolution d'axe Oz. En effet, les sections par les plans z = k sont des cercles d'axe Oz.

La méridienne dans le plan xOz que l'on obtient avec y = 0 est l'ellipse d'équation :

 

On remarque que l'on passe de l'équation de la méridienne à l'équation de la surface de révolution en remplaçant x2 par x2 + y2.

SphèreModifier

Dans le cas dégénéré où a = b = c, l'ellipsoïde est une sphère de rayon a.

PropriétésModifier

VolumeModifier

Le volume de l'espace délimité par un ellipsoïde est égal à :  

Cette formule donne le volume d'une boule de rayon a dans le cas où les trois demi-axes sont de la même longueur.

Les volumes du plus grand parallélépipède rectangle inscrit et du plus petit parallélépipède rectangle circonscrit sont donnés par les formules suivantes :  

AireModifier

L'aire d'un ellipsoïde quelconque est donnée par la formule[2]

 

 

et où   et   sont les intégrales elliptiques incomplètes de première et deuxième espèce respectivement[3] :

 

ExcentricitéModifier

Si abc (c'est-à-dire si a est la longueur du plus grand demi-axe et c est la longueur du plus petit demi-axe), l'excentricité de l'ellipsoïde est donnée par la formule suivante :

 

ApplicationsModifier

L'ellipsoïde dispose de plusieurs applications pratiques.

Propriétés dynamiquesModifier

Une ellipsoïde de densité uniforme ρ possède la masse suivante:

 

Les moments d'inertie dans le système des axes principaux sont:

 

 

 

Les produits d'intertie sont tous nuls dans ce système d'axe:

 

ExemplesModifier

RéférencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ellipsoid » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Stephen P. Boyd (en), « Lecture 15. Symmetric matrices, quadratic forms, matrix norm, and SVD », sur Université Stanford, automne 2012-2013.
  2. (en) F. W. J. Olver (dir.), D. W. Lozier (dir.), R. F. Boisvert (dir.) et C. W. Clark (dir.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, (lire en ligne).
  3. http://dlmf.nist.gov/19.2

Voir aussiModifier

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