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Moyenne arithmético-géométrique

Ne pas confondre avec la définition de suite arithmético-géométrique.

La moyenne arithmético-géométrique de deux réels positifs est une valeur intermédiaire obtenue comme limite de deux suites adjacentes satisfaisant une relation de récurrence qui reprend les formules de moyennes arithmétique et géométrique.

La convergence quadratique de ces suites permet une approximation rapide de la moyenne arithmético-géométrique qui est notamment associée à la longueur d'une ellipse en fonction des longueurs de ses axes.

DéfinitionModifier

Étant donné deux réels positifs   et  , on définit deux suites positives   et  , de premiers termes  ,   et satisfaisant les relations de récurrence :

 
 .

Les deux suites   et   sont adjacentes[1] :   pour tout   (car  ), si bien que   est croissante ( ),   est décroissante ( ), et
  donc  .
D'après le théorème des suites adjacentes,   et   ont donc une limite commune,  , appelée la moyenne arithmético-géométrique de   et  .

Formule exacte sous forme d'intégrale elliptiqueModifier

Gauss a obtenu[1] une formule exacte donnant   à l'aide d'une intégrale elliptique:

 

K(k) est l'intégrale elliptique de première espèce :

 

(il a montré, en utilisant le changement de variable  , que l'intégrale ne change pas en passant de   à  )[1].

La moyenne arithmético-géométrique est bien une moyenneModifier

Étant donné deux réels positifs   et   :

  •   ;
  • par conséquent,   ;
  • il ressort directement de la définition que pour  ,  . Cette propriété, jointe à la précédente, signifie que la moyenne arithmético-géométrique est (comme toutes les autres moyennes[2]) une fonction symétrique et homogène d'ordre 1 en   et   ;
  •  , l'égalité n'intervenant que lorsque  .

Vitesse de convergenceModifier

Supposons   et posons  .

Il résulte de la majoration :   que ce processus est à convergence quadratique[1].

HistoireModifier

La moyenne arithmético-géométrique a été découverte indépendamment par les mathématiciens Adrien-Marie Legendre puis Carl Friedrich Gauss qui s'en servirent pour calculer de façon approchée la longueur de l'arc d'ellipse quelconque, qui s'exprime comme une intégrale elliptique, et même est à l'origine de l'intérêt pour ce domaine de l'analyse. Analysant les relations entre la moyenne arithmético-géométrique et les intégrales elliptiques de 1re espèce, Gauss, dans ses Cahiers mathématiques attira l'attention[3] sur la relation (donnant la longueur d'arc d'une lemniscate de Bernoulli) :  .

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. a b c et d Voir par exemple l'exposé de John Boxall, « La moyenne arithmético-géométrique : applications et généralisations », sur université de Caen.
  2. Cf. l'article Moyenne généralisée.
  3. Cf. Carl Friedrich Gauss, Mathematisches Tagebuch 1796–1814 : avec une introduction historique de Kurt-R. Biermann, Francfort-sur-le-Main, Harri Deutsch, coll. « Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften » (no 256) (réimpr. 2005, 5e éd., révisée et annotée par Hans Wussing (en) et Olaf Neumann), « 98 (Brunswick, 30 mai 1798) » : « Terminum medium arithmetico-geometricum inter 1 et   esse   usque ad figuram undecimam comprobavimus, qua re demonstrata prorsus novus campus in analysi certo aperietur. » De là,  , la constante de la lemniscate étudiée par Gauss.

BibliographieModifier

(en) E. T. Whittaker et G. N. Watson, A Course of Modern Analysis (en), Cambridge, coll. « Cambridge Mathematical Library », , 4e éd. (1re éd. 1927), p. 515

Lien externeModifier

Antoine Chambert-Loir, « Le fabuleux destin de la moyenne arithmético-géométrique », sur Département de Mathématiques d’Orsay