Utilisateur:Jean Reuss/Brouillon

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Cette page de brouillon me sera fort utile pour mes tests et essais. Car si la syntaxe du wikicode est simple dans son principe, certains aspects sont plus difficiles à maîtriser.

Particulièrement, les notes et références, les formules mathématique, ...

Modélisation dynamique

La modélisation dynamique consiste à établir les relations entre les efforts des actionneurs et les mouvements qui en découlent, autrement dit, à expliciter les équations différentielles du second ordre que sont les équations du mouvement.

Terminologie :

• Problème direct = calcul des accélérations produites par des efforts donnés, ce qui permet la détermination du mouvement par intégration.
• Problème inverse = connaissant le mouvement, c'est le calcul des efforts qui en sont la cause.

Lois de la dynanique

hypothèses simplificatrices

En premières approximations, on utilise fréquement des hypothèses simplificatrices telles que :

• Les corps constitutifs sont des solides rigides; Les ressorts sont les seuls constituants déformables.
• Les termes difficiles à évaluer de frottement visqueux sont estimés plus ou empiriquement.
• Les articulations sont des pivots (articulation rotoïde) ou des glissières (articulation prismatique),
• Les actionneurs (électriques, hydrauliques,..ou autres.) sont schématisés par des forces ou des couples (qui sont des fonctions des signaux de commandes). (Dans le cas des systèmes sous actionnés, certaines articulations sont dépourvues d'actionneurs).
• Les forces de contact avec l'environnement suivent la loi approchée du frottement sec de Coulomb.

Formulations

Formulation vectorielle

Les forces ainsi que les grandeurs cinématiques (vitesses, accélérations) sont représentées explicitement par des vecteurs.

Formulation analytique

L'état du système est décrit par des coordonnées généralisées «q» et leurs dérivées. Des principes variationnels sont utilisés avec des fonctions telles que l'énergie cinétique, l'énergie potentielle, leur somme, leur différence..., dépendant de l'état. Mathématiquement, le problème devient une sorte d'optimisation de fonction à plusieurs variables, avec ou sans contraintes. Il en résulte par des changements de variables et d'autres transformations mathématiques, des expressions variées qui sont pourtant équivalentes à la formulation vectorielle. Selon les liaisons mécaniques et les contraintes mathématiques introduites pour les illustrer, on peut discerner différentes approches :

• Équations de Lagrange sans contrainte, (minimisation de l'action).
• Pour prendre en compte les liaisons bilatérales holonômes:
  • Lagrange avec multiplicateurs.
  • Partition des variables: Wehage et Haug...
• Liaisons bilatérales non-holonômes : utilisation de quasi-vitesses $\scriptstyle w=f(q,{\dot {q}})\,:\qquad$ Équations ou méthodes de Boltzmann-Hamel, Gibbs-Appell, Kane, Maggi, Udwadia et Kalaba.

Interaction avec l'environnement

La robotique met l'accent

• Liaisons unilatérales qui peuvent être saturées (égalité) ou non saturées (inégalité stricte), multiplicateurs de Kuhn-Tucker.
• Possibilité d'impacts et de chocs subséquents.
• Les contacts avec frottement, entre le robot et son environnement, (commande en effort, robots marcheurs) sont délicats à modéliser, ce qui est dû à la forme non biunivoque de la loi de Coulomb. Ces difficultés qui avaient été entrevues dès 1895 avec le paradoxe de Painlevé (en) sont l'objet de recherches actuelles sous le nom de Mécanique non régulière.

Grandeurs mécaniques préliminaires

Notations

• Chaque grandeur est affectée du même indice que le corps qu'elle caractérise.
• Ainsi la masse, le centre de gravité, le tenseur d'inertie au centre de gravité, du corps Cj,se noteront respectivement : $\scriptstyle \quad m_{j}\,,\;{\rm {G_{j}\,,\;{\mathbf {I} }_{j}\qquad }}$.

${\begin{aligned}&\scriptstyle {\text{Pour préciser la disposition géométrique, on pose aussi:}}:\\{\vec {\boldsymbol {\rho }}}_{j}&={\overrightarrow {\rm {{O_{j}}{{G}_{j}}}}}\,;\;{\vec {\boldsymbol {\xi }}}_{j}={\overrightarrow {\rm {{O_{j}}{{O}_{j+1}}}}}\;.\\\end{aligned}}$.

• Les composantes d'une grandeur non scalaire dépendent du repère sur lequel elles sont projetées ce qui est indiqué par un indice supérieur à gauche .
  

${\begin{aligned}{}^{\ell }\mathbb {W} _{j}&\,;\quad \scriptstyle {\text{:composantes projetées sur le repère }}{\rm {R_{\ell }\,.}}\\{}^{0}\mathbb {W} _{j}&\,;\quad \scriptstyle {\text{composantes projetées sur le repère absolu galliléen.}}\\{}^{j}\mathbb {W} _{j}&\equiv \mathbb {W} _{j}\,;\quad \scriptstyle {\text{Pour alléger l'écriture des composantes propres .}}\\\end{aligned}}$.

Vecteurs

Ils sont appelés, « vrais vecteurs » ou « vecteurs polaires » en cas d'ambiguïté.

• $\mathbf {f}$ : Résultante générale des forces appliquées .
• $\mathbf {v}$ : Vecteur vitesse linéaire .
• $\mathbf {\dot {v}}$ : Accélération spatiale : par rapport au repère propre.
• ${\boldsymbol {\gamma }}$ : Accélération linéaire inertielle : par rapport au repère absolu galiléen. $\quad {\boldsymbol {\gamma }}=\mathbf {\dot {v}} -{\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {v} \,.$

Pseudovecteurs

Les Pseudovecteurs qui apparaîssent en mécanique, proviennent de produits vectoriels de vrais vecteurs.

• ${\boldsymbol {\mu }}$ : Moment de force (pseudovecteur) .
• ${\boldsymbol {\omega }}$ : Vecteur vitesse de rotation (pseudovecteur) .
• ${\boldsymbol {\dot {\omega }}}$ : Vecteur accélération angulaire(pseudovecteur) .

Pour les pseudovecteurs ${\boldsymbol {y}}$ la formule du changement de coordonnées prend les formes :

${\boldsymbol {y}}=\det({\mathcal {P}})\times {\mathcal {P}}\,{\boldsymbol {y}}^{'}\,$ et $\qquad {\boldsymbol {y}}^{'}=\det({\mathcal {P}}^{t})\times {\mathcal {P}}^{t}\,{\boldsymbol {y}}=\det({\mathcal {P}})\times {\mathcal {P}}^{t}\,{\boldsymbol {y}}\,$ .

Torseurs

Un torseur est un champ de vecteurs glissants équiprojectif qui est similaire à un champ de moments . Un torseur est l'association d'un pseudovecteur et d'un vrai vecteur.

Énergies

• L'énergie cinétique d'un système est la somme des énergies cinétiques des N corps constitutifs :
  

$T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )=\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left[m_{j}\;{}^{0}\mathbf {v} _{j}\!\centerdot \!{}^{0}\mathbf {v} _{j}\;+\;{}^{0}{\boldsymbol {\omega }}_{j}\!\centerdot \!({}^{0}\mathbf {I} _{j}\;{}^{0}{\boldsymbol {\omega }}_{j})\right]\,.$

• De même l'énergie potentielle dans le champ de pesanteur $\mathbf {g} \,$ :
  

$V(\mathbf {q} )=\sum _{j=1}^{N}[-m_{j}\;{}^{0}\mathbf {g} \centerdot {}^{0}\mathbf {r} _{j}]\,.$

Notations spatiales (avec des sextuplets)(

La dynamique des solides rigides entremêle les mouvements de translation et de rotation. D'ou l'intérêt pratique d'utiliser des symboles représentant 6 paramètres. En anglais, cette notation est qualifiée de «spatial».

Torseurs

Le torseur cinématique (des vitesses des points d'un solides), le torseur des efforts et la dérivé du torseur cinématique, (en un point M d'un repère), peuvent respectivement s'écrire :
$\mathbb {F} _{\rm {M}}={\begin{Vmatrix}{{\boldsymbol {\mu }}_{\rm {M}}}\\{\mathbf {f} }\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {V} _{\rm {M}}={\begin{Vmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\\{\mathbf {v} _{\rm {M}}}\end{Vmatrix}};\quad {\dot {\mathbb {V} }}_{\rm {M}}={\begin{Vmatrix}{\boldsymbol {\dot {\omega }}}\\{\mathbf {\dot {v}} _{\rm {M}}}={\boldsymbol {\gamma }}_{\rm {M}}-{\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {v} _{\rm {M}}\end{Vmatrix}}.$

Opérateurs sur deux torseurs

Soit, en un même point, les torseurs $\mathbb {V} _{1}\,{,}\qquad \mathbb {V} _{2}\,{,}\qquad \mathbb {F} _{2}\,.$
${\begin{aligned}\scriptstyle {\text{Deux opérateurs utiles }}&\scriptstyle {\text{agissant sur les torseurs sont : }}\odot \scriptstyle {\text{ et }}\oplus \scriptstyle {\text{ définis par : }}\\\mathbb {V} _{1}\odot \mathbb {V} _{2}&={\begin{Vmatrix}{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\wedge {\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{2}\\{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\wedge {\vec {\mathbf {v} }}_{2}\,+\,{\vec {\mathbf {v} }}_{1}\wedge {\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{2}\end{Vmatrix}}\;.\\\mathbb {V} _{1}\oplus \mathbb {F} _{2}&={\begin{Vmatrix}{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\wedge {\vec {\boldsymbol {\mu _{2}}}}\,+\,{\vec {\mathbf {v} }}_{1}\wedge {\vec {\mathbf {f} }}_{2}\\{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\wedge {\vec {\mathbf {f} }}_{2}\end{Vmatrix}}\;.\end{aligned}}$

Changement d'un même torseur dans 2 repères consécutifs

Soit R1 et R2 deux repères, nous posons ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}_{12}$ pour la matrice de passage directe de R1 vers R2 et ${\vec {\boldsymbol {\xi }}}={\overrightarrow {{O\!_{1}}{O\!_{2}}}}\;.$
Les matrices de passage, de R1 vers R2, pour les torseurs prennent les formes suivantes :

${\begin{aligned}\mathbf {A} &={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}^{t}&\quad 0\\{\mathcal {P}}^{t}\,{[{\boldsymbol {\xi }}]^{t}}&\quad {\mathcal {P}}^{t}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {V} _{2}=\mathbf {A} \,\mathbb {V} _{1}.\\\mathbf {A} ^{-1}&={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}&\quad 0\\{[{\boldsymbol {\xi }}]}\,{\mathcal {P}}&\quad {\mathcal {P}}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {V} _{1}=\mathbf {{A}^{-1}} \,\mathbb {V} _{2}.\\\mathbf {A} ^{t}&={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}&\quad {[{\boldsymbol {\xi }}]}\,{\mathcal {P}}\\0&\quad {\mathcal {P}}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {F} _{1}=\mathbf {A} ^{t}\,\mathbb {F} _{2}.\\\mathbf {A} ^{-t}&={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}^{t}&\quad {\mathcal {P}}^{t}\,{[{\boldsymbol {\xi }}]^{t}}\\0&\quad {\mathcal {P}}^{t}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {F} _{2}=\mathbf {A} ^{-t}\,\mathbb {F} _{1}.\end{aligned}}$

Équations de Newton-Euler

Soit un solide dont la masse, le centre de gravité, le tenseur d'inertie au centre de gravité, sont respectivement $\scriptstyle m{\text{ , G , }}\mathbf {I} _{\rm {G}}$. Le point O étant une origine quelconque, en posant :

• $\scriptstyle {\vec {\boldsymbol {\rho }}}={\overrightarrow {\boldsymbol {OG}}}$, pour définir la position du centre de gravité .
• ${\mathcal {\tilde {I}}}=\mathbf {I} _{\rm {G}}/m$  : le tenseur réduit (33), au centre de gravité.
  
• $\mathbf {J} =m\,{\begin{Vmatrix}{{\mathcal {\tilde {I}}}-[{\boldsymbol {\rho }}}]^{2}&[{\boldsymbol {\rho }}]\\-[{\boldsymbol {\rho }}]&{\boldsymbol {1}}_{(33)}\end{Vmatrix}}\,$ , matrice d'inertie (6x6) .
  

En notation sextuplet et en un point quelconque d'un solide rigide, les équations de Newton-Euler, prennent la forme suivante :

$\mathbb {F} =\mathbf {J} \,\mathbb {\dot {V}} +\mathbb {V} \!\oplus \mathbf {J} \,\mathbb {V} \;.$

Algorithmes numériques provenant de la formulation vectorielle

• Nous nous restreignons ici au cas des chaîne cinématiques ouvertes simples, corps numérotés de 0 à N, (une chaîne arborescente alourdirait un peu les notations, le cas d'une chaîne fermée est plus compliquée).
• Les grandeurs $\scriptstyle {{\boldsymbol {\omega }}_{j},\mathbf {v} _{j},{\boldsymbol {\mu }}_{j},\cdots }$ caractérisent le corps Cj, et sont projetées sur son repère propre Rj, d'origine Oj.
• Le corps Cj se meut autour l'articulation j, d'axe $\scriptstyle {\vec {z}}_{j}\;$ (conformément à la convention de Khalil-Kleinfinger), dont la nature est caractérisée par une matrice (6x1) (sauf pour la base libre):
  

$\mathbb {S} _{j}={\begin{Vmatrix}0\\0\\1\\0\\0\\0\end{Vmatrix}}:\,$ pivot ; $\qquad \mathbb {S} _{j}={\begin{Vmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\1\end{Vmatrix}}:\,$ glissière ; $\qquad \mathbb {S} _{0}=\mathbf {1} _{(66)}:\,$ base libre .

Algorithme RNEA = Recursive Newton Euler Algorithm

Principe

L'algorithme RNEA , résoud le problème de la dynamique inverse: à un instant donné, $\scriptstyle \mathbf {q} ,\,\mathbf {\dot {q}} ,\,\mathbf {\ddot {q}} \quad$ étant connus, on obtient les efforts des actionneurs $\scriptstyle \mathbf {\tau } \quad .$ Il comporte deux boucles de récurrences :

• Une montée (indices de 0 à N) cinématique qui utilise la composition des vitesses et des accélérations.
• Une descente (de N à 0) des efforts où interviennent Newton-Euler et la loi des actions réciproques.

Implémentation de la pesanteur

L'effet de la pesanteur est (rigoureusement) obtenu en accélérant le corps de base en sens opposé.
L'axe $\scriptstyle {\overrightarrow {{O}_{-1}\,{z}_{-1}}}$ étant la verticale ascendante du repère absolu galiléen $\scriptstyle {\rm {R_{-1}}}$ on ajoute artificiellement l'accélération $\scriptstyle \mathbf {\tilde {g}} _{0}$ à l'accélération naturelle du repère $\scriptstyle {\rm {R_{0}}}$ avec:

$\scriptstyle \mathbf {\tilde {g}} _{-1}=\scriptstyle {\begin{Vmatrix}0\\0\\+\left|g\right|\end{Vmatrix}}\,;\qquad {\mathcal {P}}\!{_{-1}}={\mathcal {P}}_{-1,0}\,;\qquad \mathbf {\tilde {g}} _{0}={\mathcal {P}}_{-1}^{t}\,\mathbf {\tilde {g}} _{-1}\;.$

Conditions initiales

Les conditions initiales sont les vitesses et les accélérations de la base (corps $\scriptstyle \mathrm {C} _{0}$) , et éventuellement, l'effort $\scriptstyle {\mathfrak {F}}_{N+1}$) exercé par l'environnement sur le point de contact $\scriptstyle \mathrm {O} _{N+1}$ du corps terminal $\scriptstyle \mathrm {C} _{N}$ , projeté dans le repère $\scriptstyle \mathrm {R} _{N+1}$ attaché à ce point de contact appartenant à $\scriptstyle \mathrm {C} _{N}$ :

${\begin{aligned}{\begin{cases}\mathbb {V} _{0}&={\begin{Vmatrix}{\boldsymbol {\omega _{0}}}\\\mathbf {v} _{0}\end{Vmatrix}}\;;\\\\\mathbb {\dot {V}} _{0}&={\begin{Vmatrix}{\boldsymbol {\dot {\omega _{0}}}}\\{\boldsymbol {\gamma _{0}}}-{\boldsymbol {\omega _{0}}}\wedge \mathbf {v} _{0}+\mathrm {\tilde {g}} _{0}\end{Vmatrix}}\;;\\\\\mathbb {F} _{N+1}&=-{{\mathfrak {F}}_{N+1}}\;.\end{cases}}\end{aligned}}$

Montée cinématique

For j= 1 to N do ${\begin{aligned}{\begin{cases}\qquad {}_{i}&={}_{j-1}\,;\\\qquad \mathbb {V} _{j}&=\mathbf {A} _{i}\,\mathbb {V} _{i}+\mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}\;;\\\qquad \mathbb {\dot {V}} _{j}&=\mathbf {A} _{i}\,\mathbb {\dot {V}} _{i}+\mathbb {S} _{j}\,{\ddot {q}}_{j}+\mathbb {V} _{j}\!\odot \mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}\;.\end{cases}}\end{aligned}}$

Descente des efforts

For j= N downto 0 do ${\begin{aligned}{\begin{cases}\qquad {}_{k}&={}_{j+1}\,;\\\qquad \mathbb {F} _{j}&=\mathbf {A} _{j}^{t}\,\mathbb {F} _{k}+\mathbf {J} _{j}\,\mathbb {\dot {V}} _{j}+\mathbb {V} _{j}\!\oplus \mathbf {J} _{j}\,\mathbb {V} _{j}\;;\\\qquad \tau _{j}&=\mathbb {S} _{j}^{t}\,\mathbb {F} _{j}\;.\end{cases}}\end{aligned}}$

Algorithme ABIA = Articulated Body Inertia Algorithm

• Traite le problème de dynamique directe : connaissant les efforts des actionneurs on obtient les accélérations ( ce qui permet d'aboutir au mouvement par intégration).
• L'idée de départ est de considérer une partie de la chaîne comme étant un seul corps rigide dont on calcule l'inertie équivalente $\scriptstyle \mathbf {K} \,,\,$ de manière à pouvoir écrire des équations du mouvement du type : $\scriptstyle \mathbb {F} =\mathbf {K} \,\mathbb {\dot {V}} +\mathbb {D} \,.$
• Est souvent appelé, d'après le nom de son auteur, algorithme de Featherstone.

Conditions initiales

${\begin{aligned}{\begin{cases}\mathbf {K} _{N+1}&=0\;;\\\mathbb {B} _{N+1}&=\mathbb {F} _{N+1}\;;\\\mathbb {D} _{N+1}&=\mathbb {F} _{N+1}\;.\end{cases}}\end{aligned}}$

Descente des inerties des corps articulés

For j= N downto 0 do ${\begin{aligned}{\begin{cases}\qquad {}_{k}&={}_{j+1}\,;\\\qquad w_{k}&=\mathbb {S} _{k}^{t}\mathbf {K} _{k}\mathbb {S} _{k}\,;\\\qquad \mathbf {K} _{j}&=\mathbf {J} _{j}+\mathbf {A} _{j}^{t}\left[\mathbf {1} _{(66)}-\mathbf {K} _{k}\mathbb {S} _{k}\mathbb {S} _{k}^{t}/w_{k}\right]\mathbf {K} _{k}\mathbf {A} _{j}\,;\\\qquad \mathbb {B} _{j}&=\mathbf {A} _{j}^{t}\left[\mathbb {D} _{k}+\mathbf {K} _{k}\mathbb {S} _{k}\left(\tau _{k}-\mathbb {S} _{k}^{t}\mathbb {D} _{k}\right)/w_{k}\right]+\mathbb {V} _{j}\!\oplus \mathbf {J} _{j}\,\mathbb {V} _{j}\;;\\\qquad \mathbb {D} _{j}&=\mathbf {K} _{j}\mathbb {V} _{j}\!\odot \mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}+\mathbb {B} _{j}\;.\\\end{cases}}\end{aligned}}$

Montée pour les accélérations

For j= 1 to N do ${\begin{aligned}{\begin{cases}{}_{i}&={}_{j-1}\,;\\{\ddot {\mathrm {q} }}_{j}&=\left(\tau _{j}-\mathbb {S} _{j}^{t}\left[\mathbf {K} _{j}\mathbf {A} _{i}{\dot {\mathbb {V} }}_{i}+\mathbb {D} _{j}\right]\right){/}{w}_{j}\;;\\{\dot {\mathbb {V} }}_{j}&=\mathbf {A} _{i}{\dot {\mathbb {V} }}_{i}+\mathbb {S} _{j}\,{\ddot {q}}_{j}+\mathbb {V} _{j}\!\odot \mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}\;.\end{cases}}\end{aligned}}$

Formulation analytique

La formulation analytique (ou lagrangienne) de la dynamique d'un système mécanique, à N degrés de liberté, ne fait intervenir que les variables articulaires $\scriptstyle \mathbf {q} \equiv \scriptstyle {q}^{1},{q}^{2},\cdots ,{q}^{k},\cdots ,{q}^{N}$ , (qui sont les variables de configuration ou les coordonnées généralisées).

Les grandeurs qui surviennent dans la formation des équations de Lagrange en robotiques sont :

• L'énergie cinétique du système $T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )$ , qui est la somme des énergies cinétiques des Nc corps constitutifs ${\rm {\scriptstyle {(\,Nc\leqslant N\,)}\;.}}$ En appelant, pour le corps d'indice ${}_{i}\;,\mathbf {v} _{i},\;{\boldsymbol {\omega }}_{i},\;\mathbf {I} _{i},$ respectivement, la vitesse au centre de gravité, le vecteur rotation, le tenseur d'inertie au centre de gravité, toutes ces grandeurs étant exprimées dans le repère absolu galiléen, on a :
  

$T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{Nc}\left[m_{i}|\mathbf {v} _{i}|^{2}+{\boldsymbol {\omega }}_{i}^{t}(\mathbf {I} _{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i})\right]\,.$

• La matrice d'inertie du système ${\mathfrak {M}}_{jk}(\mathbf {q} )\,,$ est une matrice [NxN], symétrique, définie positive, telle que:
  

$T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}{{\mathfrak {M}}_{jk}{\dot {q}}^{j}{\dot {q}}^{k}}={\frac {1}{2}}{\mathfrak {M}}_{jk}{\dot {q}}^{j}{\dot {q}}^{k}\,,$ avec la convention de sommation d'Einstein sur les indices répétés.

• L'énergie potentielle : $V(\mathbf {q} )\,;\;$ dans le cas où il n'y a pas de composant élastique, l'énergie potentielle $V(g,\mathbf {q} )\,$ est proportionnelle à l'intensité de la pesanteur $g\,.$ On pose ici : $\scriptstyle {\mathcal {V}}_{k}(\mathbf {q} )={\frac {\partial \ V_{(}\mathbf {q} )}{\partial q^{k}}}\,,\,$ pour le terme d'énergie potentielle d'indice $\scriptstyle {k}\;.$
• $\tau _{k}$ : Effort (couple ou force) exercé par l'actionneur de l'articulation ${k}$ .
  
• Le lagrangien ${\mathcal {L}}=T-V\,.$

Equations sans contrainte

Avec les formules précédente pour T et V, l'expression générale des équations de Lagrange :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\!\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{k}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{k}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\!\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}^{k}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{k}}}+{\frac {\partial V}{\partial q^{k}}}=\tau _{k}\;;$

peut se mettre sous la forme habituelle suivante :
${\begin{aligned}{\begin{cases}{\mathfrak {M}}_{jk}(\mathbf {q} ){\ddot {q}}{\,}^{j}&+\quad {\mathfrak {C}}_{k}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )+{\mathcal {V}}_{k}(\mathbf {q} )=\tau _{k}\,;\\{\mathfrak {C}}_{k}(\mathbf {q} {,}\mathbf {\dot {q}} )&=\Gamma _{ijk}(\mathbf {q} ){\dot {q}}{\,}^{i}{\dot {q}}{\,}^{j}\,;\\\Gamma _{ijk}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {M}}_{jk}}{\partial q^{i}}}+{\frac {\partial {\mathfrak {M}}_{ki}}{\partial q^{j}}}-{\frac {\partial {\mathfrak {M}}_{ij}}{\partial q^{k}}}\right)\,.\end{cases}}\end{aligned}}$
Le termes ${\mathfrak {C}}_{k}\;$ représente les forces centrifuges et de coriolis et peut être exprimé avec les symboles de Christoffel de première espèce .

En pratique, de nos jours, le calcul algébrique des coefficients de ces équations est, tout à fait envisageable avec un logiciel de calcul symbolique.

Equations avec contraintes

Lorsque des point du robot est en contact avec un obstacle fixe de l'environnement, sa position $\scriptstyle \mathbf {Z} =\phi (\mathbf {q} )$ est une constante, ce qui correspond à des liaisons bilatérales (qui sont permanentes si les vitesses et les accélérations sont nulles, ou transitoires dans le cas contraire). Cette situation est représentée par les équations de Lagrange avec r>0 contraintes égalités :
${\begin{aligned}{\begin{cases}\quad \phi _{\ell }(\mathbf {q} )&=0\,;\;\scriptstyle \ell =1,\cdots ,r\,.\\\quad {\mathfrak {J}}_{\ell i}(\mathbf {q} ){\dot {q}}\,^{i}\!&=0\,;\qquad {\mathfrak {J}}_{\ell i}(\mathbf {q} )={\frac {\partial \phi _{\ell }}{\partial q^{i}}}\,;\quad \scriptstyle {\ell }=1,\cdots ,r\,;\quad i,k=1,\cdots ,N\,.\\{\mathfrak {M}}_{ik}(\mathbf {q} ){\ddot {q}}{\,}^{i}&+\;{\mathfrak {C}}_{k}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )+{\mathcal {V}}_{k}(\mathbf {q} )=\tau _{k}+{\mathfrak {J}}_{k\ell }^{t}(\mathbf {q} )\lambda ^{\ell }\,.\\\qquad \scriptstyle {\text{Les r }}&\scriptstyle {\text{ variables supplémentaires }}{\boldsymbol {\lambda }}\scriptstyle {\text{ sont les multiplicateurs de Lagrange .}}\end{cases}}\end{aligned}}$
Lorsque les contraintes représentent des liaisons ayant une signification géométrique les multiplicateurs sont les composantes des efforts de réaction exercés par l'environnement sur le système mécanique.

Il est physiquement plus satisfaisant de modéliser les actions de contact par des liaison unilatérales et par des équations de Lagrange avec contraintes inégalités :
${\begin{aligned}{\begin{cases}\quad \phi _{\ell }(\mathbf {q} )&=0\,;\;\scriptstyle \ell =1,\cdots ,r\,.\\\quad \psi _{m}(\mathbf {q} )&\geqslant 0\,;\;\scriptstyle m=1,\cdots ,s\,.\\\quad {\mathfrak {J}}_{\ell i}(\mathbf {q} ){\dot {q}}\,^{i}&=0\,;\qquad {\mathfrak {J}}_{\ell i}(\mathbf {q} )={\frac {\partial \phi _{\ell }}{\partial q^{i}}}\,;\quad \scriptstyle {\ell }=1,\cdots ,r\,;\quad i,k=1,\cdots ,N\,.\\\;{\mathfrak {K}}_{mi}(\mathbf {q} ){\dot {q}}\,^{i}\!&\geqslant 0\,;\qquad {\mathfrak {K}}_{mi}(\mathbf {q} )={\frac {\partial \psi _{m}}{\partial q^{i}}}\,;\quad \scriptstyle {m}=1,\cdots ,s\,;\quad i,k=1,\cdots ,N\,.\\{\mathfrak {M}}_{ik}(\mathbf {q} ){\ddot {q}}{\,}^{i}&+\;{\mathfrak {C}}_{k}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )+{\mathcal {V}}_{k}(\mathbf {q} )=\tau _{k}+{\mathfrak {J}}_{k\ell }^{t}(\mathbf {q} )\lambda ^{\ell }+{\mathfrak {K}}_{km}^{t}(\mathbf {q} )\mu ^{m}\,.\\\quad \scriptstyle {\text{Les s }}&\scriptstyle {\text{ variables supplémentaires }}{\boldsymbol {\mu }}\scriptstyle {\text{ sont les multiplicateurs de Karush-Kuhn-Tucker qui vérifient les conditions :}}\\\qquad \psi _{m}\geqslant 0&\Leftrightarrow \mu ^{m}=0\,;\qquad \psi _{m}=0\Leftrightarrow \mu ^{m}\geqslant 0\,.\end{cases}}\end{aligned}}$

Modélisation géométrique

Le système mécanique articulé représentant un robot est une chaîne cinématique de corps solides, qui sont reliés entre eux par des articulations.

La modélisation géométrique considère les relations entre les variables articulaires q dans l'espace de configuration et les coordonnées X, généralement cartésiennes, de certains points du robot, dans l'espace opérationnel, ou espace de travail.

Elle fait principalement appel aux méthodes de la géométrie analytique et elle emprunte aussi quelques notions à la théorie des graphes dans le traitement des chaines cinématiques.

Terminologie:

• La relation X = F(q) correspond au modèle géométrique direct; ( La configuration q est donnée).
• La relation q = G(X) correspond au modèle géométrique inverse; ( La situation X dans l'espace opérationnel, est donnée ).

Description topologique - Architecture

Chaines cinématiques

Des distinctions peuvent être faites entre :

• Chaîne ouverte simple; exemple: bras manipulateur industriel.
• Chaîne arborescente; exemple: robot anthropomorphe.
• Chaîne fermée; exemple: robots à architectures parallèles.

systèmes à base fixe et systèmes à base mobile

• À base fixe (typiquement les bras manipulateurs industriels).
• Systèmes (plus ou moins)libres dans l'espace; (exemple:robots marcheurs à pattes, robots mobiles sur roues).

Articulations

• En négligeant les jeux mécaniques, les articulations sont des liaisons bilatérales qui apparaissent mathématiquement sous forme de contraintes égalités.
• Pour simplifier, le présent exposé est restreint aux articulations à un degré de liberté ( pivot ou glissière : 1 ddl ), dont la variable articulaire est un scalaire noté «q». ( D'autres articulations procureraient plus d'un ddl ; pivot glissant : 2ddl, rotule: 3ddl,...etc.)
• Cependant, dans le cas d'une base mobile le symbole «q», représentera la position et l'orientation de la base et désignera jusqu'à 6 variables.

L'environnement

Bien que ne faisant pas partie, au sens strict, du robot, l'environnement est placé dans cette section.

• Influence : excepté pour quelques robot spatiaux, il est indispensable de tenir compte du champ de pesanteur et, éventuellement, des forces dûes au milieu ambiant.
• Les obstacles sont schématisés par des figures géométriques simples ou plus élaborées (voir B-Rep). Un exemple habituel est un plan d'appui horizontal pour supporter les évolutions d'un robot mobile.
• Les contacts ponctuels sans frottement sont directement modélisés par des liaisons unilatérales, qui correspondent à des contraintes inégalités.
• Pour représenter les frottements, la loi de Coulomb, malgré son apparente simplicité, aboutit fréquemment à des complications mathématiques .

Numérotation des corps

• À la structure du robot correspond un graphe, qui est une arborescence dans le cas des chaînes ouvertes (ou acycliques).
• On peut alors utiliser le vocabulaire des lignées paternelles des arbres généalogiques ( ascendants, père, fils, descendants...) .
• Chaque corps est désigné par son numéro dénominatif qui respecte la convention Numéro du père < numéro du fils.
• Chaque corps supporte son repère propre, de même numéro dénominatif .

Prérequis mathématique

Espace vectoriel euclidien à 3 dimensions

Vecteurs et matrices

Définitions dans l'espace euclidien à 3 dimensions ${\mathcal {E}}^{3}$.

• Base orthonormée = 3 vecteurs de longueur un, perpendiculaires entre eux.
• 2 orientations sont possibles (directe=antihoraire et indirecte=horaire).
• Soit le vecteur libre ${\vec {\mathbf {v} }}$ , dont les composantes sont $x,y,z$ dans une base orthonormée ${\mathcal {B}}$ de l'espace ${\mathcal {E}}^{3}\,.$
  

Sous la condition de spécifier que ce vecteur est exprimé dans la base ${\mathcal {B}}\,,$ il peut être caractérisé par une matrice à 3 éléments. En pratique les calculs effectifs sont effectués en utilisant l'écriture matricielle conventionnelle suivante: $\mathbf {v} ={\begin{Vmatrix}x\\y\\z\end{Vmatrix}}=\mathbf {v} _{(3,1)},\qquad \mathbf {v} ^{t}={\begin{Vmatrix}x&y&z\end{Vmatrix}}=\mathbf {v} _{(1,3)}^{t},\qquad {\begin{bmatrix}\mathbf {v} \end{bmatrix}}={\begin{Vmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{Vmatrix}}.$
Avec cette notation, l'équation vectorielle $\scriptstyle {\vec {\mathbf {v} }}={\vec {\mathbf {a} }}\wedge {\vec {\mathbf {b} }}$ , projetée dans $\scriptstyle {\mathcal {B}}$,
prend la forme matricielle suivante: $\scriptstyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} \end{bmatrix}}\mathbf {b}$, qu'il est aussi possible de noter conventionnellement, par abus de notation : $\scriptstyle \mathbf {v} =\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$.

Changement de bases

Soit 2 bases orthonormées dans l'espace euclidien à 3 dimensions ${\mathcal {E}}^{3}$:

• ${\mathcal {B}}=({\vec {e}}\,^{1},{\vec {e}}\,^{2},{\vec {e}}\,^{3})$, dénommée l' «Ancienne base».
• ${\mathcal {B}}'=({\vec {e}}\,'^{1},{\vec {e}}\,'^{2},{\vec {e}}\,'^{3})$, la «Nouvelle base» que l'on caractérise par l'exposant «prime»

La définition des composantes (ou coordonnées) revient à écrire :

${\vec {\mathbf {x} }}=\sum _{i=1}^{3}x_{i}{\vec {e}}^{i}=x_{1}{\vec {e}}^{1}+x_{2}{\vec {e}}^{2}+x_{3}{\vec {e}}^{3}=x'_{1}{\vec {e}}\,'^{1}+x'_{2}{\vec {e}}\,'^{2}+x'_{3}{\vec {e}}\,'^{3}\,.$

La matrice de passage directe ${\mathcal {P}}={\mathcal {{P}_{BB'}}}$, qui donne les anciennes coordonnées du vecteur dans ${\mathcal {B}}$ en fonction des nouvelles dans ${\mathcal {B'}}$ est déterminée par :

${\mathcal {P}}_{i,j}={\vec {e}}\,^{i}\centerdot {\vec {e}}\,'^{j},\qquad$ avec $\scriptstyle {1\leqslant i\leq 3,\quad 1\leq j\leqslant 3}.$

Règle mnémotechnique : Les colonnes de la matrice de passage sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base, exprimés dans l'ancienne base.

Dans le cas où les bases sont orthonormées, la matrice de passage est orthogonale. Son inverse, qui est dénommée matrice de passage inverse, est égale à sa transposée, et la valeur absolue de son déterminant est égale à un.

${\mathcal {P}}^{-1}={\mathcal {P}}^{t}$ , et $\det({\mathcal {P}})=\det({\mathcal {P}}^{t})=\pm {1}.$ autrement dit  :

$\quad {\mathcal {P}}\,{\mathcal {P}}^{t}={\mathcal {P}}^{t}\,{\mathcal {P}}={\boldsymbol {1}}_{(3,3)}.$
Pour les vecteurs (vecteurs polaires) $\mathbf {x}$, la formule du changement de coordonnées s'écrit :

$\mathbf {x} ={\mathcal {P}}\,\mathbf {x} ^{'}\,,$ ou bien $\mathbf {x} ^{'}={\mathcal {P}}^{t}\,\mathbf {x} \,.$ .

Lorsque les bases orthonormales ${\mathcal {B}}$ et ${\mathcal {B}}'$ ont la même orientation, alors $\det({\mathcal {P}})=+{1}$ , et ${\mathcal {P}}$ correspond à une rotation dans l'espace. Sinon $\det({\mathcal {P}})=-{1}$ , et ${\mathcal {P}}$ correspond à l'association d'une rotation avec une symétrie par rapport à un plan .

Espace ponctuel à 3 dimensions

Dans l'«espace ordinaire» un déplacement comporte une translation et une rotation.

Repères

On utilise des repères orthonormés «R» qui sont constitués par une origine O et une base ${\mathcal {B}}$ de 3 vecteurs. Ainsi, la position d'un point géométrique M peut être caractérisé par un seul vecteur $\scriptstyle {\vec {\mathbf {x} }}={\overrightarrow {\boldsymbol {OM}}}$; (ses coordonnées étant $\mathbf {x} ={\begin{Vmatrix}x&y&z\end{Vmatrix}}^{t}$ ); tandis que la position d'un repère (ou d'un solide) est défini par celle d'un point particulier et aussi par son orientation, (orientation dans l'espace).

Changement de repères

Soit 2 repères orthonormées, R et R',définis par leurs origines O et O' et par leurs bases ${\mathcal {B}}$ et ${\mathcal {B'}}\,{.}$ Avec :

• ${\mathcal {P}}_{i,j}={\vec {e}}\,^{i}\centerdot {\vec {e}}\,'^{j},\qquad$ et .
• ${\mathcal {T}}_{i}={\vec {e}}\,^{i}\centerdot {\overrightarrow {OO'}},\qquad$, pour caractériser la translation de O vers O'.
  

La matrice de passage (4x4) en coordonnées homogènes , prend la forme :
${\mathfrak {P}}={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}_{(33)}&{\mathcal {T}}_{(31)}\\\mathbf {0} _{(13)}&1_{(11)}\end{Vmatrix}}$

L'inverse de la matrices de passage directe, ${\mathfrak {P}}$ est la matrice de passage homogène inverse :

${\mathfrak {P}}^{-1}={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}_{(33)}^{t}&-{\mathcal {P}}_{(33)}^{t}{\mathcal {T}}_{(31)}\\\mathbf {0} _{(13)}&1\end{Vmatrix}}\,.$

Et les formules de changements de repères s'écrivent :

${\mathfrak {X}}={\begin{Vmatrix}x\\y\\z\\1\end{Vmatrix}}={\begin{Vmatrix}\mathbf {x} _{(31)}\\1\end{Vmatrix}}={\mathfrak {P}}\!\cdot \!{\mathfrak {X'}}\;,\qquad {\mathfrak {X'}}={\begin{Vmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{Vmatrix}}={\mathfrak {P}}^{-1}\!\cdot \!{\mathfrak {X}}\;.$

Expressions des matrices de passages

Orientation par une rotation autour d'un axe quelconque

Rotation d'un angle $\varphi$ autour d'un vecteur unitaire $\mathrm {\vec {\ }} u$, la matrice de passage directe est donnée par la formule de Rodrigues:

${\mathcal {P}}=\mathbf {1} _{(33)}\,+\,\left[\mathrm {u} \right]sin\varphi \,+\,[\mathrm {u} ]^{2}(1\!-\!cos\varphi )\,.$

Orientation par des rotations autour de trois axes de coordonnées

On passe du référentiel fixe Oxyz au référentiel lié au solide Ox'y'z' par trois rotations successives autour des axes . La [matrice de passage] correspondante est le produit de 3 matrices élémentaires représentant chacune une rotation autour d'un seul axe d'une coordonnée. Selon les axes intermédiaires choisis , on distingue:

1. Les angles d'Euler, 6 ordres possibles : (z-x-z; x-y-x; y-z-y; z-y-z; x-z-x; y-x-y). Les angles étant dénommés: précession - nutation - rotation propre. On rencontre fréquemment l'ordre (z-x-z), dans les manuels français.
2. Les angles de Tait-Brian, 6 ordres possibles : (x-y-z; y-z-x; z-x-y; x-z-y; z-y-x; y-x-z)

Les angles de Cardan, qui sont utilisés dans les domaines aéronautique et spatial, correspondraient à l'ordre (z-y-x), et apparaissent souvent sous les noms  : lacet=azimuth=yaw ; tanguage=pitch ; roulis=roll.

Orientation par un quaternion

L'utilisation des quaternions unitaires simplifie les difficultés dûes aux configurations singulières.

Denavit-Hartenberg

Les axes articulaires étant donnés et bien définis, ils sont choisis comme axes des «z» et la convention de Denavit-Hartenberg permet de caractériser la position relative de deux repères avec seulement quatre paramètres . On rencontre surtout deux variantes:

• Denavit-Hartenberg 1955.
• Khalil-Kleinfinger = Denavit-Hartenberg modifié.

Modèlisation géométrique directe

Du point de vue de la modélisation :

• Les matrices de passages ${\mathcal {P}}{(\mathbf {q} )}$ et ${\mathfrak {P}}{(\mathbf {q} )}\;$ dépendent de paramètres constitutifs constants et des variables articulaires.
• Les coordonnées cartésiennes $\scriptstyle \mathbf {x} {\text{ ou }}{\mathfrak {X}}\;$ sont des composantes de l'espace opérationnel que l'on calcule avec les formules génériques de changement de base, ou de repères, $\scriptstyle \mathbf {x} ={\mathcal {P}}\,\mathbf {x} ^{'}$ ou, dans le cas des coordonnées homogènes, $\scriptstyle {\mathfrak {X}}={\mathfrak {P}}\,{\mathfrak {X'}}$.
• Exemple d'une chaîne cinématique ouverte constituée de N corps numérotés de 1 à N=6, les formules de changement de bases (ou de repères en coordonnées homogènes) sont utilisées pour donner des jeux de relations du type:

${\begin{aligned}\mathbf {x} _{0}={\mathcal {P}}_{0,1}\mathbf {x} _{1}&\,,\qquad \mathbf {x} _{1}={\mathcal {P}}_{0,1}^{t}\mathbf {x} _{0}\,.\\\mathbf {x} _{1}={\mathcal {P}}_{1,2}\mathbf {x} _{2}&\,,\qquad \mathbf {x} _{2}={\mathcal {P}}_{1,2}^{t}\mathbf {x} _{1}\,.\\\mathbf {x} _{2}={\mathcal {P}}_{2,3}\mathbf {x} _{3}&\,,\qquad \mathbf {x} _{3}={\mathcal {P}}_{2,3}^{t}\mathbf {x} _{2}\,.\\\mathbf {x} _{3}={\mathcal {P}}_{3,4}\mathbf {x} _{4}&\,,\qquad \mathbf {x} _{4}={\mathcal {P}}_{3,4}^{t}\mathbf {x} _{3}\,.\\\mathbf {x} _{4}={\mathcal {P}}_{4,5}\mathbf {x} _{5}&\,,\qquad \mathbf {x} _{5}={\mathcal {P}}_{4,5}^{t}\mathbf {x} _{4}\,.\\\mathbf {x} _{5}={\mathcal {P}}_{5,6}\mathbf {x} _{6}&\,,\qquad \mathbf {x} _{6}={\mathcal {P}}_{5,6}^{t}\mathbf {x} _{5}\,.\\\scriptstyle {\text{ Et l'on en déduit l'expression :}}&\\\mathbf {x} _{0}={\mathcal {P}}_{0,6}\mathbf {x} _{6}&\,,\qquad \mathbf {x} _{6}={\mathcal {P}}_{0,6}^{t}\mathbf {x} _{0}\,.\\\end{aligned}}$
lorsque l'on a posé  :

${\begin{aligned}{\mathcal {P}}_{0,6}={\mathcal {P}}_{0,1}&{\mathcal {P}}_{1,2}{\mathcal {P}}_{2,3}\cdots {\mathcal {P}}_{5,6}\,.\\{\mathcal {P}}_{0,6}^{t}={\mathcal {P}}_{5,6}^{t}&{\mathcal {P}}_{4,5}^{t}{\mathcal {P}}_{3,4}^{t}\cdots {\mathcal {P}}_{1,0}\,.\\\end{aligned}}$

Pour alléger le formalisme, l'écriture générale :
${\mathcal {P}}_{0\,N}={\mathcal {P}}_{0\,1}{\mathcal {P}}_{1\,2}{\mathcal {P}}_{2\,3},\cdots ,{\mathcal {P}}_{N-2\,N-1}{\mathcal {P}}_{N-1\,N}\,.$
est abrégée en :

${\begin{aligned}{\mathcal {P}}_{0,N}&={\mathcal {P}}_{0}{\mathcal {P}}_{1}{\mathcal {P}}_{2},\cdots ,{\mathcal {P}}_{N-2}{\mathcal {P}}_{N-1}\,.\\{\mathcal {P}}_{0,N}^{t}&={\mathcal {P}}_{N-1}^{t}{\mathcal {P}}_{N-2}^{t},\cdots ,{\mathcal {P}}_{1}^{t}{\mathcal {P}}_{0}^{t}\,.\\\end{aligned}}$

Modèlisation géométrique inverse

Etant donné une situation opérationnelle X, quand on cherche à résoudre q= G(X), les trois cas sont possibles :

1. Une infinité de solutions : configuration redondante, (cas de plus de 6 articulations dans un bras manipulateur; mathématiquement le nombre de ddl est inutilement grand, ce qui peut être justifié par d'autres avantages pratiques ).
2. Une ou plusieurs solutions.
3. Aucune solution, la situation donnée peut se trouver en dehors de la zone d'accessibilité, ou bien c'est une configuration singulière. ( Exemple, deux axes de glissières qui arrivent en parallélisme, deux axes de pivots qui arrivent en coïncidence ...).

Modélisation dynamique

La modélisation dynamique consiste à établir les relations entre les efforts des actionneurs et les mouvements qui en découlent, autrement dit, à expliciter les équations différentielles du second ordre que sont les équations du mouvement.

Terminologie :

• Problème direct = calcul des accélérations produites par des efforts donnés, ce qui permet la détermination du mouvement par intégration.
• Problème inverse = connaissant le mouvement, c'est le calcul des efforts qui en sont la cause.

Lois de la dynanique

hypothèses simplificatrices

En premières approximations, on utilise fréquement des hypothèses simplificatrices telles que :

• Les corps constitutifs sont des solides rigides; Les ressorts sont les seuls constituants déformables.
• Les termes difficiles à évaluer de frottement visqueux sont estimés plus ou empiriquement.
• Les articulations sont des pivots (articulation rotoïde) ou des glissières (articulation prismatique),
• Les actionneurs (électriques, hydrauliques,..ou autres.) sont schématisés par des forces ou des couples (qui sont des fonctions des signaux de commandes). (Dans le cas des systèmes sous actionnés, certaines articulations sont dépourvues d'actionneurs).
• Les forces de contact avec l'environnement suivent la loi approchée du frottement sec de Coulomb.

Formulations

Formulation vectorielle

Les forces ainsi que les grandeurs cinématiques (vitesses, accélérations) sont représentées explicitement par des vecteurs.

Formulation analytique

L'état du système est décrit par des coordonnées généralisées «q» et leurs dérivées. Des principes variationnels sont utilisés avec des fonctions telles que l'énergie cinétique, l'énergie potentielle, leur somme, leur différence..., dépendant de l'état. Mathématiquement, le problème devient une sorte d'optimisation de fonction à plusieurs variables, avec ou sans contraintes. Il en résulte par des changements de variables et d'autres transformations mathématiques, des expressions variées qui sont pourtant équivalentes à la formulation vectorielle. Selon les liaisons mécaniques et les contraintes mathématiques introduites pour les illustrer, on peut discerner différentes approches :

• Équations de Lagrange sans contrainte, (minimisation de l'action).
• Pour prendre en compte les liaisons bilatérales holonômes:
  • Lagrange avec multiplicateurs.
  • Partition des variables: Wehage et Haug...
• Liaisons bilatérales non-holonômes : utilisation de quasi-vitesses $\scriptstyle w=f(q,{\dot {q}})\,:\qquad$ Équations ou méthodes de Boltzmann-Hamel, Gibbs-Appell, Kane, Maggi, Udwadia et Kalaba.

Interaction avec l'environnement

La robotique met l'accent

• Liaisons unilatérales qui peuvent être saturées (égalité) ou non saturées (inégalité stricte), multiplicateurs de Kuhn-Tucker.
• Possibilité d'impacts et de chocs subséquents.
• Les contacts avec frottement, entre le robot et son environnement, (commande en effort, robots marcheurs) sont délicats à modéliser, ce qui est dû à la forme non biunivoque de la loi de Coulomb. Ces difficultés qui avaient été entrevues dès 1895 avec le paradoxe de Painlevé (en) sont l'objet de recherches actuelles sous le nom de Mécanique non régulière.

Grandeurs mécaniques préliminaires

Notations

• Chaque grandeur est affectée du même indice que le corps qu'elle caractérise.
• Ainsi la masse, le centre de gravité, le tenseur d'inertie au centre de gravité, du corps Cj,se noteront respectivement : $\scriptstyle \quad m_{j}\,,\;{\rm {G_{j}\,,\;{\mathbf {I} }_{j}\qquad }}$.

${\begin{aligned}&\scriptstyle {\text{Pour préciser la disposition géométrique, on pose aussi:}}:\\{\vec {\boldsymbol {\rho }}}_{j}&={\overrightarrow {\rm {{O_{j}}{{G}_{j}}}}}\,;\;{\vec {\boldsymbol {\xi }}}_{j}={\overrightarrow {\rm {{O_{j}}{{O}_{j+1}}}}}\;.\\\end{aligned}}$.

• Les composantes d'une grandeur non scalaire dépendent du repère sur lequel elles sont projetées ce qui est indiqué par un indice supérieur à gauche .
  

${\begin{aligned}{}^{\ell }\mathbb {W} _{j}&\,;\quad \scriptstyle {\text{:composantes projetées sur le repère }}{\rm {R_{\ell }\,.}}\\{}^{0}\mathbb {W} _{j}&\,;\quad \scriptstyle {\text{composantes projetées sur le repère absolu galliléen.}}\\{}^{j}\mathbb {W} _{j}&\equiv \mathbb {W} _{j}\,;\quad \scriptstyle {\text{Pour alléger l'écriture des composantes propres .}}\\\end{aligned}}$.

Vecteurs

Ils sont appelés, « vrais vecteurs » ou « vecteurs polaires » en cas d'ambiguïté.

• $\mathbf {f}$ : Résultante générale des forces appliquées .
• $\mathbf {v}$ : Vecteur vitesse linéaire .
• $\mathbf {\dot {v}}$ : Accélération spatiale : par rapport au repère propre.
• ${\boldsymbol {\gamma }}$ : Accélération linéaire inertielle : par rapport au repère absolu galiléen. $\quad {\boldsymbol {\gamma }}=\mathbf {\dot {v}} -{\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {v} \,.$

Pseudovecteurs

Les Pseudovecteurs qui apparaîssent en mécanique, proviennent de produits vectoriels de vrais vecteurs.

• ${\boldsymbol {\mu }}$ : Moment de force (pseudovecteur) .
• ${\boldsymbol {\omega }}$ : Vecteur vitesse de rotation (pseudovecteur) .
• ${\boldsymbol {\dot {\omega }}}$ : Vecteur accélération angulaire(pseudovecteur) .

Pour les pseudovecteurs ${\boldsymbol {y}}$ la formule du changement de coordonnées prend les formes :

${\boldsymbol {y}}=\det({\mathcal {P}})\times {\mathcal {P}}\,{\boldsymbol {y}}^{'}\,$ et $\qquad {\boldsymbol {y}}^{'}=\det({\mathcal {P}}^{t})\times {\mathcal {P}}^{t}\,{\boldsymbol {y}}=\det({\mathcal {P}})\times {\mathcal {P}}^{t}\,{\boldsymbol {y}}\,$ .

Torseurs

Un torseur est un champ de vecteurs glissants équiprojectif qui est similaire à un champ de moments . Un torseur est l'association d'un pseudovecteur et d'un vrai vecteur.

Énergies

• L'énergie cinétique d'un système est la somme des énergies cinétiques des N corps constitutifs :
  

$T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )=\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left[m_{j}\;{}^{0}\mathbf {v} _{j}\!\centerdot \!{}^{0}\mathbf {v} _{j}\;+\;{}^{0}{\boldsymbol {\omega }}_{j}\!\centerdot \!({}^{0}\mathbf {I} _{j}\;{}^{0}{\boldsymbol {\omega }}_{j})\right]\,.$

• De même l'énergie potentielle dans le champ de pesanteur $\mathbf {g} \,$ :
  

$V(\mathbf {q} )=\sum _{j=1}^{N}[-m_{j}\;{}^{0}\mathbf {g} \centerdot {}^{0}\mathbf {r} _{j}]\,.$

Notations spatiales (avec des sextuplets)(

La dynamique des solides rigides entremêle les mouvements de translation et de rotation. D'ou l'intérêt pratique d'utiliser des symboles représentant 6 paramètres. En anglais, cette notation est qualifiée de «spatial».

Torseurs

Le torseur cinématique (des vitesses des points d'un solides), le torseur des efforts et la dérivé du torseur cinématique, (en un point M d'un repère), peuvent respectivement s'écrire :
$\mathbb {F} _{\rm {M}}={\begin{Vmatrix}{{\boldsymbol {\mu }}_{\rm {M}}}\\{\mathbf {f} }\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {V} _{\rm {M}}={\begin{Vmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\\{\mathbf {v} _{\rm {M}}}\end{Vmatrix}};\quad {\dot {\mathbb {V} }}_{\rm {M}}={\begin{Vmatrix}{\boldsymbol {\dot {\omega }}}\\{\mathbf {\dot {v}} _{\rm {M}}}={\boldsymbol {\gamma }}_{\rm {M}}-{\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {v} _{\rm {M}}\end{Vmatrix}}.$

Opérateurs sur deux torseurs

Soit, en un même point, les torseurs $\mathbb {V} _{1}\,{,}\qquad \mathbb {V} _{2}\,{,}\qquad \mathbb {F} _{2}\,.$
${\begin{aligned}\scriptstyle {\text{Deux opérateurs utiles }}&\scriptstyle {\text{agissant sur les torseurs sont : }}\odot \scriptstyle {\text{ et }}\oplus \scriptstyle {\text{ définis par : }}\\\mathbb {V} _{1}\odot \mathbb {V} _{2}&={\begin{Vmatrix}{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\wedge {\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{2}\\{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\wedge {\vec {\mathbf {v} }}_{2}\,+\,{\vec {\mathbf {v} }}_{1}\wedge {\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{2}\end{Vmatrix}}\;.\\\mathbb {V} _{1}\oplus \mathbb {F} _{2}&={\begin{Vmatrix}{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\wedge {\vec {\boldsymbol {\mu _{2}}}}\,+\,{\vec {\mathbf {v} }}_{1}\wedge {\vec {\mathbf {f} }}_{2}\\{\vec {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\wedge {\vec {\mathbf {f} }}_{2}\end{Vmatrix}}\;.\end{aligned}}$

Changement d'un même torseur dans 2 repères consécutifs

Soit R1 et R2 deux repères, nous posons ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}_{12}$ pour la matrice de passage directe de R1 vers R2 et ${\vec {\boldsymbol {\xi }}}={\overrightarrow {{O\!_{1}}{O\!_{2}}}}\;.$
Les matrices de passage, de R1 vers R2, pour les torseurs prennent les formes suivantes :

${\begin{aligned}\mathbf {A} &={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}^{t}&\quad 0\\{\mathcal {P}}^{t}\,{[{\boldsymbol {\xi }}]^{t}}&\quad {\mathcal {P}}^{t}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {V} _{2}=\mathbf {A} \,\mathbb {V} _{1}.\\\mathbf {A} ^{-1}&={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}&\quad 0\\{[{\boldsymbol {\xi }}]}\,{\mathcal {P}}&\quad {\mathcal {P}}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {V} _{1}=\mathbf {{A}^{-1}} \,\mathbb {V} _{2}.\\\mathbf {A} ^{t}&={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}&\quad {[{\boldsymbol {\xi }}]}\,{\mathcal {P}}\\0&\quad {\mathcal {P}}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {F} _{1}=\mathbf {A} ^{t}\,\mathbb {F} _{2}.\\\mathbf {A} ^{-t}&={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}^{t}&\quad {\mathcal {P}}^{t}\,{[{\boldsymbol {\xi }}]^{t}}\\0&\quad {\mathcal {P}}^{t}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {F} _{2}=\mathbf {A} ^{-t}\,\mathbb {F} _{1}.\end{aligned}}$

Équations de Newton-Euler

Soit un solide dont la masse, le centre de gravité, le tenseur d'inertie au centre de gravité, sont respectivement $\scriptstyle m{\text{ , G , }}\mathbf {I} _{\rm {G}}$. Le point O étant une origine quelconque, en posant :

• $\scriptstyle {\vec {\boldsymbol {\rho }}}={\overrightarrow {\boldsymbol {OG}}}$, pour définir la position du centre de gravité .
• ${\mathcal {\tilde {I}}}=\mathbf {I} _{\rm {G}}/m$  : le tenseur réduit (33), au centre de gravité.
  
• $\mathbf {J} =m\,{\begin{Vmatrix}{{\mathcal {\tilde {I}}}-[{\boldsymbol {\rho }}}]^{2}&[{\boldsymbol {\rho }}]\\-[{\boldsymbol {\rho }}]&{\boldsymbol {1}}_{(33)}\end{Vmatrix}}\,$ , matrice d'inertie (6x6) .
  

En notation sextuplet et en un point quelconque d'un solide rigide, les équations de Newton-Euler, prennent la forme suivante :

$\mathbb {F} =\mathbf {J} \,\mathbb {\dot {V}} +\mathbb {V} \!\oplus \mathbf {J} \,\mathbb {V} \;.$

Algorithmes numériques provenant de la formulation vectorielle

• Nous nous restreignons ici au cas des chaîne cinématiques ouvertes simples, corps numérotés de 0 à N, (une chaîne arborescente alourdirait un peu les notations, le cas d'une chaîne fermée est plus compliquée).
• Les grandeurs $\scriptstyle {{\boldsymbol {\omega }}_{j},\mathbf {v} _{j},{\boldsymbol {\mu }}_{j},\cdots }$ caractérisent le corps Cj, et sont projetées sur son repère propre Rj, d'origine Oj.
• Le corps Cj se meut autour l'articulation j, d'axe $\scriptstyle {\vec {z}}_{j}\;$ (conformément à la convention de Khalil-Kleinfinger), dont la nature est caractérisée par une matrice (6x1) (sauf pour la base libre):
  

$\mathbb {S} _{j}={\begin{Vmatrix}0\\0\\1\\0\\0\\0\end{Vmatrix}}:\,$ pivot ; $\qquad \mathbb {S} _{j}={\begin{Vmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\1\end{Vmatrix}}:\,$ glissière ; $\qquad \mathbb {S} _{0}=\mathbf {1} _{(66)}:\,$ base libre .

Algorithme RNEA = Recursive Newton Euler Algorithm

Principe

L'algorithme RNEA , résoud le problème de la dynamique inverse: à un instant donné, $\scriptstyle \mathbf {q} ,\,\mathbf {\dot {q}} ,\,\mathbf {\ddot {q}} \quad$ étant connus, on obtient les efforts des actionneurs $\scriptstyle \mathbf {\tau } \quad .$ Il comporte deux boucles de récurrences :

• Une montée (indices de 0 à N) cinématique qui utilise la composition des vitesses et des accélérations.
• Une descente (de N à 0) des efforts où interviennent Newton-Euler et la loi des actions réciproques.

Implémentation de la pesanteur

L'effet de la pesanteur est (rigoureusement) obtenu en accélérant le corps de base en sens opposé.
L'axe $\scriptstyle {\overrightarrow {{O}_{-1}\,{z}_{-1}}}$ étant la verticale ascendante du repère absolu galiléen $\scriptstyle {\rm {R_{-1}}}$ on ajoute artificiellement l'accélération $\scriptstyle \mathbf {\tilde {g}} _{0}$ à l'accélération naturelle du repère $\scriptstyle {\rm {R_{0}}}$ avec:

$\scriptstyle \mathbf {\tilde {g}} _{-1}=\scriptstyle {\begin{Vmatrix}0\\0\\+\left|g\right|\end{Vmatrix}}\,;\qquad {\mathcal {P}}\!{_{-1}}={\mathcal {P}}_{-1,0}\,;\qquad \mathbf {\tilde {g}} _{0}={\mathcal {P}}_{-1}^{t}\,\mathbf {\tilde {g}} _{-1}\;.$

Conditions initiales

Les conditions initiales sont les vitesses et les accélérations de la base (corps $\scriptstyle \mathrm {C} _{0}$) , et éventuellement, l'effort $\scriptstyle {\mathfrak {F}}_{N+1}$) exercé par l'environnement sur le point de contact $\scriptstyle \mathrm {O} _{N+1}$ du corps terminal $\scriptstyle \mathrm {C} _{N}$ , projeté dans le repère $\scriptstyle \mathrm {R} _{N+1}$ attaché à ce point de contact appartenant à $\scriptstyle \mathrm {C} _{N}$ :

${\begin{aligned}{\begin{cases}\mathbb {V} _{0}&={\begin{Vmatrix}{\boldsymbol {\omega _{0}}}\\\mathbf {v} _{0}\end{Vmatrix}}\;;\\\\\mathbb {\dot {V}} _{0}&={\begin{Vmatrix}{\boldsymbol {\dot {\omega _{0}}}}\\{\boldsymbol {\gamma _{0}}}-{\boldsymbol {\omega _{0}}}\wedge \mathbf {v} _{0}+\mathrm {\tilde {g}} _{0}\end{Vmatrix}}\;;\\\\\mathbb {F} _{N+1}&=-{{\mathfrak {F}}_{N+1}}\;.\end{cases}}\end{aligned}}$

Montée cinématique

For j= 1 to N do ${\begin{aligned}{\begin{cases}\qquad {}_{i}&={}_{j-1}\,;\\\qquad \mathbb {V} _{j}&=\mathbf {A} _{i}\,\mathbb {V} _{i}+\mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}\;;\\\qquad \mathbb {\dot {V}} _{j}&=\mathbf {A} _{i}\,\mathbb {\dot {V}} _{i}+\mathbb {S} _{j}\,{\ddot {q}}_{j}+\mathbb {V} _{j}\!\odot \mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}\;.\end{cases}}\end{aligned}}$

Descente des efforts

For j= N downto 0 do ${\begin{aligned}{\begin{cases}\qquad {}_{k}&={}_{j+1}\,;\\\qquad \mathbb {F} _{j}&=\mathbf {A} _{j}^{t}\,\mathbb {F} _{k}+\mathbf {J} _{j}\,\mathbb {\dot {V}} _{j}+\mathbb {V} _{j}\!\oplus \mathbf {J} _{j}\,\mathbb {V} _{j}\;;\\\qquad \tau _{j}&=\mathbb {S} _{j}^{t}\,\mathbb {F} _{j}\;.\end{cases}}\end{aligned}}$

Algorithme ABIA = Articulated Body Inertia Algorithm

• Traite le problème de dynamique directe : connaissant les efforts des actionneurs on obtient les accélérations ( ce qui permet d'aboutir au mouvement par intégration).
• L'idée de départ est de considérer une partie de la chaîne comme étant un seul corps rigide dont on calcule l'inertie équivalente $\scriptstyle \mathbf {K} \,,\,$ de manière à pouvoir écrire des équations du mouvement du type : $\scriptstyle \mathbb {F} =\mathbf {K} \,\mathbb {\dot {V}} +\mathbb {D} \,.$
• Est souvent appelé, d'après le nom de son auteur, algorithme de Featherstone.

Conditions initiales

${\begin{aligned}{\begin{cases}\mathbf {K} _{N+1}&=0\;;\\\mathbb {B} _{N+1}&=\mathbb {F} _{N+1}\;;\\\mathbb {D} _{N+1}&=\mathbb {F} _{N+1}\;.\end{cases}}\end{aligned}}$

Descente des inerties des corps articulés

For j= N downto 0 do ${\begin{aligned}{\begin{cases}\qquad {}_{k}&={}_{j+1}\,;\\\qquad w_{k}&=\mathbb {S} _{k}^{t}\mathbf {K} _{k}\mathbb {S} _{k}\,;\\\qquad \mathbf {K} _{j}&=\mathbf {J} _{j}+\mathbf {A} _{j}^{t}\left[\mathbf {1} _{(66)}-\mathbf {K} _{k}\mathbb {S} _{k}\mathbb {S} _{k}^{t}/w_{k}\right]\mathbf {K} _{k}\mathbf {A} _{j}\,;\\\qquad \mathbb {B} _{j}&=\mathbf {A} _{j}^{t}\left[\mathbb {D} _{k}+\mathbf {K} _{k}\mathbb {S} _{k}\left(\tau _{k}-\mathbb {S} _{k}^{t}\mathbb {D} _{k}\right)/w_{k}\right]+\mathbb {V} _{j}\!\oplus \mathbf {J} _{j}\,\mathbb {V} _{j}\;;\\\qquad \mathbb {D} _{j}&=\mathbf {K} _{j}\mathbb {V} _{j}\!\odot \mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}+\mathbb {B} _{j}\;.\\\end{cases}}\end{aligned}}$

Montée pour les accélérations

For j= 1 to N do ${\begin{aligned}{\begin{cases}{}_{i}&={}_{j-1}\,;\\{\ddot {\mathrm {q} }}_{j}&=\left(\tau _{j}-\mathbb {S} _{j}^{t}\left[\mathbf {K} _{j}\mathbf {A} _{i}{\dot {\mathbb {V} }}_{i}+\mathbb {D} _{j}\right]\right){/}{w}_{j}\;;\\{\dot {\mathbb {V} }}_{j}&=\mathbf {A} _{i}{\dot {\mathbb {V} }}_{i}+\mathbb {S} _{j}\,{\ddot {q}}_{j}+\mathbb {V} _{j}\!\odot \mathbb {S} _{j}\,{\dot {q}}_{j}\;.\end{cases}}\end{aligned}}$

Formulation analytique

La formulation analytique (ou lagrangienne) de la dynamique d'un système mécanique, à N degrés de liberté, ne fait intervenir que les variables articulaires $\scriptstyle \mathbf {q} \equiv \scriptstyle {q}^{1},{q}^{2},\cdots ,{q}^{k},\cdots ,{q}^{N}$ , (qui sont les variables de configuration ou les coordonnées généralisées).

Les grandeurs qui surviennent dans la formation des équations de Lagrange en robotiques sont :

• L'énergie cinétique du système $T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )$ , qui est la somme des énergies cinétiques des Nc corps constitutifs ${\rm {\scriptstyle {(\,Nc\leqslant N\,)}\;.}}$ En appelant, pour le corps d'indice ${}_{i}\;,\mathbf {v} _{i},\;{\boldsymbol {\omega }}_{i},\;\mathbf {I} _{i},$ respectivement, la vitesse au centre de gravité, le vecteur rotation, le tenseur d'inertie au centre de gravité, toutes ces grandeurs étant exprimées dans le repère absolu galiléen, on a :
  

$T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{Nc}\left[m_{i}|\mathbf {v} _{i}|^{2}+{\boldsymbol {\omega }}_{i}^{t}(\mathbf {I} _{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i})\right]\,.$

• La matrice d'inertie du système ${\mathfrak {M}}_{jk}(\mathbf {q} )\,,$ est une matrice [NxN], symétrique, définie positive, telle que:
  

$T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}{{\mathfrak {M}}_{jk}{\dot {q}}^{j}{\dot {q}}^{k}}={\frac {1}{2}}{\mathfrak {M}}_{jk}{\dot {q}}^{j}{\dot {q}}^{k}\,,$ avec la convention de sommation d'Einstein sur les indices répétés.

• L'énergie potentielle : $V(\mathbf {q} )\,;\;$ dans le cas où il n'y a pas de composant élastique, l'énergie potentielle $V(g,\mathbf {q} )\,$ est proportionnelle à l'intensité de la pesanteur $g\,.$ On pose ici : $\scriptstyle {\mathcal {V}}_{k}(\mathbf {q} )={\frac {\partial \ V_{(}\mathbf {q} )}{\partial q^{k}}}\,,\,$ pour le terme d'énergie potentielle d'indice $\scriptstyle {k}\;.$
• $\tau _{k}$ : Effort (couple ou force) exercé par l'actionneur de l'articulation ${k}$ .
  
• Le lagrangien ${\mathcal {L}}=T-V\,.$

Equations sans contrainte

Avec les formules précédente pour T et V, l'expression générale des équations de Lagrange :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\!\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{k}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{k}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\!\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}^{k}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{k}}}+{\frac {\partial V}{\partial q^{k}}}=\tau _{k}\;;$

peut se mettre sous la forme habituelle suivante :
${\begin{aligned}{\begin{cases}{\mathfrak {M}}_{jk}(\mathbf {q} ){\ddot {q}}{\,}^{j}&+\quad {\mathfrak {C}}_{k}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )+{\mathcal {V}}_{k}(\mathbf {q} )=\tau _{k}\,;\\{\mathfrak {C}}_{k}(\mathbf {q} {,}\mathbf {\dot {q}} )&=\Gamma _{ijk}(\mathbf {q} ){\dot {q}}{\,}^{i}{\dot {q}}{\,}^{j}\,;\\\Gamma _{ijk}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {M}}_{jk}}{\partial q^{i}}}+{\frac {\partial {\mathfrak {M}}_{ki}}{\partial q^{j}}}-{\frac {\partial {\mathfrak {M}}_{ij}}{\partial q^{k}}}\right)\,.\end{cases}}\end{aligned}}$
Le termes ${\mathfrak {C}}_{k}\;$ représente les forces centrifuges et de coriolis et peut être exprimé avec les symboles de Christoffel de première espèce .

En pratique, de nos jours, le calcul algébrique des coefficients de ces équations est, tout à fait envisageable avec un logiciel de calcul symbolique.

Equations avec contraintes

Lorsque des point du robot est en contact avec un obstacle fixe de l'environnement, sa position $\scriptstyle \mathbf {Z} =\phi (\mathbf {q} )$ est une constante, ce qui correspond à des liaisons bilatérales (qui sont permanentes si les vitesses et les accélérations sont nulles, ou transitoires dans le cas contraire). Cette situation est représentée par les équations de Lagrange avec r>0 contraintes égalités :
${\begin{aligned}{\begin{cases}\quad \phi _{\ell }(\mathbf {q} )&=0\,;\;\scriptstyle \ell =1,\cdots ,r\,.\\\quad {\mathfrak {J}}_{\ell i}(\mathbf {q} ){\dot {q}}\,^{i}\!&=0\,;\qquad {\mathfrak {J}}_{\ell i}(\mathbf {q} )={\frac {\partial \phi _{\ell }}{\partial q^{i}}}\,;\quad \scriptstyle {\ell }=1,\cdots ,r\,;\quad i,k=1,\cdots ,N\,.\\{\mathfrak {M}}_{ik}(\mathbf {q} ){\ddot {q}}{\,}^{i}&+\;{\mathfrak {C}}_{k}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )+{\mathcal {V}}_{k}(\mathbf {q} )=\tau _{k}+{\mathfrak {J}}_{k\ell }^{t}(\mathbf {q} )\lambda ^{\ell }\,.\\\qquad \scriptstyle {\text{Les r }}&\scriptstyle {\text{ variables supplémentaires }}{\boldsymbol {\lambda }}\scriptstyle {\text{ sont les multiplicateurs de Lagrange .}}\end{cases}}\end{aligned}}$
Lorsque les contraintes représentent des liaisons ayant une signification géométrique les multiplicateurs sont les composantes des efforts de réaction exercés par l'environnement sur le système mécanique.

Il est physiquement plus satisfaisant de modéliser les actions de contact par des liaison unilatérales et par des équations de Lagrange avec contraintes inégalités :
${\begin{aligned}{\begin{cases}\quad \phi _{\ell }(\mathbf {q} )&=0\,;\;\scriptstyle \ell =1,\cdots ,r\,.\\\quad \psi _{m}(\mathbf {q} )&\geqslant 0\,;\;\scriptstyle m=1,\cdots ,s\,.\\\quad {\mathfrak {J}}_{\ell i}(\mathbf {q} ){\dot {q}}\,^{i}&=0\,;\qquad {\mathfrak {J}}_{\ell i}(\mathbf {q} )={\frac {\partial \phi _{\ell }}{\partial q^{i}}}\,;\quad \scriptstyle {\ell }=1,\cdots ,r\,;\quad i,k=1,\cdots ,N\,.\\\;{\mathfrak {K}}_{mi}(\mathbf {q} ){\dot {q}}\,^{i}\!&\geqslant 0\,;\qquad {\mathfrak {K}}_{mi}(\mathbf {q} )={\frac {\partial \psi _{m}}{\partial q^{i}}}\,;\quad \scriptstyle {m}=1,\cdots ,s\,;\quad i,k=1,\cdots ,N\,.\\{\mathfrak {M}}_{ik}(\mathbf {q} ){\ddot {q}}{\,}^{i}&+\;{\mathfrak {C}}_{k}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )+{\mathcal {V}}_{k}(\mathbf {q} )=\tau _{k}+{\mathfrak {J}}_{k\ell }^{t}(\mathbf {q} )\lambda ^{\ell }+{\mathfrak {K}}_{km}^{t}(\mathbf {q} )\mu ^{m}\,.\\\quad \scriptstyle {\text{Les s }}&\scriptstyle {\text{ variables supplémentaires }}{\boldsymbol {\mu }}\scriptstyle {\text{ sont les multiplicateurs de Karush-Kuhn-Tucker qui vérifient les conditions :}}\\\qquad \psi _{m}\geqslant 0&\Leftrightarrow \mu ^{m}=0\,;\qquad \psi _{m}=0\Leftrightarrow \mu ^{m}\geqslant 0\,.\end{cases}}\end{aligned}}$

Notes et références

section modélisation dynamique

Formalisme de la Mécanique Rationnelle

Équations vectorielles

Composition des vitesses et des accélération en cinématique classique

Soit un espace ponctuel métrique, de dimension N, et un paramètre dénommé «temps». On appelle référentiel tout ensemble de plus de N points tel que toutes les distances entre deux points quelconques sont indépendantes du temps.

• 1) La Mécanique Classique a recours à l'espace ponctuel euclidien à 3 dimensions et au temps absolu newtonien (qui est valable dans tous les référentiels et qui «s'écoule uniformément»).
• 2) La définition de solide rigide est proche de celle de référentiel mais l'ensemble considéré est constitué par les points situés à l'intérieur d'un certain domaine fermé et connexe.
• 3) Le concept de référentiel, suffit, à lui seul, pour édifier les définitions de «vecteur appartenant à un référentiel», de «dérivée temporelle d'un vecteur d'un référentiel par rapport à un autre référentiel»,...etc. (Distinction à faire entre vecteur libre et vecteur lié).
• 4) Ainsi, sous sa formulation vectorielle, la cinématique classique ne fait nullement intervenir le concept de système de coordonnées.

Exemple : les formules habituelles de la composition des vitesses $\scriptstyle {\vec {\mathbf {v} }}$ et des accélérations $\scriptstyle {\vec {\boldsymbol {\gamma }}}$ pour les référentiels R et R'.
${\vec {\mathbf {v} }}(M)_{[R]}={\vec {\mathbf {v} }}(P)_{[R]}\;+\;{\overrightarrow {\Omega }}_{[R'\!/R]}\wedge {\overrightarrow {PM}}\;+\;{\vec {\mathbf {v} }}(M)_{[R']}.$

${\vec {\boldsymbol {\gamma }}}(M)_{[R]}={\vec {\boldsymbol {\gamma }}}(P)_{[R]}\;+\;\left(\!{\frac {d{\overrightarrow {\Omega }}_{[R'\!/R]}}{dt}}\!\right)_{[R]}\!\!\!\!\wedge {\overrightarrow {PM}}\;+\;{\overrightarrow {\Omega }}_{[R'\!/R]}\wedge \left({\overrightarrow {\Omega }}_{[R'\!/R]}\wedge {\overrightarrow {PM}}\right)\;+\;2\,{\overrightarrow {\Omega }}_{[R'\!/R]}\wedge {\vec {\mathbf {v} }}(M)_{[R']}\;+\;{\vec {\boldsymbol {\gamma }}}(M)_{[R']}.$

• 5) Bien entendu, il conviendra de choisir ensuite des systèmes de coordonnées, pour pouvoir convertir les équations vectorielles, en relations numériques entre les composantes des vecteurs.
  

Tests d'affichage de formules

............... ${\begin{aligned}&{\text{Texte, même avec accents, ne supporte pas les balises avec antislash}}\\{\vec {v}}&={\overrightarrow {v}}={\vec {\mathfrak {v}}},\\{\vec {v}}&={\vec {a}}\land {\vec {b}},\quad {\vec {w}}={\vec {c}}\wedge {\vec {d}};{\text{ produit vectoriel avec land et wedge}}\\u&={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\quad ={\vec {a}}\centerdot {\vec {b}}\quad {\vec {a}}\bullet {\vec {b}}\quad {\text{ produit scalaire avec cdot, centerdot et bullet}}\\{\begin{vmatrix}v\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}x\\y\\z\end{vmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}{\vec {v}}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{vmatrix}}\quad \cdot \\{\text{ les symboles utiles sont :}}{\vec {\mathbf {f} }}&=m*{\vec {\boldsymbol {\gamma }}}\quad =m*{\overrightarrow {\boldsymbol {\gamma }}}\quad \centerdot \\\mathbb {V} _{1}\odot \mathbb {V} _{2}&={\begin{vmatrix}{\vec {\Omega }}_{1}\wedge {\vec {\Omega }}_{2}\\{\vec {\Omega }}_{1}\wedge {\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{1}\wedge {\vec {\Omega }}_{2}\end{vmatrix}}\quad \centerdot \\\mathbb {V} _{1}\oplus \mathbb {F} _{2}&={\begin{vmatrix}{\vec {\Omega }}_{1}\wedge {\vec {\boldsymbol {\mu }}}_{2}+{\vec {v}}_{1}\wedge {\vec {f}}_{2}\\{\vec {\Omega }}_{1}\wedge {\vec {f}}_{2}\end{vmatrix}}\quad \centerdot \\\mathbb {V} &={\begin{vmatrix}{\vec {\Omega }}\\{\vec {\mathfrak {v}}}\end{vmatrix}}{\text{ ou bien }}\mathbb {V} ={\begin{bmatrix}{\vec {\Omega }}\\{\vec {v}}\end{bmatrix}}\quad .\\\mathbb {F} &={\begin{vmatrix}{\vec {\boldsymbol {\mu }}}\\{\vec {\mathfrak {f}}}\end{vmatrix}}{\text{ ou bien }}\mathrm {F} ={\begin{Vmatrix}{\vec {\boldsymbol {\mu }}}\\{\vec {\mathrm {f} }}\end{Vmatrix}}\quad .\\\end{aligned}}$ Voici le second groupe de formules
$\qquad {\begin{aligned}f(n+1)&=(n+1)^{2}\\\ &=n^{2}+2n+1\\G(p+2)&=(n+1)^{p}\\\&=p^{2}+q-1\quad .\\\mathbb {V} &={\vec {\mathfrak {A}}}\wedge {\vec {\mathfrak {B}}}\quad ;\\\mathbf {V} &={\vec {\mathfrak {C}}}\wedge {\vec {\mathfrak {D}}}\quad ,\\{\mathsf {V}}&={\vec {\mathfrak {E}}}\bullet {\vec {\mathfrak {F}}}\quad :\\\mathrm {V} &={\vec {\mathfrak {G}}}\times {\vec {\mathfrak {H}}}\quad .\\\end{aligned}}$

$\mathbb {\vec {V}} =\quad {\vec {\mathsf {SA}}}={\mathsf {\vec {SB}}}=avectilda{\text{ avec tilda et text}}$ $\mathbb {V} =\quad \mathrm {\vec {V}} ={\vec {\mathsf {SA}}}=$ ${\mathsf {\vec {SB}}}=avectilda\quad {\vec {\mathcal {CAL}}}=\mathrm {V} =\quad \mathbb {A} =\mathbf {B} \centerdot \quad {\mathfrak {V}}=\mathbf {B}$ $\mathrm {K} =$ ${\vec {\mathbb {E} }}={\vec {\mathbf {F} }}$ ${\vec {\mathbb {E} }}={\vec {\mathbf {F} }}*{\vec {\mathbf {W} }}\centerdot$

${\dot {\mathsf {V}}}={\begin{Vmatrix}{\dot {\vec {\Omega }}}\\{\dot {\vec {v}}}\end{Vmatrix}}\quad {\dot {\mathbb {V} }}={\begin{vmatrix}{\dot {\vec {\Omega }}}\\{\dot {\vec {v}}}\end{vmatrix}}\centerdot$

Utilisation des bases orthonormales en dimension 3

Synonymes de repères cartésiens et aussi de repères orthonormées.

En pratique, le formalisme de la physique_classique fait un grand usage des bases orthonormales dans l'espace_euclidien à 3 dimensions ${\mathcal {E}}^{3}$ .

Vecteurs et torseurs

Références internes :

• vecteur
• torseur
• convention pour orienter l'espace à 3 dimensions
• orientation spatiale
• matrice de passage, changement de coordonnées

Quelques vérifications de wikicode
$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} \end{bmatrix}}\,\mathbf {b} ,\qquad \mathbf {v} =\left[\mathbf {a} \right]\,\mathbf {b} ,\qquad \mathbf {v} =[\mathbf {a} ]\,\mathbf {b} .$
Le texte nécessitant une référence <ref>[http://www.votresource.com Titre de la source]</ref>. Insérer ici un texte non format avec la fenêtre W

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Texte de la cellule	Texte de la cellule	Texte de la cellule
Texte de la cellule	Texte de la cellule	Texte de la cellule

Écriture vectorielle et écriture matricielle

Soit un vecteur ${\vec {\mathbf {v} }}$ , dont les composantes sont $x,y,z$ dans une base orthonormée ${\mathcal {B}}$ de l'espace euclidien à 3 dimensions ${\mathcal {E}}^{3}$.
On utilise l'écriture matricielle conventionnelle suivante:

$\mathbf {v} =\mathbf {v} _{3,1}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {v} ^{t}={\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}\mathbf {v} \end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{pmatrix}}.$

Avec cette notation, l'équation vectorielle ${\vec {\mathbf {v} }}={\vec {\mathbf {a} }}\wedge {\vec {\mathbf {b} }}$ , projetée dans ${\mathcal {B}}$,
prend la forme matricielle suivante:

$\mathbf {v} =\mathbf {v} _{3,1}={\begin{bmatrix}\mathbf {a} \end{bmatrix}}\mathbf {b}$, qu'il est aussi possible de noter conventionnellement : $\mathbf {v} =\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$

Changement de bases

Soit 2 bases orthonormées dans l'espace euclidien à 3 dimensions ${\mathcal {E}}^{3}$:

• ${\mathcal {B}}=({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})$, dénommée conventionnellement «Ancienne base».
• ${\mathcal {B}}'=({\vec {e}}\,'_{1},{\vec {e}}\,'_{2},{\vec {e}}\,'_{3})$, la «Nouvelle base» que l'on caractérise par la caractéristique «prime» .

La définition des composantes (ou coordonnées) revient à écrire :

${\vec {\mathbf {x} }}=\sum _{i=1}^{3}x_{i}{\vec {e}}_{i}=x_{1}{\vec {e}}_{1}+x_{2}{\vec {e}}_{2}+x_{3}{\vec {e}}_{3}=x'_{1}{\vec {e}}\,'_{1}+x'_{2}{\vec {e}}\,'_{2}+x'_{3}{\vec {e}}\,'_{3}$

Remarque : Les théories générales distinguent les composantes covariantes $x_{i}$ des composantes contravariantes $x^{i}$.
Mais dans le cas des bases orthonormales des espaces euclidiens, cette distinction est inutile car $x_{i}=x^{i}$.

Soit la matrice de passage directe ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}_{3,3}={\mathcal {P_{B}^{B'}}}$, définie par :

${\mathcal {P}}_{i,j}={\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {e}}\,'_{j},\qquad$ avec ${1\leq i\leq 3,\quad 1\leq j\leq 3}.$

Les colonnes de la matrice de passage sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base, exprimés dans l'ancienne base.

Une telle matrice de passage est orthogonale: l'inverse est égale à la transposée et la valeur absolue de son déterminant est égale à un.

${\mathcal {P}}^{-1}={\mathcal {P}}^{t}$ , et

$\det({\mathcal {P}})=\det({\mathcal {P}}^{t})=\pm {1}.$ autrement dit  :

$\quad {\mathcal {P}}\,{\mathcal {P}}^{t}={\mathcal {P}}^{t}\,{\mathcal {P}}={\boldsymbol {1}}_{3,3}.$
Pour les vecteurs (vecteurs polaires) $\mathbf {X}$, la formule du changement de coordonnées s'écrit :

$\mathbf {X} ={\mathcal {P}}\,\mathbf {X} ^{'}$ ou bien $\mathbf {X} ^{'}={\mathcal {P}}^{t}\,\mathbf {X} .$ .

Lorsque les bases orthonormales ${\mathcal {B}}$ et ${\mathcal {B}}'$ ont la même orientation, alors $\det({\mathcal {P}})=+{1}$ , sinon $\det({\mathcal {P}})=-{1}$ .
Pour les pseudovecteurs ${\boldsymbol {Y}}$ la formule du changement de coordonnées s'écrit :

${\boldsymbol {Y}}=\det({\mathcal {P}})\times {\mathcal {P}}\,{\boldsymbol {Y}}^{'}$ ou ${\boldsymbol {Y}}^{'}=\det({\mathcal {P}}^{t})\times {\mathcal {P}}^{t}\,{\boldsymbol {Y}}$ .

Solides rigides

référentiel et repères associès à un solide igide

Un solide rigide défini un référentiel dans lequel on peut choisir des repères cartésiens ${\mathfrak {R}}_{\mathrm {O} ,{\mathcal {B}}}$. Chaque repère est caractérisé par son origine $\mathrm {O}$ et ses 3 vecteurs de bases orthonormés ${\mathcal {B}}=({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})$

Dans de tels repères, les vecteurs de ${\mathcal {E}}^{3}$ sont représentés par des matrices colonnes {3,1}.

Paramètres constitutifs

• Masse : m.
• Position du centre de gravité G:${\boldsymbol {\vec {\xi }}}={\overrightarrow {OO'}}$.
• Tenseur d'inertie en G : ${\mathbf {I} }_{\rm {G}}$.

Grandeurs mécaniques associées

Le formalisme de la dynamique du solide rigide in troduit les grandeurs mécaniques suivantes :

• ${\boldsymbol {\mu }}$ : Moment des force (pseudovecteur)
• $\mathbf {f}$ : Résultante générale des forces appliquées
• ${\boldsymbol {\omega }}$ : Vecteur vitesse de rotation (pseudovecteur)
• $\mathbf {v}$ : Vecteur vitesse linéaire
• ${\boldsymbol {\dot {\omega }}}$ : Vecteur accélération angulaire(pseudovecteur)
• $\mathbf {\dot {v}}$ : Accélération spatiale
• ${\boldsymbol {\gamma }}$ : Accélération inertielle

${\boldsymbol {\gamma }}=\mathbf {\dot {v}} -{\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {v}$

Torseur cinématique et torseur statique

Formalisme à 6 composantes

Dans un repère ${\mathfrak {R}}_{\mathrm {O} ,{\mathcal {B}}}$ le torseur statique (torseur des efforts appliqués) $\mathbb {F} =\mathbb {F} _{6,1}$ et le torseur cinématique (torseur des vitesses des points du solide) $\mathbb {V} =\mathbb {V} _{6,1}$ sont représentés par des matrices colonnes à 6 éléments. Ces éléments dépendent de l'origine ${\rm {O}}$ et de la base ${\mathcal {B}}$ .

$\mathbb {F} ={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\mu }}\\{\mathbf {f} }\end{pmatrix}},\quad \mathbb {V} ={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\\\mathbf {v} \end{pmatrix}},\quad \mathbb {\dot {V}} ={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\dot {\omega }}}\\{\dot {\mathbf {v} }}\end{pmatrix}}.$

Opérateurs sur les torseurs

${\begin{aligned}\scriptstyle {\text{ les symboles utiles sont :}}\\\mathbb {V} _{1}\odot \mathbb {V} _{2}&={\begin{Vmatrix}{\vec {\omega }}_{1}\wedge {\vec {\omega }}_{2}\\{\vec {\omega }}_{1}\wedge {\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{1}\wedge {\vec {\omega }}_{2}\end{Vmatrix}}\quad .\\\mathbb {V} _{1}\oplus \mathbb {F} _{2}&={\begin{Vmatrix}{\vec {\omega }}_{1}\wedge {\vec {\mu }}_{2}+{\vec {v}}_{1}\wedge {\vec {f}}_{2}\\{\vec {\omega }}_{1}\wedge {\vec {f}}_{2}\end{Vmatrix}}\quad .\\\end{aligned}}$

Changement de repères pour les torseurs d'un même référentiel

On pose, ${\boldsymbol {\vec {\rho }}}={\overrightarrow {OAG}}$, pour la position du cente de gravité et ${\boldsymbol {\vec {\xi }}}={\overrightarrow {OAOB}}$, pour l'origine du repère suivant.

${\begin{aligned}\mathbf {A} &={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}^{t}&\quad 0\\{\mathcal {P}}^{t}\,{[{\boldsymbol {\xi }}]^{t}}&\quad {\mathcal {P}}^{t}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {V} _{B}&=\mathbf {A} \,\mathbb {V} _{A}.\\\mathbf {A} ^{-1}&={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}&\quad 0\\{[{\boldsymbol {\xi }}]}\,{\mathcal {P}}&\quad {\mathcal {P}}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {V} _{A}&=\mathbf {A} ^{-1}\,\mathbb {V} _{B}.\\\mathbf {A} ^{t}&={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}&\quad {[{\boldsymbol {\xi }}]}\,{\mathcal {P}}\\0&\quad {\mathcal {P}}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {F} _{A}&=\mathbf {A} ^{t}\,\mathbb {F} _{B}.\\\mathbf {A} ^{-t}&={\begin{Vmatrix}{\mathcal {P}}^{t}&\quad {\mathcal {P}}^{t}\,{[{\boldsymbol {\xi }}]^{t}}\\0&\quad {\mathcal {P}}^{t}\end{Vmatrix}};\quad \mathbb {F} _{B}&=\mathbf {A} ^{-t}\,\mathbb {F} _{A}.\\\end{aligned}}$

Èquations de Newton-Euler

Expression au centre de gravité

Au centre de gravité ${\rm {G}}$ , avec le formalisme à 6 composantes, les équation de Newton-Euler s'écrivent: $\mathbb {F} _{\rm {G}}={\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\mu }}_{\rm {G}}}\\{\mathbf {f} }\end{pmatrix}},\quad \mathbb {V} _{\rm {G}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\\{\mathbf {v} _{\rm {G}}}\end{pmatrix}}.\quad {\dot {\mathbb {V} }}_{\rm {G}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\dot {\omega }}}\\{\mathbf {\dot {v}} _{\rm {G}}}={\boldsymbol {\gamma }}_{\rm {G}}-{\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {v} _{\rm {G}}\end{pmatrix}}.$
$\mathbb {F} _{\rm {G}}={\begin{vmatrix}{\mathbf {I} }_{\rm {G}}&0\\0&m\,{{\boldsymbol {1}}_{3,3}}\end{vmatrix}}{\dot {\mathbb {V} }}_{\rm {G}}+{\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\end{bmatrix}}{\mathbf {I} }_{\rm {G}}\,{\boldsymbol {\omega }}\\m\,{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\end{bmatrix}}{\mathbf {v} _{\rm {G}}}\end{pmatrix}};$

Expression en un point quelconque

Le point O étant une origine appartenant au solide, la position du centre de gravité G est caractérisée par ${\vec {\boldsymbol {\rho }}}={\overrightarrow {OG}}$

${\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\mu }}\\{\boldsymbol {f}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\mathbf {I} }_{\rm {G}}-m\,[{\boldsymbol {\rho }}]^{2}&m\,[{\boldsymbol {\rho }}]\\-m\,[{\boldsymbol {\rho }}]&m\,{{\boldsymbol {\boldsymbol {1}}}_{3,3}}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\dot {\omega }}}\\\mathbf {\dot {v}} \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\left[{\boldsymbol {\omega }}\right]\,\left(\mathbf {I} _{\rm {G}}-m\,\left[{\boldsymbol {\rho }}\right]^{2}\,\right)\,{\boldsymbol {\omega }}\\m\,\left[{\boldsymbol {\omega }}\right]^{2}\,{\boldsymbol {\rho }}\end{pmatrix}}$

$\mathbb {F} ={\begin{pmatrix}{\mathbf {I} }_{\rm {G}}-m\,[{\boldsymbol {\rho }}]^{2}&m\,[{\boldsymbol {\rho }}]\\-m\,[{\boldsymbol {\rho }}]&m\,{{\boldsymbol {\boldsymbol {1}}}_{3,3}}\end{pmatrix}}\,{\dot {\mathbb {V} }}+{\begin{pmatrix}\left[{\boldsymbol {\omega }}\right]\,\left(\mathbf {I} _{\rm {G}}-m\,\left[{\boldsymbol {\rho }}\right]^{2}\,\right)\,{\boldsymbol {\omega }}\\m\,\left[{\boldsymbol {\omega }}\right]^{2}\,{\boldsymbol {\rho }}\end{pmatrix}}$

En posant ${\mathcal {\tilde {I}}}=\mathbf {I} _{\rm {G}}/m$ l'écriture devient :
$\mathbb {F} /m={\begin{pmatrix}{{\mathcal {\tilde {I}}}-[{\boldsymbol {\rho }}}]^{2}&[{\boldsymbol {\rho }}]\\-[{\boldsymbol {\rho }}]&{{\boldsymbol {\boldsymbol {1}}}_{3,3}}\end{pmatrix}}\,{\dot {\mathbb {V} }}+{\begin{pmatrix}\left[{\boldsymbol {\omega }}\right]\,\left({\mathcal {\tilde {I}}}-\left[{\boldsymbol {\rho }}\right]^{2}\,\right)\,{\boldsymbol {\omega }}\\\left[{\boldsymbol {\omega }}\right]^{2}\,{\boldsymbol {\rho }}\end{pmatrix}}$
.........................................

Algorithme de Newton-Euler par récurrence:RNEA

Notations

1. Espace vectoriel euclidien à 3 dimensions $\scriptstyle {\mathcal {E}}^{3}$
   • Vecteurs $\mathbf {v} ,\mathbf {f}$
   • Orientation de l'espace
   • Pseudovecteurs ${\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\mu }}$
   • Tenseurs d'inertie${\mathcal {I}}$
   • Repères orthonormés R,ou $R$
   • Matrices de passages${\mathcal {P}}\,;\quad {\boldsymbol {\mu }}_{1}={\mathcal {P}}_{1}\,{\boldsymbol {\mu }}_{2}\,.$
2. Espace ponctuel euclidien à 6 composantes ${\mathsf {SE(3)}}$
   • Repères orthonormés ${\mathfrak {R}}_{-1},\,{\mathfrak {R}}_{0},\,{\mathfrak {R}}_{1},\,\cdots {\mathfrak {R}}_{N},\,{\mathfrak {R}}_{N+1}$
   • Matrices d'inertie spatiale$\mathbb {J}$
   • Matrices de passages$\mathbf {A}$
   • Torseurs $\mathbb {V} ,\mathbb {F}$

Implémentation de la pesanteur

L'axe ${O}_{-1}\,{z}_{-1}$ étant la verticale ascendante du repère absolu galiléen ${\mathfrak {R}}_{-1}$on pose :

${\mathfrak {g}}_{-1}={\begin{pmatrix}0\\0\\+\left|g\right|\end{pmatrix}}\,;\qquad {\mathcal {P}}\!{_{-1}}={\mathcal {P}}_{-1,0}\,;\qquad {\mathfrak {g}}_{0}={\mathcal {P}}_{-1}^{t}\,{\mathfrak {g}}_{-1}\;.$

Conditions initiales et formules de la récurrence RNEA

Les conditions initiales sont la vélocité et sa dérivée du corps ${\mathfrak {C}}_{0}$ :

${\begin{aligned}{\begin{cases}\mathbb {V} _{0}&={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\omega _{0}}}\\\mathbf {v} _{0}\end{pmatrix}}\;;\\\\\mathbb {\dot {V}} _{0}&={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\dot {\omega _{0}}}}\\{\boldsymbol {\gamma _{0}}}-{\boldsymbol {\omega _{0}}}\wedge \mathbf {v} _{0}+{\mathfrak {g}}_{0}\end{pmatrix}}\;;\\\mathbb {F} _{N+1}&=-{{\mathfrak {F}}_{N+1}}\;.\end{cases}}\end{aligned}}$
Les relations de récurrence :

${\begin{aligned}{\begin{cases}\mathbb {V} _{2}&=\mathbf {A} \,\mathbb {V} _{1}+\mathbb {S} _{2}\,{\dot {q}}_{2}\;.\\\mathbb {\dot {V}} _{2}&=\mathbf {A} \,\mathbb {\dot {V}} _{1}+\mathbb {S} _{2}\,{\ddot {q}}_{2}+\mathbb {V} _{2}\!\odot \mathbb {S} _{2}\,{\dot {q}}_{2}\;.\\\mathbb {F} _{1}&=\mathbf {A} ^{t}\,\mathbb {F} _{2}+\mathbf {J} \,\mathbb {\dot {V}} _{1}+\mathbb {V} _{1}\!\oplus \mathbf {J} _{1}\,\mathbb {V} _{1}\;.\\\tau _{1}&=\mathbb {S} _{1}^{t}\,\mathbb {F} _{1}\;.\\\end{cases}}\end{aligned}}$ 13 septembre 2013 à 21:09 (CEST)

Formulation numéro 2

Changement de bases

Soit 2 bases orthonormées dans l'espace euclidien ${\mathcal {E}}^{3}$:

• ${\mathcal {B}}=({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})$ = Ancienne base.
• ${\mathcal {B}}'=({\vec {e}}\,'_{1},{\vec {e}}\,'_{2},{\vec {e}}\,'_{3})$ = Nouvelle base.

La définition des composantes (ou coordonnées) revient à écrire :

${\vec {\mathbf {x} }}=\sum _{i=1}^{3}x_{i}{\vec {e}}_{i}=x_{1}{\vec {e}}_{1}+x_{2}{\vec {e}}_{2}+x_{3}{\vec {e}}_{3}=x'_{1}{\vec {e}}\,'_{1}+x'_{2}{\vec {e}}\,'_{2}+x'_{3}{\vec {e}}\,'_{3}$

Remarque : Les théories générales distinguent les composantes covariantes $x_{i}$ des composantes contravariantes $x^{i}$. Mais dans le cas des bases orthonormales des espaces euclidiens, cette distinction est inutile car $x_{i}=x^{i}$.

Dynamique du solide rigide

Équations de Newton-Euler exprimée au centre de gravité G.

${\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\mu }}_{\rm {G}}}\\{\mathbf {f} }\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}{\mathbf {I} }_{\rm {G}}&0\\0&m\,{{\boldsymbol {1}}_{33}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\\{{\dot {\mathbf {v} }}_{\rm {G}}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\wedge {\mathbf {I} }_{\rm {G}}\,{\boldsymbol {\omega }}\\m\,{\boldsymbol {\omega }}\wedge {\mathbf {v} _{\rm {G}}}\end{vmatrix}};$

Avec le torseur des efforts et le torseur des vitesses exprimés au centre de gravité G:

$\mathbb {F} _{\rm {G}}={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {\mu }}_{\rm {G}}}\\{\mathbf {f} }\end{vmatrix}},\quad \mathbb {V} _{\rm {G}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\\{\mathbf {v} _{\rm {G}}}\end{vmatrix}}.$

Les équations de Newton-Euler, au centre de gravité G, peuvent aussi s'écrire :

$\mathbb {F} _{\rm {G}}={\begin{vmatrix}{\mathbf {I} }_{\rm {G}}&0\\0&m\,{{\boldsymbol {1}}_{33}}\end{vmatrix}}{\dot {\mathbb {V} }}_{\rm {G}}+{\begin{vmatrix}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\end{bmatrix}}{\mathbf {I} }_{\rm {G}}\,{\boldsymbol {\omega }}\\m\,{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\end{bmatrix}}{\mathbf {v} _{\rm {G}}}\end{vmatrix}};$

${\begin{vmatrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}\end{vmatrix}}=\left({\begin{matrix}m{\boldsymbol {1}}&0\\0&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {G}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}{\boldsymbol {\omega }}\wedge m{{\boldsymbol {v}}_{\rm {G}}}\\{\boldsymbol {\omega }}\wedge {\mathbf {I} }_{\rm {G}}\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),$

Forme générale des équations de Newton-Euler

Les équations sont exprimées au point O, qui est une origine quelconque.

La position du centre de gravité G est caractérisée par ${\vec {\boldsymbol {\rho }}}={\vec {OG}}$

${\begin{vmatrix}{\boldsymbol {f}}\\{\boldsymbol {\mu }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}m{{\boldsymbol {\boldsymbol {1}}}_{33}}&-m[{\boldsymbol {\rho }}]\\m[{\boldsymbol {\rho }}]&{\mathbf {I} }_{\rm {G}}-m[{\boldsymbol {\rho }}][{\boldsymbol {\rho }}]\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{\rm {G}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}{m{\boldsymbol {\omega }}}\wedge \left({\boldsymbol {\omega }}\wedge {\boldsymbol {\rho }}\right)\\{\boldsymbol {\omega }}\wedge ({\mathbf {I} }_{\rm {G}}-m[{\boldsymbol {\rho }}][{\boldsymbol {\rho }}])\,{\boldsymbol {\omega }}\end{vmatrix}}$

Algorithmes par récurrence

1. RNEA = Recursive Newton Euler Algorithm
2. CRBA = Composite Rigid Body Algorithm
3. ABIM = Articulated Body Inertia Method

• Ecriture utilisant les sextuplets
  1. RNEA = Recursive Newton Euler Algorithm
  2. CRBA = Composite Rigid Body Algorithm
  3. ABIM = Articulated Body Inertia Method

Jean Reuss (discuter) 29 août 2013 à 21:41 (CEST)

Modèle cinématique ou différentiel

La modèlisation cinématique ou différentielle a pour objet les mouvements du robot, sans tenir compte, ni des inerties des corps constitutifs, ni des efforts des actionneurs. Les relations entre les positions dans l'espace de configuration étant reliées à celles dans l'espace opérationnel par la modélisation géométrique, il s'agit surtout d'établir les relations entre les vitesses dans ces deux espaces.

Modèle cinématique direct

La dérivation de la relation $\scriptstyle {\mathsf {X}}={\mathsf {F}}(\mathbf {q} ),$ introduit la matrice jacobienne :
$\mathbf {J} _{k\ell }(\mathbf {q} )={\frac {\partial F_{k}}{\partial q^{\ell }}},$ ce qui donne les relations : ${\dot {X}}_{k}=\mathbf {J} _{k\ell }{\dot {q}}^{\ell }\,;\quad \scriptstyle k=1,\cdots ,r=6\,;\quad \ell =1,\cdots ,N\,.$ avec la convention de sommation sur les indices répétés .
Pour calculer $\scriptstyle \mathbf {J} _{k\ell }(\mathbf {q} ),$ une méthode simple consiste à se reporter à la section suivante : « Modélisation dynamique/Algorithme RNEA = Recursive Newton Euler Algorithm ». En effet :

• On peut considérer que ${\dot {\mathsf {X}}}={}^{0}\mathbb {V} ={}^{0}{\begin{Vmatrix}{\boldsymbol {\omega }}\\\mathbf {v} \end{Vmatrix}}\,,$ c'est à dire le torseur des vitesses $\mathbb {V} \,$ de l'origine du repère courant, exprimé dans le repère R0 galiléen absolu, des variables opérationnelles .
• Par N montées cinématique avec ${\ddot {\mathbf {q} }}=0\,,\;{\dot {\mathbf {q} }}=0\,,\;{\dot {q}}^{\ell }=1\;$ ( successivement toutes les composantes de ${\dot {\mathbf {q} }}\,$ nulles, sauf une égale à 1), on obtient les N $\qquad {}^{\ell }\mathbb {V} _{\ell }({\dot {q}}^{\ell }=1)\,;\;(\mathbb {V} _{\ell }\equiv {}^{\ell }\mathbb {V} _{\ell })\,.$
• Finalement, les matrices de passage ${\mathcal {P}}_{0\ell }(\mathbf {q} )={\mathcal {P}}_{0}{\mathcal {P}}_{1}{\mathcal {P}}_{2},\cdots ,{\mathcal {P}}_{\ell -1}$ permettent d'exprimer les torseurs $\mathbb {V} _{(61)}\,,\,$ (Ce sont les composantes des vecteurs rotation et des vitesse linéaires), dans le repère absolu opérationnel R0 et l'on a :
  

${\text{colonne }}\ell \,\left(\mathbf {J} _{k\ell }\right)={}^{0}\mathbb {V} _{\ell }\,;\quad \scriptstyle k=1,\cdots ,r=6\,;\;\ell =1,\cdots ,N\;.$ .

De manière analogue il est possible de calculer la matrice (Nxr) $\scriptstyle \mathbf {J} _{\ell k}^{t}(\mathbf {q} )\;{\text{ par r descentes statiques avec }}\mathbf {\dot {q}} =0\,,\;\mathbf {\ddot {q}} =0\,,\;{\boldsymbol {\lambda }}=0,\cdots ,\lambda ^{r}=1,\cdots ,1\,.$ car les équations de Lagrange s'écrivent alors :
$0=\tau _{\ell }+{\mathfrak {J}}_{\ell k}^{t}(\mathbf {q} )\lambda ^{k}\;;\;\scriptstyle k=1\cdots r\,;\;\ell =1\cdots N\,$ .

Modèle cinématique inverse

Il s'agit principalement de calculer, pour une configuration $\scriptstyle \mathbf {q}$ donnée, les vitesses articulaires $\scriptstyle {\dot {\mathbf {q} }}$ lorsque les vitesses $\scriptstyle {\dot {\mathsf {X}}}$ dans l'espace cartésien opérationnel sont imposées (par exemple" par un cahier des charges). Mathématiquement, cela reviendrait à la résolution du systèmes de r équations linéaires, à N inconnues :

$\mathbf {J} _{k\ell }{\dot {\mathrm {q} }}^{\ell }={\dot {\mathsf {X}}}_{k}\,.$

Mais, généralement, d'autres impératifs doivent être pris en considération pour choisir des trajectoires en position et en vitesses, tels que :

• contournement d'obstacles.
• évitement des configurations singulières.
• augmentation de la manipulabilité.
• éloignement des butées articulaires.
• lissages des vitesses, répartition des efforts.

La cinématique inverse entre donc dans le cadre de nombreux problèmes concrets et nous mentionnons seulement ici une méthode générale provenant de la résolution des systèmes linéaires.

pseudo-inverse ou inverse de Moore-Penrose

• La matrice jacobienne $\mathbf {J} _{(r,N)}$ peut toujours être décomposée en valeurs singulières selon :
  

$\mathbf {J} =\mathbf {U} \,{\boldsymbol {\Sigma }}\,\mathbf {V} ^{t}\,.$

où $\mathbf {U}$ et $\mathbf {V}$ sont orthogonales, et ${\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{Vmatrix}{\hat {\Sigma }}_{s}&0\\0&0\end{Vmatrix}},\quad {\hat {\Sigma }}_{s}={diag}(\sigma _{1},\cdots ,\sigma _{s})\,.$
Les $\sigma _{i}$ étant les valeurs singulières non nulles de $\mathbf {J}$ telles que: $\sigma _{1}\geqslant \sigma _{2}\geqslant \cdots \geqslant \sigma _{s}>0.$

• La pseudo-inversede Moore-Penrose de $\;\mathbf {J} \;$ s'écrit :
  
  

$\mathbf {J} ^{+}=\mathbf {V} \,{\boldsymbol {\Sigma }}^{+}\,\mathbf {U} ^{t}\,;\;$avec : $\;{\boldsymbol {\Sigma }}^{+}={\begin{Vmatrix}{\hat {\Sigma }}_{s}^{-1}&0\\0&0\end{Vmatrix}},\quad {\hat {\Sigma }}_{s}={diag(1/\sigma _{1},\cdots ,1/\sigma _{s})}.$

• La solution, au sens des moindres carrés, du système linéaire : $\mathbf {J} {\dot {\mathbf {q} }}={\dot {\mathsf {X}}}_{connu}\;$ s’écrit :
  

${\dot {\mathbf {q} }}=\mathbf {J} ^{+}{\dot {\mathsf {X}}}_{connu}+\left({\boldsymbol {1}}_{(N,N)}-\mathbf {J} ^{+}\mathbf {J} \right){\mathfrak {q}}\,.$

Où ${\mathfrak {q}}_{(N,1)}\;$ est un vecteur quelconque de l'espace de configuration.

• Algorithme de Greville

Parmi les multiples méthodes de calcul de la pseudo-inverse d’une matrice, l’algorithme de Greville est souvent cité pour sa simplicité d'implantation, mais ne il ne serait pas rapide.

Compléments pour les corps déformables

Jean Reuss (discuter) 19 septembre 2013 à 23:54 (CEST)

Aides diverses pour la syntaxe

Bon à retenir

Références externes XXX YYY

texte visible = AAA BBB A = lien cliquable B = commentaire

Modèle différentiel direct

Relation entre les vitesses opérationnelle X' et les vitesses articulaires q' Les vitesses $\scriptstyle {\dot {\mathbf {X} }}$ dans l'espace cartésien (espace opérationnel) en fonction des vitesses articulaires $\scriptstyle {\dot {\mathbf {q} }}$
– A partir de X'= J q'

Modèle différentiel inverse

pseudo-inverse ou inverse de Moore-Penrose

Soit la décomposition en valeurs singulières de la matrice $\mathbf {A} _{(m,p)}$(m,p) qui s'écrit :
$\mathbf {A} =\mathbf {U} \,{\boldsymbol {\Sigma }}\,\mathbf {V} ^{t}$

où $\mathbf {U}$ et $\mathbf {V}$ sont orthogonales :

${\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{Vmatrix}{\hat {\Sigma }}_{r}&0\\0&0\end{Vmatrix}},\quad {\hat {\Sigma }}_{r}={diag}(\sigma _{1},\cdots ,\sigma _{r}),$

Les $\sigma _{i}$ étant les valeurs singulières non nulles de $\mathbf {A}$ telles que: $\sigma _{1}\geqslant \sigma _{2}\geqslant \cdots \geqslant \sigma _{r}>0.$

Alors,d’après les propriétés précédentes, on aura :

$\mathbf {A} ^{+}=\mathbf {V} \,{\boldsymbol {\Sigma }}^{+}\,\mathbf {U} ^{t}$
avec : ${\boldsymbol {\Sigma }}^{+}={\begin{Vmatrix}{\hat {\Sigma }}_{r}^{-1}&0\\0&0\end{Vmatrix}},\quad {\hat {\Sigma }}_{r}={diag(\sigma _{1},\cdots ,\sigma _{r})}.$

La solution au sens des moindres carrés du système linéaire :
${\mathfrak {Y}}=\mathbf {A} {\mathfrak {X}},$
s’écrit :
${\tilde {\mathfrak {X}}}=\mathbf {A} ^{+}{\mathfrak {Y}}+\left({\boldsymbol {1}}-\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A} \right){\mathfrak {z}},$
où ${\mathfrak {z}}$ est un vecteur quelconque et $\mathbf {A} ^{+}$ la pseudo-inverse de $\mathbf {A}$.

Algorithme de Greville-Albert-Sittler

Une méthode efficace de calcul itératif de la pseudo-inverse d’une matrice est donné par l’algorithme de Greville (ou sous une forme équivalente par l’algorithme d’Albert et Sittler) qui ne demande pas de traitement préalable de la matrice.

Lagrange $\;\dagger \,1813$

${\frac {\rm {d}}{\rm {dt}}}\left({\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathfrak {L}}}{\partial {q}_{i}}}=Q_{i}\;$
${\mathfrak {L}}=T-{V}\;$
${\frac {\rm {d}}{\rm {dt}}}\left({\frac {\partial {T}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {T}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {V}}{\partial q_{i}}}=Q_{i}\;$

Tests TeX

Relation entre les vitesses opérationnelle X' et les vitesses articulaires q' Les vitesses $\scriptstyle {\dot {\mathbf {X} }}$ dans l'espace cartésien (espace opérationnel) en fonction des vitesses articulaires

1. $\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\dot {\ell }}{\dot {q}}_{m\ell }\scriptstyle {\text{pas de nom de police}}$

${\begin{aligned}\mathbf {ABCDJKLMNOPQRUVWXYZ} +{ABCDJ}=&{z}\quad \scriptstyle {\text{ bold}}\\\mathbf {abcdjklmnopqruvwxyz} +{abcxyz}=&{z}\quad \scriptstyle {\text{ bold}}\\{\boldsymbol {ABCDJKLMNOPQRUVWXYZ}}+{ABCDJ}=&{V}\quad \scriptstyle {\text{ boldsymbol}}\\{\boldsymbol {abcdjklmnopqruvwxyz}}+{abcxyz}=&{y}\quad \scriptstyle {\text{ boldsymbol}}\\\xi =\mathbf {\xi } =&{\boldsymbol {\omega }}\scriptstyle {\text{ boldsymbol}}\\\end{aligned}}$

1. $({\dot {\mathbf {F} }}_{j\ell }\;{\dot {\boldsymbol {F}}}_{j\ell })\;$
2. ${\dot {\mathbf {W} }}_{j\ell }\;{\dot {\mathbf {J} }}_{\ell }=\mathbf {F} {\ell }\equiv ({\dot {\mathbf {U} }}_{j\ell }\;{\dot {\boldsymbol {J}}}_{\ell }{\boldsymbol {F}}{\ell }){\dot {\mathbf {J} }}_{j\ell }\;{\dot {\boldsymbol {J}}}_{j\ell }\;$
3. $\,!\,!\,!\,!\,!\,!=,\;!\;!\;!\;!\;!\;!=;\to x\ ya\,b\;a\,ba\!b\;a\!b\;a\!b\to \scriptstyle {\text{ab ab}}$
4. ${\frac {\mathbf {d} }{\mathbf {dt} }}\!\left(\!{\frac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial {\boldsymbol {\dot {q}}}^{i}}}\!\right)-{\frac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial {\boldsymbol {q}}^{i}}}={\mathcal {Q}}_{i}\;.$
5. ${d}+{\boldsymbol {dt}}=\partial {t}=\partial {\boldsymbol {t}}=\quad {italique}\quad \mathbf {d} ={\rm {{d}=\quad {droit}}}$
   
6. $\imath =i*\jmath =j*\ell =l=$
   
7. $\mathrm {d} \cdot {\boldsymbol {d}}\bullet \cdots \cdots \centerdot \qquad {dt}+\mathbf {dt} \cdot {\boldsymbol {dt}}\qquad \sum _{k=1}^{n}\partial {T}+\partial {t}\partial {\boldsymbol {t}}\partial \mathrm {t} \int _{-n}^{n}\partial {t}\partial {\rm {t}}$
8. ${\dot {\mathbb {K} }}_{k\ell },\;{\dot {\mathfrak {F}}}_{k\ell };\;{\dot {\mathbf {K} }}_{p\ell }:\;{\dot {\mathrm {J} }}_{k\ell }.\;{\dot {\mathsf {K}}}_{k\ell }!\;{\dot {\mathcal {F}}}_{k\ell }\;$ bb, frak; bf: rm. sf! cal/
   

• q J(q) J(q) J(q)
• A partir de X'= J q'

Formulation analytique ou lagrangienne

Principe

Soit un système mécanique décrit par les $\scriptstyle {N}$ variables de configuration ${{q}^{i}}\scriptstyle {\,;\,{i=1},\cdots ,{N}}.$
Le lagrangien est défini par la différence entre l'énergie cinétique $T$ et l'énergie potentielle $V$ :

${\mathcal {L}}=T-V\,,$

et les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent :

${\frac {\mathrm {d} ~}{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\ -\ {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\ =\ 0\,.$

Dans le cas d'un système mécanique articulé composé de $\scriptstyle {\hat {N}}$ corps, les énergies cinétique et potentielle ont les allures suivantes :

• $T({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}})=\sum _{i=1}^{\hat {N}}{\frac {1}{2}}\left[m_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}\!\bullet \!{\boldsymbol {v}}_{i}+{\boldsymbol {\omega }}_{i}\!\bullet \!({\mathcal {I}}_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i})\right]\,.$

• $V({\boldsymbol {q}})=\sum _{i=1}^{\hat {N}}-m_{i}{\boldsymbol {g}}\!\bullet \!{\boldsymbol {r}}_{i}\,.$

Dans lesquelles ${\boldsymbol {v}}_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}),{\boldsymbol {\omega }}_{i}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}),{\boldsymbol {r}}_{i}({\boldsymbol {q}}),\cdots \;$ sont les composantes, dans le repère absolu, des grandeurs vectorielles attachées au centre de gravité du corps de numéro dénominatif $i,\;\bullet$ est le produit scalaire. (Voir les sections ci-dessus pour les autres notations).

Equations sans contrainte

Finalement, avec les notations suivantes :
${\mathfrak {M}}\left({\boldsymbol {q}}\right)$ : Matrice d'inertie [N·N], qui est symétrique définie positive.
${\mathfrak {C}}\left({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}\right)$ : Vecteur [N·1] des forces centrifuges et de Coriolis. Avec ${\mathfrak {C}}\left({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}=0\right)=0\,.$
$g$ : intensité de la pesanteur, scalaire [1·1].
$g\cdot {\mathcal {V}}_{i}({\boldsymbol {q}})={\frac {\partial V}{\partial q^{i}}}$ : Vecteur [N·1] des termes gravitationnels.
$\tau _{i}$ : Effort (couple ou force) exercé par l'actionneur de l'articulation ${i}$ .

Les termes des équations de Lagrange peuvent être regroupés sous forme matricielle :

${\mathfrak {M}}{\boldsymbol {\ddot {q}}}+{\mathfrak {C}}+g{\mathcal {V}}={\boldsymbol {\tau }}\,.$

Soit, en détaillant les éléments de matrices, N équations scalaire qui s'écrivent :

$\sum _{j=1}^{N}{{\mathfrak {M}}_{ij}\!\left({\boldsymbol {q}}\right)\cdot {\ddot {q}}^{j}}\,+\,{\mathfrak {C}}_{i}\!\left({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {\dot {q}}}\right)+g\cdot {\mathcal {V}}_{i}\!\left({\boldsymbol {q}}\right)=\tau _{i}\,.$