Énergie cinétique

Énergie cinétique

L'énergie cinétique du boulet est utilisée pour détruire un édifice.

En physique, l'énergie cinétique est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement dans un référentiel donné. L'énergie cinétique n'est pas un invariant galiléen, c'est-à-dire que sa valeur dépend du référentiel choisi. Son unité est le joule.

L'énergie cinétique d'un point matériel dans un référentiel galiléen est égale au travaux des forces appliquées pour faire passer le point du repos à un mouvement.

Les wagons des montagnes russes possèdent une énergie cinétique maximale en bas de leur parcours. Lorsqu'ils commencent à monter, l'énergie cinétique est convertie en énergie potentielle.

Histoire

L'énergie cinétique provient du grec ἐνέργεια / enérgeia, qui signifie « force en action » et κίνησις / kínêsis, qui signifie « mouvement ».

Gottfried Leibniz, s'opposant ainsi à Descartes qui estimait que la quantité de mouvement se conservait toujours, développa l'idée de la « force vive » (vis viva), à laquelle il attribuait la valeur $mv^{2}$. La force vive est donc le double de l'énergie cinétique.

« Il y a longtemps déjà que j’ai corrigé la doctrine de la conservation de la quantité de mouvement, et que j’ai posé à sa place quelque chose d’absolu, justement la chose qu’il faut, la force (vive) absolue… On peut prouver, par raison et par expérience, que c’est la force vive qui se conserve… »

Définition

Pour un point

L'énergie cinétique $\mathrm {E} _{c}$ d'un point matériel de masse inerte $m$ se déplaçant à une vitesse $v$ dans un référentiel donné vaut :

$\mathrm {E} _{c}={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}mv^{2}\$ avec $\ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Le coefficient $\gamma$ est le facteur de Lorentz, $c$ est la vitesse de la lumière.

Dans les cas non relativistes, c'est-à-dire lorsque la vitesse du point est négligeable devant la vitesse de la lumière, l'énergie cinétique $\mathrm {E} _{c}$ peut être approchée par :

$\mathrm {E} _{c}\approx {\frac {1}{2}}\ mv^{2}$

Pour un solide

On peut assimiler un corps à un système de points matériels $M_{i}$ de masses $m_{i}$ et de vitesses $v_{i}$. En notant $M$ la masse totale du corps, on a $M=\sum _{i}m_{i}$.

Conformément à l'extensivité de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique $\mathrm {E} _{c}$ du système de points peut être définie comme la somme des énergies cinétiques des points matériels constituant le système :

$\mathrm {E} _{c}=\sum _{i}\mathrm {E} _{{c},i}=\sum _{i}{\frac {\gamma _{i}^{2}}{\gamma _{i}+1}}m_{i}v_{i}^{2}\approx {\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}$

Cette expression est générale et ne préjuge pas de la nature du système, déformable ou pas. En passant à la limite des milieux continus et en intégrant sur le volume, on obtient :

$\mathrm {E} _{c}={\frac {1}{2}}\iiint \rho v^{2}\mathrm {d} \tau$

avec :

• $\rho$ la masse volumique locale ;
• $v$ la vitesse locale ;
• $\mathrm {d} \tau$ le volume élémentaire.

Mise en évidence

Dans le domaine de validité de la mécanique newtonienne, la notion d'énergie cinétique peut être mise en évidence pour un point matériel de masse $m$ constante.

La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :

$m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=\sum {\vec {F}}$

avec $\sum {\vec {F}}$ la résultante des forces appliquées au point matériel. Elle comprend les forces d'inertie dans le cas d'un référentiel non galiléen.

En effectuant le produit scalaire par la vitesse ${\vec {v}}$ du point, il vient :

$m\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\right)\cdot {\vec {v}}=\left(\sum {\vec {F}}\right)\cdot {\vec {v}}$

or :

$\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\right)\cdot {\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}v^{2}\right)$

il vient ainsi :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)=\sum \left({\vec {F}}\cdot {\vec {v}}\right)$

On reconnait dans le membre de gauche la quantité $\mathrm {E} _{c}\equiv {\frac {1}{2}}mv^{2}$ qu'on nomme énergie cinétique du point matériel, et dont la dérivée par rapport au temps est égale à la somme des puissances ${\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$ des forces appliquées au point.

On peut obtenir une expression plus générale en remarquant que $\int \mathrm {d} \left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)=\int m{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}$, puisque $\mathrm {d} (v^{2})=2{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}$. En introduisant la variation infinitésimale de la quantité de mouvement du corps $\mathrm {d} {\vec {p}}\equiv m\mathrm {d} {\vec {v}}$, on obtient :

$\Delta E_{\mathrm {c} }=\int {\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}$

où $\Delta E_{\mathrm {c} }$ désigne la variation d'énergie cinétique.

Dans le domaine de validité de la mécanique relativiste, la masse d'un objet n'est pas invariant de sa vitesse, et en intégrant on obtient finalement :

$\Delta E_{\mathrm {c} }=\int {\vec {v}}\cdot \mathrm {d} (m_{\gamma }{\vec {v}})={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}mv^{2}$

Théorème de König

Il est possible de réécrire l'énergie cinétique sous la somme de deux termes possédant chacun une interpétation physique.

Énoncé

Ce théorème se démontre en faisant intervenir le référentiel barycentrique (R^*) lié au centre d'inertie G du système, et en mouvement de translation par rapport au référentiel d'étude (R). Il s'écrit :

$E_{\mathrm {c} }={\frac {1}{2}}Mv_{G}^{2}+E_{\mathrm {c} }^{*}$

L'énergie cinétique d'un système est alors la somme de deux termes : l'énergie cinétique du centre de masse de (S) affectée de sa masse totale M, ${\frac {1}{2}}Mv_{G}^{2}$, et l'énergie cinétique propre du système dans (R^*), $E_{\mathrm {c} }^{*}\equiv {\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{*2}$.

Application à un solide

Un solide est un système de points tels que les distances entre deux points quelconques de (S) sont constantes. Il s'agit d'une idéalisation d'un solide réel, considéré comme absolument rigide.

Cas général : axe instantané de rotation

Dans ce cas, le mouvement du solide peut être décomposé en un mouvement de son centre de masse G dans (R) et un mouvement de rotation autour d'un axe instantané (Δ) dans le référentiel barycentrique (R^*).

Plus précisément, pour un solide on peut écrire le champ des vitesses dans le référentiel barycentrique (R^*) sous la forme ${\vec {v_{i}^{*}}}={\vec {\omega }}\wedge {\vec {GM_{i}}}$, ${\vec {\omega }}$ étant le vecteur rotation instantané du solide dans (R^*) [ou (R), puisque les deux référentiels sont en translation]. Son énergie cinétique propre $E_{k}^{*}$ s'exprime alors :

$E_{\mathrm {k} }^{*}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{\vec {v_{i}^{*}}}\cdot \left({\vec {\omega }}\wedge {\vec {GM_{i}}}\right)={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot \left(\sum _{i}{\vec {GM_{i}}}\wedge m_{i}{\vec {v_{i}^{*}}}\right)={\frac {1}{2}}{\vec {L_{G}}}\cdot {\vec {\omega }}$,

puisque ${\vec {L_{G}}}={\vec {L^{*}}}=\sum _{i}{\vec {GM_{i}}}\wedge m_{i}{\vec {v_{i}^{*}}}$, moment cinétique du solide par rapport à G, égal au moment cinétique propre ${\vec {L^{*}}}$ (voir théorèmes de König).

D'après le théorème de König, l’énergie cinétique totale d’un solide s'écrit donc ainsi :

$E_{\mathrm {k} }={\frac {1}{2}}Mv_{G}^{2}+{\frac {1}{2}}{\vec {L_{G}}}\cdot {\vec {\omega }}$

que l'on peut considérer comme la somme d’une énergie cinétique « de translation » et d’une énergie cinétique de rotation $E_{\mathrm {r} }\equiv {\frac {1}{2}}{\vec {L_{G}}}\cdot {\vec {\omega }}$, aussi appelée énergie cinétique angulaire.

Cas de la rotation autour d'un axe fixe

Si, de surcroît, il y a rotation autour d'un axe (Δ) fixe dans (R), le moment cinétique par rapport à G du solide s'écrit ${\vec {L_{G}}}=I_{\Delta }{\vec {\omega }}$, où $I_{\Delta }$ est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation (Δ). Son énergie cinétique de rotation se mettra ainsi sous la forme :

$E_{r}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}I_{\Delta }\cdot \omega ^{2}$.

En mécanique relativiste

Dans la théorie de la relativité d’Einstein (utilisée principalement pour les vitesses proches de la vitesse de la lumière, mais valable pour toutes vitesses), l’énergie cinétique est :

$E_{\mathrm {c} }=(\gamma -1)mc^{2}=\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)mc^{2}$

où :

• E_c est l’énergie cinétique du corps (dans le référentiel considéré) ;
• v la vitesse du corps (dans le référentiel considéré) ;
• m sa masse au repos (dans son référentiel) ;
• c la vitesse de la lumière dans le vide (dans tout référentiel inertiel) ;
• γmc² l’énergie totale du corps (dans le référentiel considéré) ;
• mc² l’énergie au repos (90 pétajoules par kilogramme) ;
• $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ le facteur de Lorentz.

La théorie de la relativité affirme que l’énergie cinétique d’un objet (ayant une masse « au repos» non nulle) tend vers l’infini quand sa vitesse s’approche de la vitesse de la lumière et que, par conséquent, il est impossible d’accélérer un objet jusqu’à cette vitesse.

Pour une vitesse $v$ petite devant $c$ ($v\ll c$), le développement limité de l’énergie cinétique relativiste est :

$E_{\mathrm {c} }\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {mv^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {mv^{6}}{c^{4}}}+\dots$

On retrouve ainsi au premier ordre l'énergie cinétique classique. Par exemple, pour un objet d'un kilogramme allant à la vitesse de 10 km/s, la différence entre énergie cinétique relativiste et énergie cinétique newtonienne est d'environ 0,04 J pour une énergie cinétique newtonienne de 50 MJ, soit un écart relatif de 0,8 milliardième. Cette différence est de 400 J sur 5 GJ à 100 km/s, soit un écart relatif de 80 milliardièmes.

Quand la gravité est faible et que l’objet se déplace à des vitesses très inférieures à la vitesse de la lumière (c’est le cas de la plupart des phénomènes observés sur Terre), la formule de la mécanique newtonienne est une excellente approximation de l’énergie cinétique relativiste.

À partir de l'équation de la conservation de l'énergie connue comme :

$\gamma mc^{2}=mc^{2}+E_{\mathrm {c} }$

Et à partir de l'équation de la relativité restreinte, avec p la quantité de mouvement :

$\gamma ^{2}m^{2}c^{4}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}$

Il est possible de montrer que :

$E_{\mathrm {c} }={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}mv^{2}$

On peut vérifier la validité de cette écriture en l'égalisant avec la formule d'Einstein pour l'énergie cinétique :

${\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}mv^{2}=(\gamma -1)mc^{2}$

Ce qui permet de retrouver la définition du facteur de Lorentz :

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Expression de la vitesse fonction de la masse et de l' énergie cinétique

$E_{\mathrm {c} }=(\gamma -1)mc^{2}$ d'où ${\frac {1}{\gamma }}={\frac {mc^{2}}{(E_{c}+mc^{2})}}$

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ et ${\frac {v^{2}}{c^{2}}}=1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}=1-{\frac {m^{2}c^{4}}{(E_{c}+mc^{2})^{2}}}$

On note $e={\frac {mc^{2}}{E_{c}}}$ d'où ${\frac {v^{2}}{c^{2}}}=1-{\frac {e^{2}}{(1+e)^{2}}}$ et $v^{2}=c^{2}{\frac {(1+2e)}{(1+e)^{2}}}$

Finalement:

$v=c{\frac {\sqrt {1+2e}}{1+e}}$ , avec  : $e={\frac {mc^{2}}{E_{c}}}$ , expression qui reste assez simple

Aux faibles valeurs de$E_{c}$,(donc $e$ grand devant 1), il vient $v^{2}=c^{2}{\frac {2}{e}}={\frac {2E_{c}}{m}}$, on retrouve bien: $E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

Théorèmes de l’énergie cinétique

Ces théorèmes, valables uniquement dans le cadre de la mécanique classique, permettent de lier l’énergie cinétique d’un système au travaux des forces auxquelles celui-ci est soumis.

Pour un point

Dans un référentiel galiléen, pour un point matériel $M$ de masse constante parcourant un chemin $\Gamma$ entre un point $A$ et un point $B$ :

La variation d’énergie cinétique de $M$ entre $A$ et $B$ est égale à la somme des travaux $W_{\Gamma }$ des forces qui s'exercent sur le point $M$ le long du chemin $\Gamma$ :

${\underset {A\rightarrow B}{\Delta }}\ \mathrm {E} _{c}=\mathrm {E} _{c}^{B}-\mathrm {E} _{c}^{A}=\sum {W_{\Gamma }}$

avec $\mathrm {E} _{c}^{A}$ et $\mathrm {E} _{c}^{B}$ les énergies cinétiques du point $M$ respectivement aux positions $A$ et $B$. Le résultat ne dépend pas du chemin $\Gamma$ suivi entre $A$ et $B$, ce qui découle du caractère exact de la différentielle de l'énergie cinétique. Le terme des travaux prends en compte à la fois les forces conservatives et les forces non conservatives. Pour un point matériel, toute les forces sont intérieures.

On est déduit le théorème de la puissance cinétique :

$P={\frac {\mathrm {dE} _{c}}{\mathrm {d} t}}$

Pour un solide

Dans un référentiel galiléen, pour un solide $S$ déformable de masse constante parcourant un chemin $\Gamma$ reliant un point $A$ à un point $B$ :

La variation d’énergie cinétique de $S$ est égale à la somme des travaux des forces intérieures $W_{\Gamma }^{int}$ et extérieures $W_{\Gamma }^{ext}$ qui s'exercent sur et dans le solide le long de $\Gamma$ :

${\underset {A\rightarrow B}{\Delta }}\ \mathrm {E} _{c}=\mathrm {E} _{c}^{B}-\mathrm {E} _{c}^{A}=\sum {W_{\Gamma }^{ext}+W_{\Gamma }^{int}}$

avec $\mathrm {E} _{c}^{A}$ et $\mathrm {E} _{c}^{B}$ les énergies cinétiques du solide $S$ respectivement aux positions $A$ et $B$. Le résultat ne dépend pas du chemin $\Gamma$ suivi entre $A$ et $B$, ce qui découle du caractère exact de la différentielle de l'énergie cinétique. Le terme des travaux prends en compte à la fois les forces conservatives et les forces non conservatives.

On est déduit le théorème de la puissance cinétique pour un solide déformable :

$P_{ext}+P_{int}={\frac {\mathrm {dE} _{c}}{\mathrm {d} t}}$

Démonstration

D’après la deuxième loi de Newton, l’accélération du centre de gravité est liée aux forces qui s’exercent sur le point par la relation :

$m\,{\vec {a}}={\vec {F}}$

Pendant une durée $\mathrm {d} t$, le point se déplace de $\mathrm {d} {\vec {u}}={\vec {v}}\,\mathrm {d} t$ où ${\vec {v}}$ est la vitesse du solide. On en déduit le travail élémentaire des forces :

$\delta W={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {u}}=m\,{\vec {a}}\cdot \mathrm {d} {\vec {u}}=m\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\cdot {\vec {v}}\,\mathrm {d} t=m\,{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}$

Si le point parcourt un chemin $\Gamma$ d’un point $A$ à un point $B$, alors le travail total s’obtient en intégrant le long du chemin :

$W=\int _{\Gamma }{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {u}}=\int _{\Gamma }m{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}$

La quantité ${\vec {v}}\cdot {\vec {dv}}$ étant une différentielle exacte, l’intégrale ne dépend pas du chemin $\Gamma$ suivi entre $A$ et $B$ et peut donc être obtenue explicitement :

$W=m\,\int _{v_{A}}^{v_{B}}{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}=m\,\left(\int _{v_{xA}}^{v_{xB}}v_{x}\,\mathrm {d} v_{x}+\int _{v_{yA}}^{v_{yB}}v_{y}\,\mathrm {d} v_{y}+\int _{v_{zA}}^{v_{zB}}v_{z}\,\mathrm {d} v_{z}\right)=m\,\left(\left[{\frac {v_{x}^{2}}{2}}\right]_{v_{xA}}^{v_{xB}}+\left[{\frac {v_{y}^{2}}{2}}\right]_{v_{yA}}^{v_{yB}}+\left[{\frac {v_{z}^{2}}{2}}\right]_{v_{zA}}^{v_{zB}}\right)$ $W=m\,\left({\frac {v_{xB}^{2}-v_{xA}^{2}}{2}}+{\frac {v_{yB}^{2}-v_{yA}^{2}}{2}}+{\frac {v_{zB}^{2}-v_{zA}^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}m\,\left[\left(v_{xB}^{2}+v_{yB}^{2}+v_{zB}^{2}\right)-\left(v_{xA}^{2}+v_{yA}^{2}+v_{zA}^{2}\right)\right]$ $W={\frac {1}{2}}m\,\left(\left\|{\vec {v_{B}}}\right\|^{2}-\left\|{\vec {v_{A}}}\right\|^{2}\right)={\frac {1}{2}}m\,\left(v_{B}^{2}-v_{A}^{2}\right)={\frac {1}{2}}m\,v_{B}^{2}-{\frac {1}{2}}m\,v_{A}^{2}=\mathrm {E} _{c_{B}}-\mathrm {E} _{c_{A}}$

L’énergie thermique en tant qu’énergie cinétique

L’énergie thermique est une forme d’énergie due à l’énergie cinétique totale des molécules et des atomes qui forment la matière. La relation entre la chaleur, la température et l’énergie cinétique des atomes et des molécules est l’objet de la mécanique statistique et de la thermodynamique.

De nature quantique, l’énergie thermique se transforme en énergie électromagnétique par rayonnement. Ce rayonnement thermique peut être approché sous certaines conditions par le modèle du rayonnement dit du « corps noir ».

La chaleur, qui représente un échange d’énergie thermique, est aussi analogue à un travail dans le sens où elle représente une variation de l’énergie interne du système. L’énergie représentée par la chaleur fait directement référence à l’énergie associée à l’agitation moléculaire. La conservation de la chaleur et de l’énergie mécanique est l’objet du premier principe de la thermodynamique.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

• Théorie cinétique des gaz
• Énergie potentielle
• Énergie mécanique

Liens externes

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