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Les angles d'Euler sont un ensemble de trois angles introduits par Leonhard Euler (1707-1783) pour décrire l'orientation d'un solide ou celle d'un référentiel par rapport à un trièdre cartésien de référence[1]. Les trois angles sont dits angle de précession, de nutation et de rotation propre[2],[1].

Le mouvement d'un solide par rapport à un référentiel (un avion dans l'air, un sous-marin dans l'eau, des skis sur une pente...) fait intervenir six paramètres, qui sont, par exemple, les trois coordonnées décrivant la position de son centre de masse (ou d'un point quelconque du solide) et trois angles, nommés les angles d'Euler, cf. les schémas ci-dessous.

Les angles d'Euler peuvent aussi servir à représenter l'orientation d'un solide par rapport à un repère (appelé aussi attitude en astronautique) ; on peut les voir comme une généralisation des coordonnées sphériques.

NotationModifier

Les trois angles d'Euler sont couramment notés ψ, θ et φ, ou bien α, β et γ.

Les rotations d'EulerModifier

Ce sont les trois rotations obtenues en changeant un des trois angles d'Euler et en gardant les deux autres constants. Ces trois rotations sont la précession, la nutation et la rotation propre. On passe du référentiel fixe (O,x,y,z) au référentiel lié au solide (O,x',y’,z’) par trois rotations successives.

  • La précession  , autour de l'axe Oz, fait passer de (O,x,y,z) au référentiel (O,u,v,z) (en bleu).
  • La nutation  , autour de l'axe Ou (ligne des nœuds), fait passer de (O,u,v,z) à (O,u,w,z’) (en vert).
  • La rotation propre  , ou giration, autour de l'axe Oz’, fait passer de (O,u,w,z’) au référentiel lié au solide (O,x’,y’,z’) (en rouge).

NB. L'axe Ou est porté par l'intersection des plans Oxy et Ox'y'

On peut également passer du référentiel fixe Oxyz au référentiel lié au solide Ox’y’z’ par les trois rotations successives suivantes, ayant toutes leurs axes fixes dans le référentiel initial :

  • Une rotation d'angle   d'axe Oz,
  • Une rotation d'angle   d'axe Ox,
  • Une rotation d'angle   d'axe Oz

Les coordonnées   d'un point dans le référentiel mobile   sont reliées aux coordonnées   de ce même point dans le référentiel fixe   par la relation suivante[3] :

  avec la matrice de passage  

Mécanique du solideModifier

On s'intéresse seulement ici à la description du mouvement du solide en rotation quelconque autour du point O, qui peut être un point fixe du solide dans le référentiel de référence Oxyz ou le centre de masse. Les angles d'Euler sont choisis de façon à permettre une mémorisation simple de la construction du vecteur rotation instantané du solide, nécessaire à l'étude de la cinématique du solide. Le vecteur rotation instantané du solide est en effet donné par la simple somme :

 ,

où les vecteurs apparaissant dans le membre de droite sont les vecteurs unitaires des axes correspondants. On remarquera que l'expression simple précédente utilise une base non orthogonale.

L'utilisation des angles d'Euler est très générale en mécanique et en astronomie, par exemple pour décrire le mouvement du gyroscope.

Orientation cristallineModifier

 
Figures de pôles représentant la texture cristalline d'un alliage gamma-TiAl[4].

En science des matériaux, les angles d'Euler sont utilisés pour décrire l'orientation cristalline (orientation d'un cristallite par rapport aux axes de l'échantillon), notamment dans le domaine de la texture (orientation préférentielle). Les angles sont alors en général[5] notés (φ1,Φ, φ2) avec :

  • φ1 = ψ
  • Φ = θ
  • φ2 = φ

On utilise parfois une autre variante dans laquelle la seconde rotation (nutation) se fait selon l'axe Ov au lieu de Ou ; les angles sont alors notés (Ψ, Θ, Φ) sans que cela ait un rapport avec les notations des mécaniciens, ce qui n'est pas sans risque de confusion.

 

Notes et référencesModifier

  1. a et b Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. angles d'Euler, p. 30.
  2. Pérez 2014, p. xxi et 275.
  3. Les angles d'Euler, dans Physique et simulations numériques, J.-J. Rousseau, Faculté des Sciences exactes et naturelles, Université du Maine
  4. Liss KD, Bartels A, Schreyer A, Clemens H, « High energy X-rays: A tool for advanced bulk investigations in materials science and physics », Textures Microstruct., vol. 35, nos 3/4,‎ , p. 219–52 (DOI 10.1080/07303300310001634952)
  5. il s'agit de la notation adoptée par Bunge dans son ouvrage Texture analysis in materials science, une référence dans le domaine

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier