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Matrice de passage

Matrice permettant de passer d'une base d'un espace vectoriel de dimension finie à une autre base

DéfinitionModifier

Soient K un corps commutatif, E un K-espace vectoriel de dimension finie n, et B, B' deux bases de E.

La matrice de passage de B à B', notée  , est la matrice représentative de l'application identité IdE, de E muni de la base B' dans E muni de la base B :

  •  [1].

Autrement dit :

  • si un même vecteur de E a pour coordonnées les matrices colonnes X dans B et X' dans B', alors  [1]

ou, ce qui est équivalent :

  •   est égal à  , c.-à-d. que ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs de B', exprimés dans la base B[1].

Pour des raisons mnémotechniques, on qualifie B' de nouvelle base, B d'ancienne base. On observera que dans les deux premières descriptions données, les bases interviennent dans l'ordre opposé à celui de la terminologie. La troisième peut être détaillée ainsi : si   et    pour  , alors

 .

Changement de coordonnées pour un vecteurModifier

Comme déjà mentionné, si un vecteur de E a pour coordonnées X et X' dans deux bases B et B', alors  .

ExemplesModifier

Considérons l'espace euclidien3 muni de sa base canonique B(e1, e2, e3), « ancienne base », orthonormée directe.

 
Homothétie d'un facteur k.
Homothétie

La nouvelle base B'(e'1, e'2, e'3) est obtenue par une homothétie de facteur k. On a ainsi :

e'1 = k e1 ;
e'2 = k e2 ;
e'3 = k e3.

La matrice de passage s'écrit

 

Soit un vecteur x de composantes (X1, X2, X3) dans B et (X'1, X'2, X'3) dans B'. On a :

 
 
Rotation d'un angle α autour de e3.
Rotation de la base

La nouvelle base B'(e'1, e'2, e'3) est obtenue par rotation d'un angle α autour de l'axe e3. On a ainsi :

e'1 = cos(α) e1 + sin(α) e2 ;
e'2 = –sin(α) e1 + cos(α) e2 ;
e'3 = e3.

La matrice de passage s'écrit

 

Soit un vecteur x de composantes (X1, X2, X3) dans B et (X'1, X'2, X'3) dans B'. On a :

 

InverseModifier

Soient B et B' deux bases de E. Alors   est inversible et

 .

En effet, d'après la règle de calcul de la matrice d'une composée :

 .

ExemplesModifier

Reprenons les exemples ci-dessus.

Homothétie

La matrice inverse s'obtient simplement en remplaçant k par 1/k, soit :

 

et donc

 .
Rotation

La matrice inverse s'obtient simplement en remplaçant α par –α, soit :

 

(on remarque que c'est la transposée, PB'B = tPBB') et donc

 .

Changement de matrice pour une application linéaireModifier

Soient   deux bases de E et   deux bases de F,   une application linéaire, de matrices A dans les bases   et B dans les bases  , alors

 

P est la matrice de passage de   à   et
Q est la matrice de passage de   à  .

En effet,  .

Les matrices A et B sont alors dites équivalentes.

Dans le cas particulier d'un endomorphisme (i.e. F = E), si l'on choisit   et   (donc Q = P), les matrices A et B sont dites semblables.

Changement de matrice pour une forme bilinéaireModifier

Cas usuelModifier

Soient   deux bases de E, P la matrice de passage de   à  , et φ une forme bilinéaire sur E, de matrices A dans   et B dans  . Alors[2]

 ,

tP désigne la matrice transposée de P.

Les matrices A et B sont alors dites congruentes.

VariantesModifier

Il arrive que l'on considère une forme bilinéaire φ définie non pas sur E×E mais sur E×F où F est un espace vectoriel non nécessairement égal à E. Si   sont deux bases de E avec matrice de passage P, et   deux bases de F avec matrice de passage Q, la formule de changement de bases devient :

 .

On peut également considérer une forme sesquilinéaire au lieu d'une forme bilinéaire. Dans ce cas, il faut remplacer, dans les formules, la transposée de la matrice de passage par sa matrice adjointe.

Notes et référencesModifier

Sur les autres projets Wikimedia :

  1. a b et c Daniel Guinin et Bernard Joppin, Algèbre et géométrie PCSI, Bréal, (lire en ligne), p. 356.
  2. Voir par exemple cette démonstration sur Wikiversité.