Système de numération

ensemble de règles d'utilisation des signes permettant d'écrire des nombres
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Un système de numération est un ensemble de règles qui régissent une, voire plusieurs numérations données. De façon plus explicite, c'est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer les nombres, ces derniers étant nés, sous leur forme écrite, en même temps que l'écriture, de la nécessité d'organiser les récoltes, le commerce et la datation. Le système de numération indo-arabe est aujourd’hui le plus répandu dans le monde.

Table d'équivalence entre le système de numération de Kaktovik (utilisant une base 20) et le système décimal.

Principe de base

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Le système de numération le plus ancien, dit unaire (base 1), s'avère peu pratique lorsqu'il s'agit de manier des quantités importantes[1]. La solution découverte par de nombreuses civilisations anciennes consiste à grouper les unités par paquets chaque fois qu'est atteinte une même valeur, qu'on appelle base de numération. Puis, on regroupe ces paquets en paquets d'ordre supérieur, et ainsi de suite[2]. Généralement, le nombre d'éléments de chaque paquet est identique et donne la base de la numération. Cependant, certains systèmes sont irréguliers, comme la numération maya, de caractère de base vigésimale, irrégulière afin d'être plus compatible avec un calendrier de 360 jours[3] ou la numération babylonienne, initialement de caractère sexagésimal, qui se transforme tardivement en une combinaison sexagésimale et décimale[4]. Le comptage usuel des durées est également irrégulier : soixante secondes pour une minute, soixante minutes pour une heure, vingt-quatre heures pour un jour, vingt-huit à trente-et-un jours pour un mois.

De nombreux systèmes ont été inventés et utilisés à des époques variées :

 
Chiffres et nombres romains.
  • Un système vigésimal (ou vicésimal, base 20) existe au Bhoutan en langue dzongkha, et était en usage chez les Aztèques vers 1200[20] et, quoiqu'irrégulier, pour la numération maya[21]. Il a des avantages en matière de divisibilité par 2, 4, 5 et 10[5]. Certains pensent qu'il a aussi été utilisé par les Gaulois ou par les Basques mais on ignore en réalité si leur numération avait un caractère décimal ou vigésimal[22]. Il était aussi présent en vieux français, ce qui explique l'usage du mot quatre-vingts pour le nombre 80, ou encore le nom de l'hôpital des Quinze-Vingts, qui pouvait accueillir 300 patients[23].
 
Les chiffres et nombres mésopotamiens de 1 à 59 : base 60 avec sous bases 5 et 10.

Certaines bases de numération sont plus particulièrement utilisées dans des domaines scientifiques, notamment en électronique numérique et en informatique. Consulter l'article Base (arithmétique) pour plus de détails.

Systèmes d'énonciation

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Certains nombres bénéficient exclusivement d'un nom simple, comme mille en français. Dans le cas contraire, plusieurs principes permettent de les composer :

  • l'addition : en français dix-sept (10+7), soixante-dix (60+10); en anglais twenty two (20+2) ;
  • la multiplication : quatre-vingts (4x20), deux cents (2x100) en français ; en anglais two thousand (2x1000) ;
  • la soustraction : dix-huit se dit duodeviginti en latin classique (deux-de-vingt, 20-2)[28] ;
  • la division : cinquante se dit hanter-kant en breton (moitié-[de-]cent, 100/2)[29] ;
  • la protraction (terme introduit par Claude Hagège) : trente-cinq se disait holhu ca kal en yucatèque (cinq-dix deux vingts, 15 2×20, soit 15 vers 2×20 ou 15 à partir de la vingtaine précédant 2×20, soit 15+20). Dans l'expression de 35 (comme dans celle de trente) il convient de restituer un relateur sous-entendu (ou effacé) qui était tu (en réalité ti+u avec ti = locatif 'vers' et u = indice personnel de 3e personne 'son' qui, dans ce contexte, servait à dériver l'ordinal depuis le cardinal; si bien que l'expression de 35 doit s'analyser comme étant « 15 vers la deuxième vingtaine »[30],[31].

Un système auxiliaire est parfois utilisé. Par rapport au système principal, celui-ci peut-être :

  • inférieur : la numération wolof est décimale mais utilise un système quinaire auxiliaire, vingt-six se dit ñaar fukk ak juroom benn en wolof (deux dix et cinq un, 2×10+5+1)[6] ;
  • supérieur : la numération basque est décimale mais utilise un système vicésimal auxiliaire, cent cinquante-deux se dit ehunta berrogeita hamabi en basque (cent-et deux-vingts-et dix-deux, 100+2×20+10+2)[22]. De même, en français de France et en français Canadien (Québec) persistent quatre-vingt et quatre-vingt-dix (au lieu de huitante ou, anciennement, octante[32], utilisé dans certains cantons en Suisse et nonante en Suisse et en Belgique), qui proviennent du système vicésimal médiéval, utilisé de façon auxiliaire au système principal décimal d'origine latine.

Enfin, certains nombres bénéficient d'une construction indépendante de la base employée. Ainsi, actuellement en breton, dix-huit se dit triwecʼh (trois-six, 3×6)[33]. On trouvait aussi anciennement daounav (deux-neuf, 2×9), et, respectivement, pour quarante-cinq et quarante-neuf, pemp nav (cinq neuf, 5×9) et seizh seizh (sept sept, 7×7)[réf. nécessaire].

Systèmes de mime

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Plusieurs peuples se servent, ou se sont servis, traditionnellement des parties de leur corps pour compter[34]. Pour un compte décimal ou quinaire, les doigts sont généralement mis à contribution[35]. Les Yukis, qui emploient un système octal, utilisent des espaces entre les doigts pour compter. Le peuple chepang, qui emploie un système duodécimal, se sert du pouce pour compter sur les phalanges des doigts. Bien d'autres procédés encore ont été employés.

Systèmes de notation

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Les symboles utilisés pour écrire les nombres sont les chiffres. Les règles d'utilisations de ces chiffres permettent de distinguer schématiquement trois principales familles de système de notation : les systèmes additifs, hybrides et positionnels[36].

Les systèmes additifs

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Ces systèmes utilisent des chiffres pour représenter les puissances de la base, et éventuellement des sous-multiples de ces puissances[37]. Les autres nombres s'obtiennent par juxtaposition de ces symboles. Le lecteur a alors la charge d'additionner les valeurs des symboles pour connaitre le nombre. C'est le cas des systèmes de numération égyptien, grec, romain, gotique, ou plus simplement du système unaire ou de la numération forestière.

Il existe également des systèmes à la fois additifs et soustractifs. Ainsi, la numération romaine, additive, connait une variante additive et soustractive plus tardive.

Exemple de nombre romain en écriture additive : MMCCCXXVII vaut 2327=(1000+1000)+(100+100+100)+(10+10)+5+(1+1).

Exemple de nombre romain en écriture additive et soustractive: CMXCIV vaut 994 (100 ôté de 1000+10 ôté de 100+1 ôté de 5).

Les systèmes hybrides

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Ces systèmes utilisent des chiffres pour les unités et pour les puissances de la base[38]. Les chiffres représentant une puissance de la base utilisés sont, au besoin, combinés avec un chiffre représentant une unité, et les nombres sont ainsi représentés par addition de multiples de puissances de la base. C'est le cas des systèmes de numération chinois et japonais. On peut remarquer qu'un tel système de notation comporte une forte analogie avec le système d'énonciation des nombres dans une majorité de langues. (Par exemple, en français, le nombre deux-mille-huit-cent-dix-sept, est aussi formé par addition de multiples de puissances de la base 10 : 2×10³+8×10²+1×10¹+7.)

Exemple : en numération japonaise le nombre 1975 s'écrit 千九百七十五. En effet 千 est le chiffre 1000, 百 le chiffre 100, 十 le chiffre 10, 九 le chiffre 9, 七 le chiffre 7, et 五 le chiffre 5. 千九百七十五 vaut donc : 1000+9x100+7x10+5=1975.

Les systèmes positionnels

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Ces systèmes utilisent des chiffres, dont la place dans l'écriture du nombre indique le poids qui leur est affecté (poids n0=1, poids n1=n, poids n2… pour une base n)[39]. C'est le cas des systèmes de numération maya et babylonien, ainsi que les systèmes de numération indien et arabe à l'origine des mathématiques modernes. Ils permettent d'écrire les nombres simplement quelle qu'en soit la base, en utilisant le zéro positionnel.

Dans un tel système, une base β nécessite β chiffres pour représenter tous les entiers, et chaque entier a alors une représentation unique[40]. La valeur généralement utilisée de ces chiffres va de 0 à β-1.

Exemples :

  • Base 2: les chiffres sont 0 et 1. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "10001" en base 2, soit : 1x2⁴+0x2³+0x2²+0x2+1 donc 1x16+0x8+0x4+0x2+1.
  • Base 5 : les chiffres sont 0,1, 2, 3 et 4. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "32" en base 5, soit : 3x5+2.
  • Base 36 : les chiffres sont les chiffres du système décimal et les lettres de l'alphabet. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "H" en base 36 car H est le 18e chiffre en base 36 (le premier étant 0).

Il existe aussi des types de représentations différents :

  • des systèmes k-adiques, sans 0, utilisant, pour une base β, des chiffres de 1 à β (ce sont des systèmes bijectifs) ;
  • des systèmes balancés utilisant, pour une base β impaire, des chiffres de -(β-1)/2 à (β-1)/2 ;
  • des systèmes redondants, utilisant pour une base β un nombre de chiffres strictement supérieur à β.

Un système sera dit incomplet[41], s'il ne permet pas de représenter tous les nombres. C'est le cas, par exemple, des systèmes de base β utilisant un nombre de chiffres strictement inférieur à β.

Plusieurs systèmes connaissent des applications en électronique et en informatique. Ces systèmes ont la particularité de représenter les nombres sur un nombre défini de positions, et ne peuvent donc représenter les entiers que jusqu’à une certaine borne. Par exemple,

Autres systèmes

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Il existe aussi des systèmes alternatifs de représentations des nombres, soit dérivés du système positionnel, soit indépendants du concept de base tel qu'il a été défini plus haut. En voici quelques exemples,

Mathématiques

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Définition

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  • Un système de numération est[42] un triplet ( ,  , ϕ), où   est l'ensemble à énumérer,   est un ensemble fini ou dénombrable de chiffres et ϕ est une application injective de   vers l'ensemble des suites de chiffres : ϕ :  , et on a : ϕ . L’application ϕ est appelée application de représentation, et ϕ( ) est la représentation de  . Les suites admissibles sont définies comme les représentations images ϕ( ), pour tout   . Exemple : la fonction "numération décimale usuelle", si on choisit  , et si   est l'ensemble des entiers naturels, associe à tout nombre entier naturel la suite de ses chiffres décimaux. On a donc ainsi ϕ(1950)=(0,5,9,1,0,0,...), et les suites admissibles sont les suites d'entiers naturels nulles à partir d'un certain rang.
  • Georg Cantor[43] définit un système de numération comme la donnée d'une suite d'entiers naturels ak rangés par ordre croissant (dans le cas du système décimal : ak = 10k) et pour chacun, d'une valeur maximum mk du coefficient par lequel on s'autorise à le multiplier (dans le cas du système décimal : mk = 9). Il appelle représentation d'un entier naturel   toute suite infinie de coefficients ck, chaque ck étant un entier naturel au plus égal à mk, telle que la somme des ckak soit égale à  . Il démontre qu'un tel système est « simple », c'est-à-dire représente chaque entier   de façon unique, si et seulement si a0 = 1 et pour tout k, ak+1 = (1 + mk)ak[44], puis étend dans ce cas les représentations d'entiers aux représentations de réels (positifs), en ajoutant aux représentations d'entiers des séries infinies de la forme : 
  • Aviezri S. Fraenkel[41] donne une définition générale de système de numération et décrit des cas d'unicité et de complétude : un système de numération est complet s'il permet de représenter tous les entiers.
  • L'étude systématique a été reprise dans le cadre des langages formels et la combinatoire par Michel Rigo[42].
  • Le problème de la propagation du report a été étudié part Valérie Berthé, Christiane Frougny, Michel Rigo et Jacques Sakarovitch[45].

Exemples de systèmes de numération

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  • La numération en base b, entier   : tout entier naturel n non nul s'écrit de manière unique sous la forme  , avec les chiffres   vérifiant   et  . Le nombre   est le nombre de chiffres de n en base b[46] (voir Logarithme#Nombre de chiffres avant la virgule). De plus, tout réel   peut s'écrire, de manière unique si son développement est propre (autrement dit ne se termine pas par une suite infinie de   comme 0,999... qui s'écrit aussi 1,000...), sous la forme   (voir Non_unicité_de_représentation_de_certains_nombres).
  • La numération à bases mixtes  , entiers  , généralisant la précédente : tout entier naturel n non nul s'écrit de manière unique sous la forme  , avec les chiffres   vérifiant   et  . La représentation est dite factorielle lorsque  .
  • La numération en base non entière[47], utilisant notamment la base d'or, la base   ou encore la base e.
  • La numération de Fibonacci[48], obtenue par le théorème de Zeckendorf : la suite de Fibonacci définie par  ,  ,   permet d'écrire tout entier naturel n non nul de manière unique sous la forme  , où les chiffres   vérifient  , et   pour  .
  • La représentation en fraction continue : tout nombre réel s'écrit de manière unique sous la forme   avec   et   pour  , la suite des   étant finie pour un nombre rationnel, infinie pour un nombre irrationnel.
  • La décomposition en produit de nombres premiers est un système de numération, notamment utilisé par les calculateurs quantiques[49],
     .
  • Le système modulaire de représentation (RNS) permet, à l'aide d'une base   de modules mutuellement premiers entre eux, d'énumérer tous les nombres entiers  , où   par leur suite de restes   en utilisant le théorème des restes chinois.

Système de numération fibré

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Les chiffres proviennent d'une transformation non injective  [réf. nécessaire].

  • En représentation q-adique, le "chiffre des unités" est donné par   et la suite des chiffres par  T est l'application  .
  • La suite des chiffres de la représentation en fractions continues provient de   et l'application de Gauss  .

Notes et références

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  1. Georges Ifrah 1 1994, p. 33-46.
  2. « Des chiffres aux nombres », sur www.maths-et-tiques.fr (consulté le )
  3. Georges Ifrah 1 1994, p. 728-750.
  4. Georges Ifrah 1 1994, p. 325-327.
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  7. de Tuxy Varman |, « Les chiffres khmers », sur Srok Khmer - Apprendre le khmer, (consulté le )
  8. « Numbers in Nahuatl », sur www.omniglot.com (consulté le )
  9. « Numbers in Lote », sur www.omniglot.com (consulté le )
  10. « Numbers in Ngadha », sur www.omniglot.com (consulté le )
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  16. Georges Ifrah 1 1994, p. 224-225.
  17. Dans le système anglosaxon de mesure des longueurs, un pied (30,48 cm) vaut 12 pouces, et un pouce vaut 12 lignes.
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  23. Soit 15*20 patients.
  24. « Bases de numération, introduction », sur villemin.gerard.free.fr (consulté le )
  25. « Des chiffres aux nombres », sur www.maths-et-tiques.fr (consulté le )
  26. Une heure vaut 60 minutes, et une minute vaut 60 secondes.
  27. Mesuré en degrés, un tour complet vaut 360°. Attention, il existe d'autres mesures d'angle comme le grade, le tour complet valant 400 gr, ou le radian, le tour complet valant 2π rad.
  28. Alexis Ulrich, « Nombres en latin », sur Des langues et des nombres (consulté le )
  29. Alexis Ulrich, « Nombres en breton », sur Des langues et des nombres (consulté le )
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  31. A. Cauty, Le type protractif des numérations de l’aire maya, Faits de Langues, no 20, 2002 : Méso-Amérique, Caraïbes, Amazonie, Vol. 1, Paris, Ophrys, p. 85-93.
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  38. Georges Ifrah 2 1994, p. 436-440.
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  43. (de) Georg Cantor, « Ueber die einfachen Zahlensysteme », Zeitschrift für Mathematik und Physik, vol. 14,‎ , p. 121-128 (lire en ligne).
  44. Par exemple, en base usuelle décimale, la suite infinie (11000000...) représente le nombre 1+10+0+0+0... soit 11.
  45. Valérie Berthé, Christiane Frougny, Michel Rigo et Jacques Sakarovitch, « The carry propagation of the successor function », Advances in Applied Mathematics, vol. 120,‎ , article no 102062 (DOI 10.1016/j.aam.2020.102062, arXiv 1907.01464).
  46. Stéphane Pasquet, « Nombre de chiffres d'un nombre », sur Mathweb.fr, (consulté le )
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  48. R. L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnick, Mathématiques concrètes, Thomson International, , p. 314
  49. John Gribbin, La physique quantique, 2e éd., Pearson Education, 2007 (ISBN 978-2-7440-7263-5), p. 57.

Bibliographie

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  • Georges Ifrah 1, Histoire universelle des chiffres, t. 1, Paris, Robert Laffont, coll. « Bouquins », , 1042 p. (ISBN 2-221-05779-1).  
  • Georges Ifrah 2, Histoire universelle des chiffres, t. 2, Paris, Robert Laffont, coll. « Bouquins », , 1010 p. (ISBN 2-221-07837-3), chap. 28.  

Voir aussi

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Articles connexes

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Liens externes

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