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Nombre positif

nombre réel, strictement supérieur à zéro

Usage courantModifier

En dehors des textes mathématiques, lorsqu'on parle de nombres positifs ou négatifs, le nombre zéro est généralement exclu. Ainsi le dictionnaire Lexis[1] précise : « Les nombres négatifs, les nombres positifs et le zéro forment l'ensemble des nombres relatifs ». L'Académie française, dans la neuvième édition de son dictionnaire précise quant à elle qu'un nombre positif est un nombre « supérieur à zéro et qui peut être précédé du signe + ».

MathématiquesModifier

ZéroModifier

En mathématiques, l'adjectif supérieur est compris, en France, au sens large : tout nombre (réel) est supérieur (et aussi inférieur) à lui-même. En particulier, zéro est positif. Nicolas Bourbaki[2] souligne : « On notera que   est l'unique élément à la fois positif et négatif ; tout élément   tel que   (resp.  ) est dit strictement positif (resp. strictement négatif). ».

Dans d'autres pays francophones que la France, et dans d'autres langues que le français, l'usage mathématique peut être différent. Ainsi l'anglais positive et l'allemand positiv se traduisent en français par strictement positif, tandis que nonnegative et nichtnegativ se traduisent par positif. L'expression nombre positif ou nul est un synonyme de nombre positif qui permet d'éviter tout risque d'ambigüité ou d'erreur de traduction.

NotationModifier

« x est positif » s'écrit en notation mathématique  .
« x est strictement positif » s'écrit  .

Ensembles de nombres positifsModifier

Certains ensembles usuels de nombres positifs sont désignés par un symbole qui leur est propre.

  • Les entiers naturels sont tous positifs.
  • l'ensemble des entiers relatifs positifs est habituellement noté  , , ou le plus souvent  .
  • l'ensemble des entiers relatifs strictement positifs est habituellement noté  ,  , ou le plus souvent  .
  • l'ensemble des nombres rationnels positifs est habituellement noté   ou  .
  • l'ensemble des nombres rationnels strictement positifs est habituellement noté   ou  .
  • l'ensemble des nombres réels positifs est habituellement noté   ou  .
  • l'ensemble des nombres réels strictement positifs est habituellement noté   ou  .

Ce sont tous des sous-ensembles de l'ensemble   des nombres réels. Les nombres complexes non réels ne sont ni positifs ni négatifs, car il n'existe pas de relation d'ordre usuelle qui les compare à zéro.

PropriétésModifier

  • La somme de deux nombres positifs est un nombre positif,
  • la somme d'un nombre positif et d'un autre strictement positif est un nombre strictement positif.

La différence de deux nombres positifs peut être positive ou négative. Par exemple 2 − 3 = −1 et 5 − 2 = 3.

  • Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif.
  • Le produit de deux nombres strictement positifs est strictement positif.

Le produit d'un nombre positif et d'un nombre strictement positif n'est pas nécessairement strictement positif, puisque le premier nombre peut être nul.

  • L'inverse d'un nombre strictement positif est un nombre strictement positif,
  • Le quotient d'un nombre positif et d'un nombre strictement positif est positif,
  • Le quotient de deux nombres strictement positifs est strictement positif.
  • Un nombre est inférieur (ou égal) à un autre si et seulement si la différence du second et du premier est positive,
  • Un nombre est strictement inférieur à un autre si et seulement si la différence du second et du premier est strictement positive,
  • En multipliant les membres d'une inégalité par un nombre strictement positif, le sens de l'inégalité ne change pas.

Notes et référencesModifier