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Un système sénaire est un système de numération de base six.

La notation sénaire positionnelle nécessite l'emploi de six chiffres. On utilise d'habitude les chiffres 0 à 5 du système décimal. On différencie alors les notations décimales des notations sénaires au moyen d'un indice 10 ou 6. Ainsi, 1456 = 6510.

NotationModifier

Numéro de puissanceModifier

  • Sénaire : 10 = 2×3
  • Décimal : 10 = 2×5
  • Duodécimal : 10 = 4×3
  • Vicésimal : 10 = 4×5
puissance de six par la notation sénaire
Exponent Sénaire Equivalent en décimal Equivalent en duodécimal Equivalent en vicésimal
1 10 6 6 6
2 100 62 = 36 62 = 30 62 = 1G
3 1 000 63 = 216 63 = 160 63 = AG
4 10 000 64 = 1 296 64 = 900 64 = 34G
5 100 000 65 = 7 776 65 = 4 600 65 = J8G
10 1 000 000 66 = 46 656 66 = 23 000 66 = 5 GCG
11 10 000 000 67 = 279 936 67 = 116 000 67 = 1E JGG
12 100 000 000 68 = 1 679 616 68 = 690 000 68 = A9 J0G
13 1 000 000 000 69 = 10 077 696 69 = 3 460 000 69 = 32J E4G
14 10 000 000 000 610 = 60 466 176 6A = 18 300 000 6A = IHI 58G
15 100 000 000 000 611 = 362 797 056 6B = A1 600 000 6B = 5 D79 CCG
20 1 000 000 000 000 612 = 2 176 782 336 610 = 509 000 000 6C = 1E 04H FGG
21 10 000 000 000 000 613 = 13 060 694 016 611 = 2 646 000 000 6D = A4 196 F0G
22 100 000 000 000 000 614 = 78 364 164 096 612 = 13 230 000 000 6E = 314 8G0 A4G
23 1 000 000 000 000 000 615 = 470 184 984 576 613 = 77 160 000 000 6F = I76 CG3 18G
24 10 000 000 000 000 000 616 = 2 821 109 907 456 614 = 396 900 000 000 6G = 5 A3J GGI 8CG
25 100 000 000 000 000 000 617 = 16 926 659 444 736 615 = 1 A94 600 000 000 6H = 1D 13J 11A BGG
30 1 000 000 000 000 000 000 618 = 101 559 956 668 416 616 = B 483 000 000 000 6I = 9I 73E 693 B0G

Passage du système sénaire au système décimal et réciproquementModifier

Du sénaire au décimalModifier

Voici les premiers nombres de 1 à 40 et de 91 à 110 exprimés en notation positionnelle sénaire puis décimale.

Sénaire 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 21 22 23 24 25 30 31 32
Décimal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Sénaire 33 34 35 40 41 42 43 44 45 50 51 52 53 54 55 100 101 102 103 104
Décimal 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Sénaire 231 232 233 234 235 240 241 242 243 244 245 250 251 252 253 254 255 300 301 302
Décimal 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

Sénaire exprime six comme "10", dix (décimal 10) comme "14" à savoir "six plus quatre", douze (décimal 12) comme "20" à savoir "deux six". Les chiffres des multiples de trois se terminent par 3 ou 0, par ex. décimale 21 (deux dix et une) est exprimée en "33" (trois six et trois), décimal 27 (deux dix et sept) est exprimée en "43" (quatre six et trois). Numéros de plus de 100 (décimal 36), par exemple décimal 100 est exprimée en "244" pour dire "deux des six carrés, quatre six et quatre". Aussi, les multiples de neuf (13) seront les deux derniers chiffres l'un des 13, 30, 43, 00.

Décomposition de la notation
  • 810 = 126 = 1×6 + 2
  • 1010 = 146 = 1×6 + 4
  • 1210 = 206 = 2×6
  • 2710 = 436 = 4×6 + 3
  • 3010 = 506 = 5×6
  • 3610 = 1006 = 1×62
  • 4910 = 1216 = 1×62 + 2×61 + 1
  • 5610 = 1326 = 1×62 + 3×61 + 2
  • 6410 = 1446 = 1×62 + 4×61 + 4
  • 8110 = 2136 = 2×62 + 1×61 + 3
  • 10010 = 2446 = 2×62 + 4×61 + 4
  • 10810 = 3006 = 3×62
  • 12510 = 3256 = 3×62 + 2×61 + 5
  • 14410 = 4006 = 4×62
  • 17510 = 4516 = 4×62 + 5×61 + 1
  • 18010 = 5006 = 5×62
  • 21610 = 10006 = 1×63
  • 25610 = 11046 = 1×63 + 1×62 + 0×61 + 4
  • 56910 = 23456 = 2×63 + 3×62 + 4×61 + 5
  • 72910 = 32136 = 3×63 + 2×62 + 1×61 + 3
  • 100010 = 43446 = 4×63 + 3×62 + 4×61 + 4
  • 108010 = 50006 = 5×63
  • 129610 = 100006 = 1×64
  • 194410 = 130006 = 1×64 + 3×63
  • 200010 = 131326 = 1×64 + 3×63 + 1×62 + 3×61 + 2
  • 500010 = 350526 = 3×64 + 5×63 + 0×62 + 5×61 + 2
  • 656110 = 502136 = 5×64 + 0×63 + 2×62 + 1×61 + 3
Exemples d'opérations arithmétiques
Décimal Sénaire
1944 + 56 = 2000 13000 + 132 = 13132
100 - 64 = 36 244 - 144 = 100
81 × 16 = 1296 213 × 24 = 10000
1080 ÷ 27 = 40 5000 ÷ 43 = 104
64 / 144 = 4 / 9 144 / 400 = 4 / 13
38 = 6561 312 = 50213
Date et heure
Événement Décimal Sénaire
La mort d'Alfred Nobel 10 / 12 / 1896 14 / 20 / 12440
Bombardement atomique d'Hiroshima 6 / 8 / 1945 10 / 12 / 13001
Attentats du 11 septembre 2001 11 / 9 / 2001 15 / 13 / 13133

Du décimal au sénaireModifier

Voici quelques points de repère.

Décimal 1 2 3 4 5 6 7 9 12 18 24 27 30 36
Sénaire 1 2 3 4 5 10 11 13 20 30 40 43 50 100
Décimal 42 72 108 144 180 216 324 432 648 972 1080 1296 1944 2592
Sénaire 110 200 300 400 500 1000 1300 2000 3000 4300 5000 10000 13000 20000

Fractions et divisibilitéModifier

Six est le produit de deux nombres premiers, à savoir 2 et 3. Il en résulte que certaines propriétés de la notation positionnelle sénaire rappellent celles de la notation positionnelle décimale.

Toutes les fractions dont le dénominateur ne connaît d'autre facteur premier que 2 et 3 s'expriment en sénaire avec un nombre fini de chiffres après la virgule (comparer avec le rôle de 2 et 5 en décimal). Six et dix sont seul nombre pair, un quart est exprimé en deux chiffres après la virgule. Ainsi, système sénaire et décimal, la position de 3 et 5 est inversée. (comparer avec le rôle de 2 et 5 en décimal).

Dans la notation sénaire, réciproques des puissances de 2 sont puissances de 3, réciproques des puissances de 3 sont puissances de 2, la division par des puissances de 2 et 3 devient plus facile que toute notation. Ainsi, les puissances de 3 deviennent dominantes, les puissances de 5 deviennent faibles.

Tous les nombres se terminant en sénaire par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 0, 2, 4 — sont divisibles par 2 et tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 3 — soit 0 et 3 — divisibles par 3 (de même qu'en décimal, tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 0, 2, 4, 6, 8  sont divisibles par 2 et tous les nombres se terminant par un multiple de 5 — soit 0 et 5 — divisibles par 5).

Un nombre premier autre que 2 ou 3 ne peut donc se terminer en sénaire que par 1 ou 5 (en décimal un nombre premier autre que 2 ou 5 ne peut se terminer que par 1, 3, 7 ou 9).

Décimal Sénaire
1/2 = 0,5 1/2 = 0,3
1/3 = 0,33 répétition 1/3 = 0,2
1/4 = 0,25 1/4 = 0,13
1/5 = 0,2 1/5 = 0,11 répétition
1/6 = 0,166 répétition 1/10 = 0,1
1/7 = 0,142857142857 répétition 1/11 = 0,0505 répétition
1/8 = 0,125 1/12 = 0,043
1/9 = 0,11 répétition 1/13 = 0,04
1/10 = 0,1 1/14 = 0,033 répétition
1/11 = 0,0909 répétition 1/15 = 0,03134524210313452421 répétition
1/12 = 0,08333 répétition 1/20 = 0,03
1/13 = 0,076923076923 répétition 1/21 = 0,024340531215024340531215 répétition
1/14 = 0,0714285714285 répétition 1/22 = 0,02323 répétition
1/15 = 0,066 répétition 1/23 = 0,022 répétition
1/16 = 0,0625 1/24 = 0,0213
1/18 = 0,055 répétition 1/30 = 0,02
1/20 = 0,05 1/32 = 0,0144 répétition
1/24 = 0,04166 répétition 1/40 = 0,013
1/25 = 0,04 1/41 = 0.0123501235 répétition
1/27 = 0,037037 répétition 1/43 = 0,012
1/32 = 0,03125 1/52 = 0,01043
1/36 = 0,0277 répétition 1/100 = 0,01
1/40 = 0,025 1/104 = 0,00522 répétition
1/48 = 0,020833 répétition 1/120 = 0,0043
1/50 = 0,02 1/122 = 0,00415304153 répétition
1/54 = 0,0185185 répétition 1/130 = 0,004
1/64 = 0,015625 1/144 = 0,003213
1/72 = 0,01388 répétition 1/200 = 0,003
1/80 = 0,0125 1/212 = 0,002411 répétition
1/81 = 0,012345679012345679 répétition 1/213 = 0,0024
1/100 = 0,01 1/244 = 0.002054320543 répétition
1/108 = 0,00925925 répétition 1/300 = 0.002
1/125 = 0,008 1/325 = 0,0014211153224043351545031 répétition
1/128 = 0,0078125 1/332 = 0,0014043
1/216 = 0,004629629 répétition 1/1000 = 0.001

Fraction principaleModifier

Jusqu'à 2 décimales
  • 1 / 2 = 0,3
  • 1 / 3 = 0,2
  • 2 / 3 = 0,4
  • 1 / 4 = 0,13 (equivalent en décimal : 9 / 36)
  • 3 / 4 = 0,43 (equivalent en décimal : 27 / 36)
  • 1 / 5 = 0.1111…
  • 2 / 5 = 0.2222…
  • 3 / 5 = 0.3333…
  • 4 / 5 = 0.4444…
  • (1 / 6)dix = 1 / 10 = 0,1
  • (5 / 6)dix = 5 / 10 = 0,5
  • (1 / 9)dix = 1 / 13 = 0,04 (equivalent en décimal : 4 / 36)
  • (2 / 9)dix = 2 / 13 = 0,12 (equivalent en décimal : 8 / 36)
  • (4 / 9)dix = 4 / 13 = 0,24 (equivalent en décimal : 16 / 36)
  • (5 / 9)dix = 5 / 13 = 0,32 (equivalent en décimal : 20 / 36)
  • (7 / 9)dix = 11 / 13 = 0,44 (equivalent en décimal : 28 / 36)
  • (8 / 9)dix = 12 / 13 = 0,52 (equivalent en décimal : 32 / 36) (approximation de décimal 0,9)
Douzièmes (1 / 22×3)
  • (1 / 12)dix = 1 / 20 = 0,03 (equivalent en décimal : 3 / 36)
  • (5 / 12)dix = 1 / 20 = 0,23 (equivalent en décimal : 15 / 36)
  • (7 / 12)dix = 1 / 20 = 0,33 (equivalent en décimal : 21 / 36)
  • (11 / 12)dix = 1 / 20 = 0,53 (equivalent en décimal : 33 / 36)
Huitièmes (2-3)
  • (1 / 8)dix = 1 / 12 = 0,043 (equivalent en décimal : 27 / 216)
  • (3 / 8)dix = 3 / 12 = 0,213 (equivalent en décimal : 81 / 216)
  • (5 / 8)dix = 5 / 12 = 0,343 (equivalent en décimal : 135 / 216)
  • (7 / 8)dix = 11 / 12 = 0,513 (equivalent en décimal : 189 / 216)
Vingt-septièmes (3-3)
  • (1 / 27)dix = 1 / 43 = 0,012 (equivalent en décimal : 8 / 216)
  • (4 / 27)dix = 4 / 43 = 0,052 (equivalent en décimal : 32 / 216) (approximation de décimal 0,15)
  • (8 / 27)dix = 12 / 43 = 0,144 (equivalent en décimal : 64 / 216) (approximation de décimal 0,3)
  • (11 / 27)dix = 15 / 43 = 0,224 (equivalent en décimal : 88 / 216) 
  • (16 / 27)dix = 24 / 43 = 0,332 (equivalent en décimal : 128 / 216) (approximation de décimal 0,6)
  • (19 / 27)dix = 31 / 43 = 0,412 (equivalent en décimal : 152 / 216)
  • (23 / 27)dix = 35 / 43 = 0,504 (equivalent en décimal : 184 / 216)

Exemple de calculModifier

1/3
  • Octal : 100 ÷ 3 = 25,2525…
  • Sénaire : 144 ÷ 3 = 33,2
  • Décimal : 100 ÷ 3 = 33,3333…
  • Sénaire : 244 ÷ 3 = 53,2
  • Hexadécimal : 100 ÷ 3 = 55,5555…
  • Sénaire : 1104 ÷ 3 = 221,2
1/9
  • Octal : 100 ÷ 11 = 7,0707…
  • Sénaire : 144 ÷ 13 = 11,04
  • Décimal : 1000 ÷ 9 = 111,1111…
  • Sénaire : 4344 ÷ 13 = 303,04
  • Hexadécimal : 100 ÷ 9 = 1C,71C71C…
  • Sénaire : 1104 ÷ 13 = 44,24
1/14 en sénaire (1/10 en décimal)
  • Décimal : 3 ÷ 10 = 0,3
  • Sénaire : 3 ÷ 14 = 0,1444…
  • Décimal : 7 ÷ 10 = 0,7
  • Sénaire : 11 ÷ 14 = 0,4111…
  • Décimal : 9 ÷ 10 = 0,9
  • Sénaire : 13 ÷ 14 = 0,5222…
1 / 33 (1/27 en décimal)
  • Décimal : 8 ÷ 27 = 0,296296…
  • Sénaire : 12 ÷ 43 = 0,144
  • Décimal : 19 ÷ 27 = 0,703703…
  • Sénaire : 31 ÷ 43 = 0,412
  • Décimal : 100 ÷ 27 = 3,703703…
  • Sénaire : 244 ÷ 43 = 3,412
  • Hexadécimal : 100 ÷ 1B = 9.7B425ED09 7B425ED09…
  • Sénaire : 1104 ÷ 43 = 13,252
1 / 23 (1/8 en décimal)
  • Décimal : 27 ÷ 8 = 3,375
  • Sénaire : 43 ÷ 12 = 3,213
  • Décimal : 100 ÷ 8 = 12,5
  • Sénaire : 244 ÷ 12 = 20,3
1 / 24 (1/16 en décimal)
  • Décimal : 11 ÷ 16 = 0,6875
  • Sénaire : 15 ÷ 24 = 0,4043
  • Décimal : 2023 ÷ 16 = 126,4375
  • Sénaire : 13211 ÷ 24 = 330,2343
  • Décimal : 6561 ÷ 16 = 410,0625
  • Sénaire : 50213 ÷ 24 = 1522,0213
1 / 34 (1/81 en décimal)
  • Décimal : 32 ÷ 81 = 0,395061728 395061728…
  • Sénaire : 52 ÷ 213 = 0,2212
  • Décimal : 625 ÷ 81 = 7.716049382 716049382…
  • Sénaire : 2521 ÷ 213 = 11,4144
  • Décimal : 4096 ÷ 81 = 50,567901234 567901234…
  • Sénaire : 30544 ÷ 213 = 122,3224

Dans les langues naturellesModifier

Les cultures qui comptent en base 6 sont rares. L'examen du développement des systèmes de numération suggère une limite de numérosité à la valeur 6, conceptualisé comme formant un tout, « le poing », « au delà des cinq doigts »[1]. Les chiffres 1 à 6 sont alors des formes pures et les nombres qui suivent sont construits ou sont des emprunts[2].

La langue ndom de Papouasie-Nouvelle-Guinée utilise un système sénaire[3].

Système sénaire du ndom
Numéral Sénaire Décimal Traduction
mer 10 6 6
mer an thef 20 12 6 × 2
nif 100 36 62
nif thef 200 72 62 × 2

Dans les langues morehead-maro, le système de numération est lié à des rituels de comptage d'ignames[4]. Ces langues comptent sur une base six et ont des termes spécifiques pour les puissances de six ; jusqu'à 1010 = 1 000 000 en sénaire c'est-à-dire 66 = 46 656 en décimal, dans certaines de ces langues.

Système sénaire du kómnzo
Numéral Sénaire Décimal
nimbo 10 6
féta 100 36
tarumba 1000 216
ntamno 10000 1296
wärämäkä 100000 7776
wi 1000000 46656

Certaines langues nigéro-congolaises utilisent un système sénaire, en complément d'un autre système (décimal ou vigésimal)[2]. Le proto-ouralien aurait utilisé un système sénaire, le chiffre 7 aurait été emprunté tardivement, bien que la construction des grands chiffres (8 et 9) par soustraction à partir de 10 suggère une autre hypothèse[2].

RéférencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de la page de Wikipédia en anglais intitulée « Senary » (voir la liste des auteurs).

  1. Juliette Blevins, « Origins of Northern Costanoan ʃak:en ‘six’:A Reconsideration of Senary Counting in Utian », International Journal of American Linguistics, vol. 71, no 1,‎ , p. 87–101 (DOI 10.1086/430579, JSTOR 10.1086/430579)
  2. a b et c « Archived copy » [archive du ] (consulté le 27 août 2014)
  3. (en) Kay Owens, « The Work of Glendon Lean on the Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania », Mathematics Education Research Journal, vol. 13, no 1,‎ , p. 47–71 (DOI 10.1007/BF03217098, lire en ligne[archive du ])
  4. (en-US) « How to count to 1296 in Ngkolmpu – MORPH », sur morph.surrey.ac.uk (consulté le 25 juin 2018)

Lien externeModifier