Nombres premiers entre eux

Nombres entiers dont le plus grand diviseur commun vaut 1
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En mathématiques, on dit que deux entiers a et b sont premiers entre eux, que a est premier avec b ou premier à[1] b ou encore que a et b sont copremiers (ou encore étrangers) si leur plus grand commun diviseur est égal à 1 ; en d'autres termes, s'ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et –1 en commun. De manière équivalente, ils sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun facteur premier en commun.

Par exemple, 6 et 35 sont premiers entre eux, mais 6 et 27 ne le sont pas parce qu'ils sont tous les deux divisibles par 3. Le nombre 1 est premier avec tout entier, tandis que 0 est uniquement premier avec 1 et –1.

Cette notion a été introduite dans le livre VII des Éléments d'Euclide.

Des notations standard pour deux entiers a et b premiers entre eux sont: gcd(a, b) = 1 ou (a, b) = 1. Ronald Graham, Donald Knuth, et Oren Patashnik ont aussi proposé[2] la notation .

Un moyen rapide pour déterminer si deux nombres entiers sont premiers entre eux est l'algorithme d'Euclide, ou ses versions plus rapides telles que l'algorithme du PGCD binaire ou l'algorithme de PGCD de Lehmer.

Le nombre d'entiers premiers avec un entier positif n compris entre 1 et n est égal à φ(n), où φ est la fonction phi d'Euler.


PropriétésModifier

Propriétés de baseModifier

Dans ce qui suit, a et b désigne deux entiers relatifs.

  • Si a est premier avec divers autres entiers b, c, d,... il est premier avec leur produit, puisque tout diviseur non trivial de ce produit doit diviser l'un des entiers, et donc ne pas diviser a.
  • Si a est premier avec b, a + bc est premier avec b quel que soit l'entier c. En effet, si tel n'était pas le cas, un facteur commun non trivial diviserait b et a + bc, donc aussi a = (a + bc)- bc.
  • Si a est premier avec b, alors a+b est premier avec a et b:ce n'est guère que le résultat ci-dessus appliqué à c = 1, et appliqué à nouveau en inversant les rôles de a et b.
  • Un nombre p est premier si, et seulement si, il est premier avec tout nombre qu'il ne divise pas. En effet, si p est premier et a un facteur commun non trivial avec un nombre a, ce facteur ne peut être que p, et réciproquement, si p n'est pas premier, il est divisible par un facteur d non trivial et différent de p, donc p n'est pas premier avec d.
  • Si a est premier avec b, alors am est premier avec bn, quels que soient les exposants entiers positifs ou nuls m et n: cela provient du fait que tout facteur premier d'une puissance entière ks divise aussi k, en vertu de la décomposition de k en produit de facteurs premiers.
  • Si m et n sont des entiers strictement positifs, alors la réciproque a lieu: a est premier avec b lorsque am est premier avec bn,ce qu'on déduit du fait que tout facteur premier d'un entier k divise aussi ks, si s > 0.
  • En joignant la troisième propriété ci-dessus avec la cinquième, on en déduit que si a est premier avec b, alors am+bn est premier avec a et b quels que soient les exposants entiers positifs ou nuls m et n.
  • Toute fraction rationnelle q peut s'écrire sous forme dite "réduite": q = a/b, où a est premier avec b. Si q est donnée sous la forme m/n, il suffit pour cela de simplifier m et n par leur plus grand facteur commun: a = m/P.G.C.D(m,n) et b = b/P.G.C.D(m, n).
  • Si   et   sont des fractions rationnelles réduites dont les dénominateurs sont premiers entre eux, alors la représentation bourrine de leur somme sous la forme   est d'ôres et déjà réduite. En effet, bc est premier avec d et ad avec b en vertu des définitions et des hypothèses. Donc bc + ad est premier avec b et d par la deuxième propriété listée ci-dessus.

Théorème de Bachet-BézoutModifier

Les entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe des entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1.

Cette condition équivaut à : b a un inverse pour la multiplication modulo a, c'est-à-dire : il existe un nombre entier y tel que by ≡ 1 (mod a).

Lemme de GaussModifier

Si a et b sont premiers entre eux et a divise un produit bc, alors a divise c.

  • Ainsi, si a et b sont premiers entre eux et bxby (mod a), alors x y (mod a) puisque a divise b(x-y). En d'autres termes : b est simplifiable dans l'anneau ℤ/a des entiers modulo a.
  • En considérant l'équation en nombres de la demi-droite ay = bx avec x > 0, on en déduit encore que y doit être multiple de b et x multiple de a. Autrement dit, deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si le point de coordonnées (a, b) dans un repère cartésien est « visible » de l'origine (0, 0), dans le sens où il n'y a pas de point de coordonnées entières entre l'origine et (a, b).
  • Si    est premier avec   et   est premier avec  , alors   et  , les signes étant identiques. En effet,   divise   et   divise   par le lemme de Gauss, et pour la même raison,   divise   et   divise  ; donc   et  , et l'équation d'hypothèse implique que les signes sont identiques.
  • Si a et b sont positifs et premiers entre eux, et si ab est une puissance de n, alors a et b sont aussi des puissances de n. Notons en effet ab = cn. Alors c est égal à 1, auquel cas tout est trivial, ou est produit d'un nombre fini de puissances ps de facteurs premiers distincts p. Ainsi cn est le produit des pns. Mais pns ne saurait avoir de facteurs communs non triviaux avec a et b à la fois, sans quoi p diviserait ce facteur et serait un facteur commun à a et à b. Donc pns divise l'un ou l'autre des nombres a et b par le lemme de Gauss. Comme c'est vrai pour chacun des pns, a est produit d'une partie des pns, tandis que b est produit de l'autre partie, ce qui permet de conclure.

Théorème des restes chinoisModifier

Deux entiers a et b sont premiers entre eux, si et seulement si tout système de congruences de la forme xm1 (mod a) et xm2 (mod b) a une infinité de solutions en nombres, d'ailleurs décrites par une congruence unique de la forme x ≡ m (mod ab).

Cette équivalence se généralise au cas d'un ensemble de nombres premiers deux à deux.

Indicatrice d'EulerModifier

L'indicatrice d'Euler, qu'on note habituellement  , est la fonction qui, à tout entier naturel   non nul, associe le nombre d'entiers inférieurs à   et premiers avec  .

Une expression explicite de l'indicatrice d'Euler s'obtient à partir de la décomposition en facteurs premiers de n :

 

Un résultat intéressant ayant trait à l'indicatrice d'Euler est que pour tout entier  ,   est un nombre pair, et la somme de tous les entiers inférieurs et premiers avec   est égale à

 

En particulier, la somme de tous les entiers inférieurs et premiers avec   est multiple de  .

Pour le voir, on remarque que si   est premier avec  ,   l'est aussi. De plus, si   est entier, il n'est en tous cas pas premier avec   quand  . On peut donc grouper deux par deux les nombres premiers avec   (donc   est un nombre pair), et leur somme est égale à  

Extension à un ensemble quelconque d'entiersModifier

Les nombres d'un ensemble quelconque D (fini ou infini) d'entiers sont dits premiers entre eux dans leur ensemble si 1 est leur plus grand commun diviseur.

Ils sont premiers entre eux deux à deux si pour tous a et b distincts dans D, a et b sont premiers entre eux.

La présence dans D de deux nombres premiers entre eux est une condition suffisante, mais non nécessaire, pour que les entiers de D soient premiers entre eux dans leur ensemble. Par exemple, 6, 14 et 21 sont premiers entre eux dans leur ensemble, mais aucun couple extrait de ce triplet n'est formé de deux nombres premiers entre eux.

Pour que des nombres   soient premiers dans leur ensemble, il faut et il suffit qu'ils satisfassent à une relation de Bezout de la forme

 

pour des entiers relatifs  

Des nombres   premiers deux à deux vérifient par exemple cette propriété: en notant   le produit de tous les   pour lesquels  , chacun des   (et donc le produit de tous les  ) sont premiers avec le nombre

 

En effet, pour tout i donné, chaque   tel que   est multiple de  , tandis que   est premier avec  . Donc la somme S des   est multiple de  , et  , ou bien  , est premier avec  .

Généralisation dans les anneauxModifier

Des idéaux I et J d'un anneau commutatif A sont dits premiers entre eux si I + J = A (par exemple : deux idéaux maximaux distincts sont premiers entre eux). Cela généralise l'identité de Bézout : si I et J sont premiers entre eux, alors IJ = IJ et le théorème des restes chinois généralisé s'applique ; de plus, si K est un troisième idéal tel que I contient JK, alors I contient K.

Avec cette définition, dans l'anneau ℤ des entiers relatifs, les idéaux principaux (a) et (b) sont premiers entre eux si et seulement si les entiers a et b sont premiers entre eux.

Voir aussi l'article Primalité dans un anneau, pour la définition générale d'éléments premiers entre eux dans un anneau (qui coïncide pour Z avec la condition précédente).

ProbabilitésModifier

Quand n tend vers l'infini, la probabilité pour que deux nombres entiers inférieurs à n soient premiers entre eux tend vers 6/π2. Plus généralement, la probabilité que k entiers inférieurs à n choisis au hasard soient premiers entre eux tend vers 1/ζ(k).

Notes et référencesModifier

  1. Par ex. Jean-Pierre Serre, Œuvres, vol. 2 et vol. 4.
  2. R. L. Graham, D. Knuth, O. Patashnik, "Concrete Mathematics / A Foundation for Computer Science", Addison-Wesley, 1989, p. 115 (isbn=0-201-14236-8).

Articles connexesModifier

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