Intégrale paramétrique

(Redirigé depuis Intégrale à paramètres)

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale paramétrique (également appelée intégrale à paramètre) est une fonction d'une variable, définie à partir d'une fonction de deux variables – la variable d'intégration et le paramètre – par intégration sur un ensemble fixe par rapport à la variable d'intégration. Un exemple typique est la fonction gamma d'Euler définie par , pour laquelle on intègre sur par rapport à la variable d'intégration , la variable étant ici le paramètre.

Les deux variables, ainsi que les valeurs de la fonction, sont souvent choisies dans un espace euclidien. Une classe importante d'exemples est l'ensemble des transformées, dont la transformée de Fourier.

Définition formelle modifier

Soient T un ensemble,   un espace mesuré et

 

une application telle que pour tout élément t de T, l'application

  soit intégrable.

Alors l'application F définie par :

 

est appelée une intégrale paramétrique.

Le plus souvent, dans les applications :

Exemples modifier

Transformée de Fourier modifier

Soit g une fonction intégrable de ℝn dans ℂ, la transformée de Fourier de g est la fonction de ℝn dans ℂ définie par :

 

  désigne le produit scalaire usuel.

Fonction gamma d'Euler modifier

 
Le graphe de la fonction gamma. Sur l'axe des abscisses, on fait varier le paramètre  .

La fonction gamma d'Euler est définie entre autres pour tout réel x strictement positif, par :

 

Potentiel du champ de gravitation modifier

Le potentiel du champ de gravitation V(x) créé par un corps matériel M de densité variable ρ en un point x de ℝ3 extérieur à M est donné par :

 

G désigne la constante de gravitation et   la norme euclidienne.

Limite modifier

Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que T est une partie de ℝ, que x est un réel adhérent à T, et que :

  •   pour une fonction   ;
  • il existe une application intégrable   telle que
 .

Alors, le théorème de convergence dominée permet de prouver que φ est intégrable et que

 

soit encore :

 
Remarques.
  • La première hypothèse peut être affaiblie en supposant que la limite existe seulement pour presque tout ω ∈ Ω, sous réserve que l'espace mesuré   soit complet (ce qui est le cas pour les tribu et mesure de Lebesgue).
  • La seconde hypothèse peut être doublement affaiblie en supposant seulement qu'il existe une fonction intégrable g telle que pour chaque élément t de T appartenant à un certain voisinage de x on ait :   presque partout.
  • Les énoncés des sections suivantes possèdent des variantes analogues.
  • L'énoncé ci-dessus, même ainsi renforcé, reste vrai quand T et x sont une partie et un élément d'un espace métrique autre que ℝ (par exemple ou ℝ2).

Continuité modifier

Continuité locale : si l'on reprend la section précédente en supposant de plus que x appartient à T (donc pour tout ω ∈ Ω,   est continue au point x et  ), on en déduit que F est continue en x.

Continuité globale : par conséquent, si f est continue sur T × Ω avec T partie ouverte (ou plus généralement : localement compacte) de ℝ et Ω fermé borné d'un espace euclidien, alors F est définie et continue sur T.

Dérivabilité modifier

La règle de dérivation sous le signe d'intégration est connue sous le nom de règle de Leibniz (pour d'autres règles portant ce nom, voir Règle de Leibniz  ).

Étude locale modifier

Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que T est un intervalle de ℝ et que :

  • pour tout ω ∈ Ω,   est dérivable sur T ;
  • il existe une application intégrable g : Ω → ℝ telle que
 .

Alors, pour tout   l'intégrale paramétrique F est dérivable au point t, l'application   est intégrable, et :

 

Étude globale modifier

Avec les mêmes hypothèses que dans l'énoncé « Continuité globale » (f est continue sur T × Ω avec T partie localement compacte de ℝ et   fermé borné d'un espace euclidien), si l'on suppose de plus que   est définie et continue sur T × Ω, alors F est de classe C1 sur T et pour tout xT, on a :

 

Forme générale unidimensionnelle modifier

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation du premier théorème fondamental de l'analyse et peut s'avérer utile dans le calcul de certaines intégrales réelles.

Soit f : ℝ2 → ℝn telle que f et   soient continues sur ℝ2, et soient a et b deux fonctions dérivables de ℝ dans ℝ. Alors, l'« intégrale paramétrique » (généralisée) F définie sur ℝ par :

 

est dérivable et

 

Remarque : pour une fonction f qui ne dépend que de la seconde variable, on retrouve bien le théorème fondamental de l'analyse en posant a(x) = a et b(x) = x.

Théorème de Fubini modifier

Soient par exemple X une partie de ℝp, Y une partie de ℝq, et

 

une application intégrable. Alors, d'après le théorème de Fubini, la fonction   est intégrable pour presque tout x de X, l'intégrale paramétrique F définie par

 

est intégrable sur X, et l'on a :

 

(et même chose en intervertissant les rôles de x et y).

Exemples de calcul modifier

Calculs élémentaires modifier

Exemple :

On peut vérifier en utilisant la règle de Leibniz que pour tous réels a et b strictement positifs :

 .
Exemple :

Soient X = [0 ; 2], Y = [1 ; 3] et f définie sur X × Y par f(x,y) = x2 + y. Elle est intégrable sur X × Y puisqu'elle est continue. Par le théorème de Fubini, son intégrale se calcule donc de deux façons :

 

et

 .

Technique de Feynman modifier

La technique de Feynman (Feynman's technique ou Feynman's integral trick) est une méthode de calcul intégral décrite par Richard Feynman, qui consiste à définir une intégrale comme une valeur particulière d'une fonction sous forme d'une intégrale paramétrique pour donner une expression plus simple de cette fonction et donner la valeur de l'intégrale comme valeur de la fonction évaluée en un point[2],[3], [4], [5].

Exemples modifier

Intégrale de Serret

On veut calculer l'intégrale :

 

Par la technique de Feynman, on considère la fonction :

 

On a alors I(0) = 0 et I(1) = I. On calcule la dérivée de la fonction, en dérivant sous le signe intégral puis en décomposant la fraction en éléments simples :

 

On revient donc au calcul de l'intégrale par intégration :

 

Ce qui permet de conclure  .

Intégrale de Gauss

L'intégrale de Gauss joue un rôle important en analyse et en calcul des probabilités, elle est définie par :

 

Cette égalité peut s'obtenir de plusieurs façons, dont une[6] faisant intervenir les intégrales paramétriques

 .

Notes modifier

  1. Une méthode plus élémentaire permet de montrer que pour toute fonction continue   telle que   converge,   : voir cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  2. (en) Anonyme, « Integration: The Feynman Way »
  3. (en) Shubham et Tao, « Feynman Integrals »
  4. (en) Panda the Red, « Richard Feynman’s Integral Trick », sur Cantor’s Paradise,
  5. (en) Sunny Labh, « Feynman’s Favorite Math Trick »,
  6. Voir cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussi modifier

Article connexe modifier

Produit de convolution

Bibliographie modifier