Complétion d'une mesure

En mathématiques, une mesure μ est dite complète lorsque tout ensemble négligeable pour cette mesure appartient à la tribu sur laquelle μ est définie[1].

Lorsqu'une mesure n'est pas complète, il existe un procédé assez simple de complétion de la mesure, c'est-à-dire de construction d'une mesure complète apparentée de très près à la mesure initiale. Ainsi la mesure de Lebesgue (considérée comme mesure sur la tribu de Lebesgue) est la complétion de la mesure dite parfois « mesure de Borel-Lebesgue », c'est-à-dire sa restriction à la tribu borélienne.

Le procédé utilisé par Lebesgue pour construire la mesure à laquelle on a donné son nom, à savoir l'utilisation judicieuse d'une mesure extérieure, peut être appliqué à une mesure σ-finie abstraite et fournit une autre méthode de production de sa complétion.

Mesure complèteModifier

Définition — Soit   un espace mesuré, on dit que μ est une mesure complète lorsque tout ensemble négligeable pour μ appartient à la tribu  .

Dit plus formellement, μ est complète lorsque :

 

Complétion d'une mesureModifier

Définition de la mesure complétéeModifier

Pour   un espace mesuré, on note

 ,

  désigne la différence symétrique.

Comme le rappelle la notation, cette extension de la tribu   dépend de  . Une partie n'est en effet négligeable que par rapport à une mesure donnée.

Théorème — Soit   un espace mesuré, et   l'extension de   décrite ci-dessus. Alors :

  •   est une tribu sur   ;
  • si l'on pose   pour   et   négligeable, ceci constitue une définition cohérente et l'on a ainsi construit une mesure sur l'espace mesurable   ;
  • cette mesure   est une mesure complète prolongeant   ;
  •   est minimale au sens suivant : toute mesure complète prolongeant   prolonge aussi  [2].

La mesure   construite ci-avant est appelée la mesure complétée de  , la tribu   étant appelée la tribu complétée de   relativement à  .

Exemples : mesure de Lebesgue et complétionModifier

  • Sur  , la tribu de Lebesgue est la complétée de la tribu borélienne pour la mesure de Lebesgue (restreinte aux boréliens). Selon le point de vue adopté, ce peut être la définition de la tribu de Lebesgue[3] ou un théorème à la preuve moyennement consistante[réf. nécessaire][4] ; dans cette deuxième hypothèse, la définition de la mesure de Lebesgue a reposé sur une construction de mesure extérieure et les idées de la preuve sont grosso modo les mêmes que celles utilisées pour prouver le théorème plus général figurant ci-dessous à la section « Mesure complétée et mesure extérieure ».
  • Notons   la mesure de Lebesgue sur  , définie sur la tribu de Lebesgue. Si on travaille dans une théorie des ensembles garantissant l'existence d'ensembles non mesurables au sens de Lebesgue (typiquement avec l'axiome du choix), le produit   n'est pas une mesure complète. En effet si A est un ensemble non mesurable, A×{0} n'appartient pas à la tribu produit alors pourtant qu'il est négligeable pour la mesure produit. La mesure de Lebesgue sur   n'est ainsi pas égale à   mais en est seulement la complétée[5].

Propriétés de la mesure complétéeModifier

Variantes dans les définitionsModifier

Les variantes suivantes sont faciles à prouver, voire évidentes pour certaines :

Variantes dans la définition de la tribu complétée.
Avec les notations de la section précédente,
  • les éléments de la tribu complétée sont caractérisés par :
     [6].
  • on a aussi :
 [7].
Variante dans la définition de la mesure complétée.
Toujours avec les mêmes notations on peut écrire, pour B dans la tribu complétée[7] :
 

Permanence des classes de fonctions mesurablesModifier

Le résultat ci-dessous[8] montre que, bien qu'il y ait évidemment davantage de fonctions mesurables à valeurs réelles au départ de   qu'au départ de  , les classes d'équivalence pour l'égalité presque partout (et donc les espaces Lp) sont les mêmes.

Proposition — Soit   un espace mesuré dont on note   le complété. Pour toute fonction f à valeurs réelles mesurable au départ de  , il existe une fonction   qui lui soit presque partout égale et qui soit mesurable au départ de  .

Si f est à valeur positives ou nulles, on peut construire   vérifiant :

 

Mesure complétée et mesure extérieureModifier

Étant donné un espace mesuré  , on peut définir sur   une mesure extérieure μ* par la formule :

 

On définit ensuite les ensembles mesurables pour μ* comme les parties B de X qui vérifient la propriété :

 

On note alors   l'ensemble des parties mesurables pour μ*. Il s'avère que   est une tribu qui étend  , et que la restriction de μ* à cette tribu est une mesure, qui prolonge μ.

Ces notations et rappels étant posés, on peut énoncer le théorème suivant[9] :

Théorème — Avec les notations qui précèdent, la restriction de μ* à   est une mesure complète. Si la mesure μ est σ-finie, cette mesure complète coïncide avec la complétion de μ.

La preuve repose sur le lemme facile suivant :

Lemme — Avec les notations qui précèdent, pour tout ensemble μ*-mesurable B, il existe un   contenant B et pour lequel

 

La partie A est appelée une couverture mesurable de B.

Lorsque μ n'est pas σ-finie, la tribu   peut être plus étendue que la tribu complétée. Ainsi pour un ensemble X ayant au moins deux éléments, si l'on considère   et μ la mesure sur cette tribu valant +∞ sur X, la mesure μ est déjà complète alors que l'extension par mesure extérieure est une extension à   tout entier[9].

RéférencesModifier

  1. Marc Briane et Gilles Pagès, Théorie de l'intégration, Paris, Vuibert, coll. « Les grands cours Vuibert », , 302 p. (ISBN 2-7117-8946-2), p. 255.
  2. Briane et Pagès 2000, p. 255. La minimalité, par ailleurs évidente, est explicitement mentionnée par (en) Herbert Amann et Joachim Escher, Analysis III, Springer, (ISBN 9783764374792), p. 21.
  3. Voir par exemple Briane et Pagès 2000, p. 257.
  4. Voir par exemple (en) Donald L. Cohn, Measure Theory, Springer, (1re éd. 1980, Birkhäuser) (ISBN 9781489903990, lire en ligne), p. 37-38 — la preuve y couvre environ une page.
  5. Briane et Pagès 2000, p. 263-264.
  6. (en) Gearoid De Barra, Measure Theory and Integration, New Age International, (ISBN 9780852261866), p. 101.
  7. a et b Cohn 2013, p. 36.
  8. Briane et Pagès 2000, p. 265.
  9. a et b (en) Richard M. Dudley (en), Real Analysis and Probability, Cambridge University Press, (ISBN 9780521007542, lire en ligne), p. 103.