Intégrale paramétrique

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale paramétrique (également appelée intégrale à paramètre) est une fonction d'une variable, définie à partir d'une fonction de deux variables – la variable d'intégration et le paramètre – par intégration sur un ensemble fixe par rapport à la variable d'intégration.

Les deux variables, ainsi que les valeurs de la fonction, sont souvent choisies dans un espace euclidien. Une classe importante d'exemples est l'ensemble des transformées, dont la transformée de Fourier.

Définition formelleModifier

Soient T un ensemble,   un espace mesuré et

 

une application telle que pour tout élément t de T, l'application

  soit intégrable.

Alors l'application F définie par :

 

est appelée une intégrale paramétrique.

Le plus souvent, dans les applications :

ExemplesModifier

Transformée de FourierModifier

Soit g une fonction intégrable de ℝn dans ℂ, la transformée de Fourier de g est la fonction de ℝn dans ℂ définie par :

 

  désigne le produit scalaire usuel.

Fonction gamma d'EulerModifier

La fonction gamma d'Euler est définie entre autres pour tout réel x strictement positif, par :

 

Potentiel du champ de gravitationModifier

Le potentiel du champ de gravitation V(x) créé par un corps matériel M de densité variable ρ en un point x de ℝ3 extérieur à M est donné par :

 

G désigne la constante de gravitation et   la norme euclidienne.

LimiteModifier

Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que T est une partie de ℝ, que x est un réel adhérent à T, et que :

  •   ;
  • il existe une application intégrable   telle que
 .

Alors, le théorème de convergence dominée permet de prouver que φ est intégrable et que

 

soit encore :

 
Remarques.
  • La première hypothèse peut être affaiblie en supposant que la limite existe seulement pour presque tout ω ∈ Ω, sous réserve que l'espace mesuré   soit complet (ce qui est le cas pour les tribu et mesure de Lebesgue).
  • La seconde hypothèse peut être doublement affaiblie en supposant seulement qu'il existe une fonction intégrable g telle que pour chaque élément t de T appartenant à un certain voisinage de x on ait :   presque partout.
  • Les énoncés des sections suivantes possèdent des variantes analogues.
  • L'énoncé ci-dessus, même ainsi renforcé, reste vrai quand T et x sont une partie et un élément d'un espace métrique autre que ℝ (par exemple ou ℝ2).

ContinuitéModifier

Continuité locale : si l'on reprend la section précédente en supposant de plus que x appartient à T (donc pour tout ω ∈ Ω,   est continue au point x et  ), on en déduit que F est continue en x.

Continuité globale : par conséquent, si f est continue sur T × Ω avec T partie ouverte (ou plus généralement : localement compacte) de ℝ et Ω fermé borné d'un espace euclidien, alors F est définie et continue sur T.

DérivabilitéModifier

La règle de dérivation sous le signe d'intégration est connue sous le nom de règle de Leibniz (pour d'autres règles portant ce nom, voir Règle de Leibniz  ).

Étude localeModifier

Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que T est un intervalle de ℝ et que :

  • pour tout ω ∈ Ω,   est dérivable sur T ;
  • il existe une application intégrable g : Ω → ℝ telle que
 .

Alors, pour tout   l'intégrale paramétrique F est dérivable au point x, l'application   est intégrable, et :

 

Étude globaleModifier

Avec les mêmes hypothèses que dans l'énoncé « Continuité globale » (f est continue sur T × Ω avec T partie localement compacte de ℝ et   fermé borné d'un espace euclidien), si l'on suppose de plus que   est définie et continue sur T × Ω, alors F est de classe C1 sur T et pour tout xT, on a :

 

Forme générale unidimensionnelleModifier

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation du premier théorème fondamental de l'analyse et peut s'avérer utile dans le calcul de certaines intégrales réelles.

Soit f : ℝ2 → ℝn telle que f et   soient continues sur ℝ2, et soient a et b deux fonctions dérivables de ℝ dans ℝ. Alors, l'« intégrale paramétrique » (généralisée) F définie sur ℝ par :

 

est dérivable et

 

Remarque : pour une fonction f qui ne dépend que de la seconde variable, on retrouve bien le théorème fondamental de l'analyse en posant a(x) = a et b(x) = x.

Théorème de FubiniModifier

Soient par exemple X une partie de ℝp, Y une partie de ℝq, et

 

une application intégrable. Alors, d'après le théorème de Fubini, la fonction   est intégrable pour presque tout x de X, l'intégrale paramétrique F définie par

 

est intégrable sur X, et l'on a :

 

(et même chose en intervertissant les rôles de x et y).

Exemples de calculModifier

Calculs élémentairesModifier

Exemple :

On peut vérifier en utilisant la règle de Leibniz que pour tous réels a et b strictement positifs :

 .
Exemple :

Soient X = [0 ; 2], Y = [1 ; 3] et f définie sur X × Y par f(x,y) = x2 + y. Elle est intégrable sur X × Y puisqu'elle est continue. Par le théorème de Fubini, son intégrale se calcule donc de deux façons :

 

et

 .

Intégrale de GaussModifier

L'intégrale de Gauss joue un rôle important en analyse et en calcul des probabilités, elle est définie par :

 

Cette égalité peut s'obtenir de plusieurs façons, dont une[2] faisant intervenir les intégrales paramétriques

 .

NotesModifier

  1. Une méthode plus élémentaire permet de montrer que pour toute fonction continue   telle que   converge,   : voir cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  2. Voir cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussiModifier

Article connexeModifier

Produit de convolution

BibliographieModifier