Polynôme de Bernstein

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Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Sergeï Bernstein (1880-1968), permettent de donner une démonstration constructive et probabiliste[1] du théorème d'approximation de Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.

DescriptionModifier

Pour un degré m ≥ 0, il y a m + 1 polynômes de Bernstein B0
m
, ..., Bm
m
définis, sur l'intervalle [0 ; 1], par

 ,

où les   sont les coefficients binomiaux.

Les m + 1 polynômes de Bernstein forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus m.

PropriétésModifier

 
Polynômes de Bernstein de degré 3.

Ces polynômes présentent plusieurs propriétés importantes :  

  • partition de l'unité :
 
  • positivité :
 
  • symétrie :
 
  • valeurs aux bords :
 
avec δ le symbole de Kronecker
  • multiplicité des racines :
pour Bm
i
, 0 est une racine de multiplicité i et 1, une racine de multiplicité m – i.
  • formules de récurrence : pour m > 0,
 .
 
  • décomposition sur la base canonique :
 
et inversement
 

Lien avec la loi binomialeModifier

D'un point de vue probabiliste, pour tout p ∈ [0;1], Bm
i
(p)
est la probabilité  , où X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (m,p). C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Bernstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.

Notes et référencesModifier

Voir aussiModifier