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En mathématiques, le symbole de Pochhammer est une fonction spéciale utilisée en combinatoire et en théorie des fonctions hypergéométriques. Cette notation a été introduite par Leo Pochhammer. Elle sert à dénoter la factorielle croissante ou la factorielle décroissante.

Sommaire

NotationModifier

Le symbole qui représente cette fonction est employé dans plusieurs variantes :

  (entre autres en combinatoire)
  ou   (en analyse)
  (autres usages)

En théorie des fonctions spéciales, on note par   la factorielle croissante

 ,

alors que le même symbole est parfois utilisée en combinatoire pour représenter la factorielle décroissante

 .

Pour éviter des confusions, on utilise fréquemment - et ce sera fait ici - le symbole   pour la factorielle croissante et   pour la factorielle décroissante. Enfin, il y a une notation encore différente introduite par Ronald L. Graham, Donald E. Knuth et Oren Patashnik dans leur livre Concrete Mathematics[1]. Ils écrivent

 ,

pour la factorielle croissante, et

 

pour la factorielle décroissante.

Exemples :

  •  
  •  

Définition et usageModifier

On note

 

la factorielle croissante et

 

la factorielle décroissante.

Si   et   sont des entiers, on a :

  pour la factorielle croissante, et
  pour la factorielle décroissante.

Le produit vide   ou   est défini comme étant égal à 1 dans les deux cas. On peut étendre la définition à des valeurs non entières de n par

  pour la factorielle croissante,
  pour la factorielle décroissante.

D’après les propriétés de la fonction Gamma, cette définition est cohérente avec celle pour les valeurs entières de n.

PropriétésModifier

Les factorielles croissantes et décroissantes sont liées aux coefficients binomiaux par les relations suivantes :

 

Par conséquent, de nombreuses identités sur les coefficients binomiaux se transportent aux factorielles croissantes ou décroissantes.

Une factorielle croissante s'exprime comme une factorielle décroissante à partir de l'autre bout :

 

Ceci est un cas particulier de la relation :

 

entre factorielles croissantes et décroissantes.

Observons que les factorielles croissantes et décroissantes sont définies dans tout anneau, donc l'élément   peut être par exemple un nombre complexe, un polynôme ou toute fonction à valeur complexe.

Lien avec le calcul ombralModifier

La factorielle décroissante apparaît dans une formule qui permet de représenter un polynôme en utilisant l'opérateur de différence  , qui est similaire à la formule de Taylor en analyse. Dans cette formule, la factorielle décroissante   joue le rôle, dans le calcul des différences finies, du monôme   en calcul différentiel. Remarquons par exemple la similitude entre

 

et de

 

  désigne l'opérateur de dérivation des polynômes. L'étude d'analogies de ce type est connue sous le nom de calcul ombral. Une théorie générale qui couvre de telles relations est donnée par la théorie des suites de Sheffer. Les factorielles croissantes et décroissantes sont de telles suites, et vérifient :

 
 

Coefficients de connexionModifier

Comme les factorielles décroissantes forment une base de l'anneau des polynômes, on peut exprimer le produit de deux factorielles comme combinaison linéaire de factorielles. La formule est :

 

Les coefficients de   sont appelés les coefficients de connexion. Ils ont une interprétation combinatoire : c'est le nombre de façons de fusionner   éléments pris dans un ensemble à   éléments et   éléments pris dans un ensemble à   éléments.

q-symbole de PochhammerModifier

Il existe un équivalent du symbole de Pochhammer dans les q-séries : le q-symbole de Pochhammer, défini comme suit.

 

avec

 .

RéférencesModifier

  1. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth et Oren Patashnik (trad. Alain Denise), Mathématiques concrètes : Fondations pour l'informatique, Vuibert, coll. « Vuibert informatique », , 2e éd., 687 p. (ISBN 978-2711748242).
  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pochhammer symbol » (voir la liste des auteurs).
  • (en) Larry C. Andrews et Ronald L. Phillips, Mathematical Techniques for Engineers and Scientists, 2003

Lien externeModifier