Formule d'inversion de Pascal

La formule d'inversion de Pascal est une formule qui traduit l'involutivité de la transformation binomiale.

Énoncé

Soit $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ et $(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ deux suites à valeurs dans un groupe abélien, par exemple (ℝ, +). Pour tout entier naturel $n$, on a

$\forall p\in \{0,\dots ,n\}\quad b_{p}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}a_{k}$

si et seulement si

$\forall p\in \{0,\dots ,n\}\quad a_{p}=(-1)^{p}\sum _{k=0}^{p}(-1)^{k}{p \choose k}b_{k}$,

où les ${p \choose k}$ désignent les coefficients binomiaux.

Démonstration

Deux suites $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sont liées par $b_{p}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}a_{k}$ si et seulement si leurs séries formelles génératrices exponentielles $A$ et $B$ vérifient $B(X)=\mathrm {e} ^{X}A(X)$.

Démonstration

${\begin{aligned}B(X)&=\sum _{p\in \mathbb {N} }{\frac {X^{p}}{p!}}b_{p}\\&=\sum _{p\in \mathbb {N} }{\frac {X^{p}}{p!}}\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}a_{k}\\&=\sum _{p\in \mathbb {N} }X^{p}\sum _{k=0}^{p}{\frac {a_{k}}{k!(p-k)!}}\\&=\sum _{j,k\in \mathbb {N} }X^{j+k}{\frac {a_{k}}{k!j!}}\\&=\sum _{j\in \mathbb {N} }{\frac {X^{j}}{j!}}\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {X^{k}}{k!}}a_{k}\\&=\mathrm {e} ^{X}A(X).\end{aligned}}$

On a alors $A(-X)=\mathrm {e} ^{X}B(-X)$, c'est-à-dire (d'après cette même équivalence) $(-1)^{p}a_{p}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}(-1)^{k}b_{k}$.

Pour d'autres démonstrations, voir le § « Formulation alternative » de l'article sur la transformation binomiale (qui utilise le théorème d'interpolation de Newton) et la leçon « Formule d'inversion de Pascal » sur Wikiversité.

Applications classiques

On peut se servir de cette formule en dénombrement, en particulier pour calculer le nombre de dérangements d'un ensemble fini ou le nombre de surjections d'un ensemble fini vers un autre.

Nombre de dérangements d'un ensemble fini

Notons $N_{n}$ le nombre de dérangements — c'est-à-dire de permutations sans point fixe — d'un ensemble à n éléments. La formule d'inversion de Pascal donne :

$N_{n}=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}$.

(Voir les détails sur Wikiversité.)

Nombre de surjections d'un ensemble fini vers un autre

Notons $S_{p,n}$ le nombre de surjections d'un ensemble à $p$ éléments sur un ensemble à $n$ éléments. La formule d'inversion de Pascal donne :

$S_{p,n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}k^{p}$.

(Voir les détails sur Wikiversité.)

Version polynomiale

Une autre version de cette inversion avec $T^{k}$ au lieu de ${p \choose k}$ :

Soit un polynôme

$Q(T)=\sum _{k=0}^{m}c_{k}T^{k}$

(à coefficients dans un anneau, ou même seulement un groupe abélien), on a

$\sum _{j=0}^{m}{(-1)^{m-j}{m \choose j}Q(X+j)}=m!\,c_{m}$.

En effet, la m-ième différence finie de $Q$ est égale d'une part à $\sum _{j=0}^{m}(-1)^{m-j}{\binom {m}{j}}Q(X+j)$ et d'autre part à $m!\,c_{m}$.