Formule d'inversion de Pascal

La formule d'inversion de Pascal est une formule qui traduit l'involutivité de la transformation binomiale.

ÉnoncéModifier

Soit   et   deux suites à valeurs dans un groupe abélien, par exemple (ℝ, +). Pour tout entier naturel  , on a

 

si et seulement si

 ,

où les   désignent les coefficients binomiaux.

DémonstrationModifier

Deux suites   et   sont liées par   si et seulement si leurs séries formelles génératrices exponentielles   et   vérifient  .

On a alors  , c'est-à-dire (d'après cette même équivalence)  .

Pour d'autres démonstrations, voir le § « Formulation alternative » de l'article sur la transformation binomiale (qui utilise le théorème d'interpolation de Newton) et la leçon « Formule d'inversion de Pascal » sur Wikiversité.

Applications classiquesModifier

On peut se servir de cette formule en dénombrement, en particulier pour calculer le nombre de dérangements d'un ensemble fini ou le nombre de surjections d'un ensemble fini vers un autre.

Nombre de dérangements d'un ensemble finiModifier

Notons   le nombre de dérangements — c'est-à-dire de permutations sans point fixe — d'un ensemble à n éléments. La formule d'inversion de Pascal donne :

 .

(Voir les détails sur Wikiversité.)

Nombre de surjections d'un ensemble fini vers un autreModifier

Notons   le nombre de surjections d'un ensemble à   éléments sur un ensemble à   éléments. La formule d'inversion de Pascal donne :

 .

(Voir les détails sur Wikiversité.)

Version polynomialeModifier

Une autre version de cette inversion avec   au lieu de   :

Soit un polynôme

 

(à coefficients dans un anneau, ou même seulement un groupe abélien), on a

 .

En effet, la m-ième différence finie de   est égale d'une part à   et d'autre part à  .