Théorème binomial d'Abel

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le théorème binomial d'Abel, dû à Niels Henrik Abel, est l'identité polynomiale suivante[1],[2],[3], valide pour tout entier naturel  :

.

Quand on l'évalue en , on retrouve la formule du binôme de Newton, et pour , on retrouve que la différence finie est nulle[1].

VariantesModifier

  • La variante
     
    est le cas particulier   du théorème.
    Réciproquement, quand on l'évalue en   et  , on retrouve le cas général.
  • En remplaçant   par  , on déduit de cette première variante[4] :
     .
    Réciproquement, la première variante se déduit de la deuxième en remplaçant   par  .
    On peut de même remplacer   par   dans le théorème.
  • On peut bien sûr remplacer   par   dans le théorème. Ceci, précédé d'un remplacement de   par  , donne comme théorème équivalent[5] :
     .
  • En effectuant le changement d'indice   dans le théorème et ses variantes, on en trouve de nouvelles. Par exemple, la deuxième variante ci-dessus devient[6] :
     .

ExempleModifier

Vérifions la première variante dans le cas  .

 

DémonstrationModifier

Considérons les polynômes (à coefficients dans  )

 

et démontrons, par récurrence sur  , que   pour tout  .

  • On a bien  .
  • Supposons que pour un certain  ,  . Alors, les polynômes dérivés de   et   sont égaux car
     .
    Par ailleurs,  . Par conséquent,  

RéférencesModifier

  1. a et b (de) N. H. Abel, « Beweis eines Ausdruckes, von welchem die Binomial-Formel ein einzelner Fall ist », J. reine angew. Math, vol. 1,‎ , p. 159-160 (lire en ligne).
  2. (en) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 1 : Fundamental Algorithms (lire en ligne), chap. 1.2.6 (« Binomial coefficients ») équation (16) et exercices 50 à 52.
  3. Louis Comtet, Analyse combinatoire avancée (lire en ligne), p. 14.
  4. « Une identité d'Abel », sur les-mathematiques.net.
  5. (en) Charalambos A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, CRC Press, (lire en ligne), p. 207.
  6. (en) Eric W. Weisstein, « Abel's binomial theorem », sur MathWorld, aux notations près.

Voir aussiModifier

Article connexeModifier

Suite de Sheffer

BibliographieModifier

  • (en) Henry W. Gould (en), Combinatorial Identities, A Standardized Set of Tables Listing 500 Binomial Coefficient Summations, (lire en ligne), p. 15, (1.117), (1.118) et (1.119)
  • (en) Henry W. Gould et J. Quaintance (ed.), Tables of Combinatorial Identities, vol. 4, (lire en ligne), p. 18
  • (en) He Tianxiao, Leetsch C. Hsu et Peter J. S. Shiue, « On Abel-Gontscharoff-Gould's polynomials », Analysis in Theory and Applications, vol. 19, no 2,‎ , p. 166-184 (DOI 10.1007/BF02835242, lire en ligne)