Loi multinomiale

Multinomiale ou polynomiale
Paramètres	$n>0$ nombre d'épreuves (entier) $p_{1},\ldots p_{m}$ probabilités des événements ($\Sigma p_{i}=1$)
Support	$N_{i}\in \{0,\dots ,n\}$ $\Sigma N_{i}=n\!$
Fonction de masse	${\frac {n!}{n_{1}!\cdots n_{m}!}}p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{m}^{n_{m}}$
Espérance	$E\left[N_{i}\right]=np_{i}$
Variance	${\mathrm {Var} }(N_{i})=np_{i}(1-p_{i})$ ${\mathrm {Cov} }(N_{i},N_{j})=-np_{i}p_{j}$ ($i\neq j$)
Fonction génératrice des moments	$\left(\sum _{i=1}^{m}p_{i}e^{t_{i}}\right)^{n}$

Les lois binomiales concernent le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. Les lois multinomiales (aussi appelée distributions polynomiales) sont une généralisation de celles-ci, applicable par exemple à n jets d'un dé à six faces. Contrairement à ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont généralement pas équiprobables.

Autre présentation de la loi binomiale

La fonction de probabilité d'une variable aléatoire binomiale K qui s'écrit

$\mathbb {P} (K=k)={\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}$

peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables dont la somme est égale à n :

$N_{1}=K,\quad N_{2}=n-K,\quad p_{1}=p,\quad p_{2}=1-p$ $\mathbb {P} (N_{1}=n_{1},N_{2}=n_{2})={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!}}p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}$

Généralisation

Dans le cas multinomial à $m\,$ résultats possibles au lieu de 2, les variables deviennent $N_{i}\,$, $i=\{1,\ldots ,m\}\,$ et correspondent aux probabilités $p_{i}\,$, $i=\{1,\ldots ,m\}\,$ avec les contraintes

$\sum _{i=1}^{m}N_{i}=n\quad \sum _{i=1}^{m}p_{i}=1$

La fonction de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

$\mathbb {P} (N_{1}=n_{1},\ldots N_{m}=n_{m})={\frac {n!}{n_{1}!\ldots n_{m}!}}p_{1}^{n_{1}}\ldots p_{m}^{n_{m}}$

Chacune des variables reste une variable binomiale dont la moyenne et la variance sont

$\operatorname {E} (N_{i})=np_{i}\quad \operatorname {var} (N_{i})=np_{i}(1-p_{i})$

tandis que les covariances s'écrivent

$\operatorname {cov} (N_{i},N_{j})=-np_{i}p_{j}\,$

Approximation

Lorsque la variable aléatoire N_i devient assez grande, le théorème central limite montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite ${\frac {N_{i}-np_{i}}{\sqrt {np_{i}(1-p_{i})}}}$.

Si ces variables étaient indépendantes, $\sum _{i=1}^{m}{\frac {(N_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}(1-p_{i})}}$ suivrait une loi du χ² à m degrés de liberté.

Du fait de la contrainte linéaire qui s'applique, la variable $\sum _{i=1}^{m}{\frac {(N_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}$ suit une loi du χ² à (m - 1) degrés de liberté.

Cette dernière remarque est à la base du test du χ².