Loi multinomiale

Multinomiale ou polynomiale
Paramètres nombre d'épreuves (entier)
probabilités des événements ()
Support
Fonction de masse
Espérance
Variance
()
Fonction génératrice des moments

Les lois binomiales concernent le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. Les lois multinomiales (aussi appelée distributions polynomiales[1]) sont une généralisation de celles-ci, applicable par exemple à n jets d'un à six faces. Contrairement à ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont généralement pas équiprobables.

Autre présentation de la loi binomialeModifier

La fonction de probabilité d'une variable aléatoire binomiale K qui s'écrit

 

peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables dont la somme est égale à n :

 
 

GénéralisationModifier

Dans le cas multinomial à   résultats possibles au lieu de 2, les variables deviennent  ,   et correspondent aux probabilités  ,   avec les contraintes

 

La fonction de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

 

Chacune des variables reste une variable binomiale dont la moyenne et la variance sont

 

tandis que les covariances s'écrivent

 

ApproximationModifier

Lorsque la variable aléatoire Ni devient assez grande, le théorème central limite montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite  .

Si ces variables étaient indépendantes,   suivrait une loi du χ2 à m degrés de liberté.

Du fait de la contrainte linéaire qui s'applique, la variable   suit une loi du χ2 à (m - 1) degrés de liberté.

Cette dernière remarque est à la base du test du χ².

RéférencesModifier

  1. Statistiques théorique et appliquée, Pierre Dagnélie, Editions de Boeck, Bruxelles 2013