Ouvrir le menu principal

Wikipédia β

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Pôle.
Représentation de la fonction f : z 1 / (1 + z²) avec deux pôles d'ordre 1, en z = i et z = -i.

En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité qui se comporte comme la singularité z = 0 de la fonction , où n est un entier naturel non nul.

Un pôle de la fonction f est un point a pour lequel f(z) tend vers l'infini lorsque z tend vers a.

Le point a est un pôle de si n'est pas bornée au voisinage de a mais que est bornée en a. Si et ne sont pas bornées au voisinage de a, on parlera non plus de pôle mais de point singulier essentiel de .

DéfinitionModifier

Formellement, soient U un ouvert du plan complexe ℂ, a un élément de U et   une fonction holomorphe. On dit que a est un pôle de f s'il existe une fonction   holomorphe sur U et un entier naturel non nul n tels que :

  pour tout z dans U\{a}.

Une telle écriture est alors unique et l'entier n est appelé l'ordre du pôle. Un pôle d'ordre 1 est appelé pôle simple.

ExemplesModifier

  • La fonction
 
a un pôle d'ordre 1 ou pôle simple à  .
  • La fonction
 
a un pôle d'ordre 2 à   et un pôle d'ordre 3 à  .
  • La fonction
 
a des pôles d'ordre 1 à   La démonstration en est faite en développant   en séries de Taylor à l'origine.

Voir aussiModifier