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Variété algébrique

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Une variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines communes d'un nombre fini de polynômes en plusieurs indéterminées. C'est l'objet d'étude de la géométrie algébrique. Les schémas sont des généralisations des variétés algébriques.

Il y a deux points de vue (essentiellement équivalents) sur les variétés algébriques : elles peuvent être définies comme des schémas de type fini sur un corps (langage de Grothendieck), ou bien comme la restriction d'un tel schéma au sous-ensemble des points fermés. On utilise ici le deuxième point de vue, plus classique.

DéfinitionModifier

Une variété algébrique est, grossièrement, une réunion finie de variétés affines. Elle peut être vue comme un espace topologique muni de cartes locales qui sont des variétés affines, et dont les applications de transition sont des applications polynomiales.

L'espace topologique sous-jacent d'une variété algébrique est localement un ensemble algébrique affine lorsque le corps de base est algébriquement clos.

Variétés algébriquesModifier

On fixe un corps k. Un espace localement annelé   en k-algèbres est constitué d'un espace topologique   et d'un faisceau de k-algèbres   sur   tel que les germes   aux points   de   sont des anneaux locaux.

Une variété algébrique sur k est un espace localement annelé   en k-algèbres qui admet un recouvrement fini par des ouverts affines   (c'est-à-dire que l'espace   est une variété affine). On omet souvent   dans la notation d'une variété algébrique.

Bien que la structure d'une variété algébrique   dépende du faisceau structural  , notamment pour les variétés non réduites, on note généralement une variété algébrique simplement par   sans  .

Si   est une partie ouverte de  , les éléments de l'anneau   s'appellent les fonctions régulières sur  . Dans des situations favorables, les fonctions régulières s'identifient à des applications de   dans k.

Exemples

  • Les variétés projectives sont des variétés algébriques. Une variété projective est affine si et seulement si elle est de dimension 0, c'est-à-dire consiste en un nombre fini de points.
  • Soit   le plan affine  , soit   le point de   correspondant à l'idéal maximal de   engendré par  . Alors le complémentaire   de   est une partie ouverte. Une fonction régulière   sur   doit être régulière sur la partie ouverte  , donc   est une fraction rationnelle de dénominateur une puissance de  . Par symétrie, elle a aussi pour dénominateur une puissance de  . On conclut que  . On montre que   n'est ni une variété affine, ni une variété projective. Elle est cependant quasi-affine, c'est-à-dire ouvert d'une variété affine.

Fonctions régulières vues comme des fonctionsModifier

Soit   une variété algébrique sur un corps algébriquement clos k. On fixe un ouvert   et une fonction régulière  . On veut identifier   à une application de   dans k.

Pour tout  , le corps résiduel   en   est égal à k. En effet, si on prend un voisinage ouvert affine   de  . Alors   correspond à un idéal maximal  . Par le théorème des zéros de Hilbert, on a  . Par ailleurs, le corps résiduel de   est précisément  . On note   l'image canonique de   dans k par  . Donc on obtient une application   qui à   associe  .

On suppose de plus que   est une variété réduite, c'est-à-dire que   est un anneau réduit pour tout ouvert   (cela revient à dire que   est une rénion finie d'ouverts affines  , avec les   réduits). Alors à l'aide du théorème des zéros de Hilbert, on montre sans peine que l'application   est identiquement nulle si et seulement si   est nul. Ainsi l'anneau des fonctions régulières sur   s'identifie à un sous-anneau de l'ensemble des fonctions  . Lorsque U est un ensemble algébrique affine   dans  , une fonction régulière est alors simplement la restriction à U d'une application polynomiale  .

MorphismesModifier

Un morphisme de variétés algébriques   sur k est un morphisme d'espaces localement annelés sur k. Il est donc constitué d'une application continue   et d'un morphisme de faisceaux de k-algèbres  .

On peut expliciter le morphisme   comme suit. Si   est un ouvert de   et  , alors   est un morphisme de k-algèbres, avec en plus une compatibilité avec les structures des anneaux locaux. Quand on peut identifier les fonctions régulières   comme des fonctions sur  , alors   envoie une fonction régulière   vers la fonction  .

En général on omet   dans la notation du morphisme  .

Étant données deux morphismes de variétés algébriques  ,   sur le même corps, on peut les composer et obtenir un morphisme  .

Le morphisme identité sur   est constitué de l'application identité  , et du morphisme identité sur  .

Un isomorphisme est un morphisme   qui admet un inverse. Cela revient à dire que l'application   est un homémorphisme et que   est un isomorphisme. Deux variétés algébriques sont dites isomorphes s'il existe entre eux un isomorphisme de variétés algébriques.

La classe des variétés algébriques sur k forment une catégorie.

  • Morphismes vers une variété algébrique affine

Soit   une variété algébrique affine associée à une k-algèbre  . Pour tout morphisme de variétés algébriques  , le morphisme de faisceaux   fournit, en prenant les sections sur  , un morphisme de  -algèbres  .

  • Proposition L'application Mor Hom  est bijective et fonctorielle en   et en  .

Restreinte aux variétés affines  , cette proposition dit que la catégorie des variétés algébriques affines sur   est équivalente à la catégorie (opposée) des algèbres de type fini sur  .

Immersions et sous-variétésModifier

Une sous-variété ouverte d'une variété algébrique   est une partie ouverte   de   munie du faisceau de  -algèbres  . Une sous-variété ouverte d'une variété algébrique est une variété algébrique. Une partie ouverte de   est toujours implicitement munie de cette structure de sous-variété ouverte.

On dit qu'un morphisme de variétés algébriques   est une immersion ouverte si   est une immersion ouverte topologique et s'il induit un isomorphisme de variétés algébriques entre   et la sous-variété ouverte   de  .

Toute variété affine est une sous-variété ouverte d'une variété projective.

On dit qu'un morphisme de variétés algébriques   est une immersion fermée si   est une immersion fermée topologique et si le morphisme de faisceaux   est surjectif.

Une sous-variété fermée de   est une partie fermée   de   munie d'une structure de variété algébrique de sorte que l'inclusion canonique   soit l'application sous-jacentes à une immersion fermée de variétés algébriques  .

Toute partie fermée de   peut être munie d'une structure de sous-variété fermée (unique si on exige la sous-variété à être réduite).

On montre que toute sous-variété fermée d'une variété algébrique affine est affine, et que toute sous-variété fermée d'une variété projective est projective.

Une immersion de variétés algébriques est une composition (dans n'importe quel sens) d'une immersion ouverte et d'une immersion fermée. Une sous-variété est une sous-variété ouverte d'une sous-variété fermée (et aussi sous-variété fermée d'une sous-variété ouverte).

Une variété quasi-affine est une sous-variété d'une variété affine. Une variété quasi-projective est une sous-variété d'une variété projective. Ainsi quasi-affine implique quasi-projective.

Points rationnelsModifier

Article connexe : Point rationnel.

Le théorème des zéros de Hilbert décrit une bijection entre les points de l'espace affine   et   lorsque   est algébriquement clos. Sur un corps quelconque (surtout pour des raisons arithmétiques), il y a lieu d'étudier les points qui restent dans cette correspondance, ce sont les points rationnels.

Soit   une variété algébrique sur un corps  . Un point   de   est appelé un point rationnel (sur  ) si le corps résiduel   en  , qui contient toujours  , est égal à  . L'ensemble des points rationnels de   est noté  . Un point d'une sous-variété est rationnel si et seulement s'il est rationnel vu comme point dans la variété ambiante.

Si   est un morphisme, alors   envoie les points rationnels de   en des points rationnels de  . Mais en général, au-dessus d'un point rationnel de  , il n'existe pas nécessairement de point rationnel de   (considérer   et  , où   est une extension finie non-triviale de  ).

Un point d'une variété algébrique affine associée à   est rationnel si et seulement si l'idéal maximal de   correspondant est engendré par les classes de   pour un point   de   (qui sera nécessairement un zéro commun des éléments de  ). En particulier, les points rationnels de l'espace affine   correspondent bijectivement à  . Cela relie les solutions d'un système d'équations polynomiales à l'ensemble des points rationnels d'une variété algébrique affine.

Si   est un point de l'espace projectif ordinaire  , l'idéal homogène de   engendré par les  ,  , est un idéal premier homogène appartenant à Proj  . On montre que cette association établit une bijection entre   et l'ensemble des points rationnels de l'espace projectif  . On obtient alors une correspondance biunivoque entre les solutions homogènes d'un système d'équations polynomiales homogènes avec l'ensemble des points rationnels d'un variété projective.

Soit   un morphisme de   vers l'espace affine  . On a vu ci-dessus qu'il lui correspond un homomorphisme de  -algèbres  . Notons   l'image de  . Pour tout point rationnel   de  , notons   l'image de  dans le corps résiduel  . Alors:

  • Proposition. Pour tout point rationnel   de  , l'image   est le point rationnel de   qui s'identifie à   dans  .

Corps particuliersModifier

En géométrie algébrique réelle, on étudie les points réels   d'une variété algébrique définie sur  .

En géométrie algébrique complexe, on étudie surtout les points complexes   d'une variété algébrique définie sur  .

En géométrie arithmétique, le centre d'intérêt porte sur les points rationnels   d'une variété algébrique définie sur un corps de nombres ou un corps fini  .

Points à valeurs dans une extensionModifier

Soit   une variété algébrique sur un corps k. On fixe une clôture algébrique   de k. D'une certaine manière, les points de   peuvent être vus comme des (classes de conjugaison sous l'action du groupe de Galois absolu   de  ) points de   à coordonnées dans  .

En effet, localement   est une variété affine égale à  . L'ensemble algébrique

 

possède une application canonique   qui à   associe l'idéal maximal

 

Cette application est surjective, de sorte que tout point de   peut être vu comme un point (non unique) de  . Le groupe de Galois   opère sur   composante par composante, et les points de   s'identifient alors aux orbites de cette action.

Si   est une sous-extension de  , un point   avec les   est appelé un  -point de   ou un point de   à valeurs dans   (noter cependant que ce n'est pas vraiment un point de  ). L'ensemble de ces points est noté  . Lorsque  , on retrouve la notion de points rationnels.

Si   est galoisienne de groupe de Galois  , alors   opère sur   coordonnée par coordonnée. L'ensemble des orbites   s'identifie à l'ensemble des points   de   de corps résiduel  .

Sur la terminologie [réf. nécessaire]Modifier

La définition du terme variété algébrique varie suivant les auteurs. Celui présenté est le plus large possible. Traditionnellement, il désigne une variété algébrique intègre quasi-projective (c'est-à-dire plongée dans un produit d'espaces projectifs) sur un corps algébriquement clos. Plus tard, André Weil a introduit, dans son livre Foundations of algebraic geometry, les variétés algébriques abstraites (non plongées) dans le but de construire algébriquement des jacobiennes des courbes algébriques. Puis les variétés algébriques réduites (c'est-à-dire que les anneaux de fonctions régulières sont réduits) mais non-nécessairement irréductibles ont été admises. On note qu'un ensemble aussi simple que la réunion de deux droites distinctes dans le plan affine n'est pas irréductible, mais est tout à fait digne d'intérêt. Les variétés avec des nilpotents sont apparues avec la nécessité de considérer les nombres duaux (dans la théorie de la déformation par exemple). Enfin, pour les besoins de la théorie des nombres, on a admis des corps de base non-nécessairement algébriquement clos (par exemple finis). La théorie a culminé avec le langage des schémas d'Alexander Grothendieck, une variété algébrique est alors un schéma de type fini sur un corps. Cependant, les différents usages du terme variété algébrique subsistent toujours.

BibliographieModifier