Variété algébrique affine

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En géométrie algébrique, une variété affine est un modèle local pour les variétés algébriques, c'est-à-dire que celles-ci sont obtenues par recollement de variétés affines. Grossièrement, une variété affine est un ensemble algébrique affine X avec une structure algébrique supplémentaire qui est la donnée de l'anneau des fonctions régulières sur chaque partie ouverte de X.

OrigineModifier

Points de vue analytique et algébriqueModifier

Le point de vue le plus simple pour décrire une variété algébrique affine est l'ensemble des solutions d'un système d'équations polynomiales à coefficients dans un corps commutatif K. Autrement dit, une variété affine est une partie de Kn dont les points annulent des polynômes P1, ...,Pr de K[X1, ...,Xn]. La géométrie algébrique offre une vision purement algébrique de ce concept de variété affine, par l'équivalence suivante :

 

avec Spm le spectre maximal (i.e. l'ensemble des idéaux maximaux),   l'idéal engendré par les   et √ le radical d'un idéal.

Le point de vue de gauche est dit analytique et celui de droite algébrique. Dans le point de vue algébrique on ne manipule plus des points de Kn mais des polynômes à n indéterminées.

Exemples

  • L'ensemble   est une variété algébrique affine (lieu d'annulation du polynôme nul), il correspond à Spm K[X1, ...,Xn] entier.
  • Le cercle x² + y² = 1 dans ℝ² est une variété affine, de même que les coniques.

Explication de la correspondance ≡Modifier

On note A = K[X1, ...,Xn] / √( P1, ...,Pr) la K-algèbre quotient servant à définir la variété affine.

Ce quotient permet d'écrire Pi (X1, ...,Xn) = 0 en remplaçant les petits xjK par des grands Xj indéterminés. On peut donc formellement effectuer les mêmes calculs sur les Xj que sur les xj.

Le radical d'idéal autorise les simplifications de la forme

 

avec Q un polynôme et m entier positif, à l'instar de ce qui se passerait en travaillant avec les petits xjK. Autrement dit A est une K-algèbre réduite, au sens où son seul élément nilpotent est 0.

L'opération Spm sert à extraire de A un ensemble que l'on a envie d'identifier avec Z(P1, ...,Pr)Kn, l'intersection des zéros de tous les Pi, c'est-à-dire la variété du point de vue analytique. On a en effet l'injection canonique suivante

 

avec π la projection canonique dans l'anneau quotient. Si de surcroît le corps K est algébriquement clos, le Nullstellensatz prouve que cette injection est une bijection. Lorsque K n'est pas algébriquement clos, l'application   n'est plus surjective en général. Par exemple le membre de gauche peut être vide sans que celui de droite le soit.

Une information sur la variété affine est codée dans l'intégrité de A. Considérons notamment la variété affine réelle (x-1)(x-2) = 0. Par intégrité dans les réels, on déduit immédiatement que x=1 ou x=2, ce qui fait que la variété a 2 points. On vérifie que Spm A a également 2 points, comme il se doit. En revanche on ne peut ni écrire X=1 ni X=2 dans les polynômes, car chacun réduirait la variété à 1 point, A n'est donc pas intègre ici. Il vient qu'une variété affine est faite d'un seul morceau si et seulement si son algèbre quotient A est intègre, i.e. √(P1, ...,Pr) est un idéal premier. On dit dans ce cas que la variété est irréductible.

On remarque enfin que A est une K-algèbre de type fini ; le reste de cet article est donc consacré à la structure des spectres maximaux de ces algèbres. On verra que ce sont des espaces topologiques localement annelés.

Dimension de KrullModifier

On définit désormais une variété algébrique affine comme Spm A, avec A une K-algèbre de type fini. Une variété affine est alors naturellement munie de la topologie de Zariski. Ici nous ne considérons que le spectre maximal et non la totalité du spectre premier ; il n'y a donc pas de points génériques et les variétés affines vérifient l'axiome de séparation T1, au lieu de T0.

Avec la topologie de Zariski, on a une bonne définition de la dimension, la dimension de Krull, qui coïncide avec l'intuition sur les cas simples.

Faisceau des fonctions régulièresModifier

Lorsque   est algébriquement clos et   est réduit, tout élément   de   peut s'identifier à une application  , qui à tout idéal maximal   associe la classe de   dans  . Lorsque  , cette application n'est autre que l'application polynomiale associée à   lorsque   est identifié à   par le théorème des zéros de Hilbert.

Par analogie, dans le cas général (  quelconque, et   non nécessairement réduit), les éléments de   sont appelés des fonctions régulières sur   (par opposition aux fonctions rationnelles qui peuvent avoir des pôles). Et puisque la localisation   a pour spectre maximal  , il est naturel d'appeler les éléments de   des fonctions régulières sur l'ouvert  .

Pour définir les fonctions régulières sur des ouverts quelconques de  , nous avons besoin de la notion de faisceaux sur  .

Proposition — Soit   l'espace topologique  . À isomorphisme près, il existe un unique faisceau d'anneaux commutatifs   sur   dont l'anneau des sections sur tout ouvert principal   s'identifie à l'anneau localisé  . Pour tout idéal maximal   de  , l'anneau des germes de fonctions régulières en   (vu comme un point de  ) s'identifie au localisé   de   en  .

Pour tout ouvert  , les éléments de   sont appelés des fonctions régulières sur  . Le couple   est un espace localement annelé. Et le faisceau   est appelé le faisceau structural de  .

Exemples

  • Si   et si   est un ouvert, réunion d'ouverts principaux  , alors  , où   est un pgcd des  . Attention que   en général.
  • Supposons   intègre de corps des fractions  . Alors toute localisation de   se plonge canoniquement dans  . Les fonctions régulières sur un ouvert   sont alors les fractions   telle que pour tout ouvert principal   contenu dans  ,   peut s'écrire sous la forme   pour un   et un entier naturel  . Comme   ne s'annule jamais dans   (c'est-à-dire que   n'appartient à aucun idéal maximal dans  ) ,   est une fraction rationnelle sans pôle dans   en un certain sens.

Si   est un morphisme de  -algèbres, qui induit une application continue  , alors on a un morphisme d'espaces localement annelés   dont l'application continue sous-jacente est  , et le morphisme d'anneaux   est  .

Définition formelleModifier

Une variété (algébrique) affine sur un corps   est un espace localement annelé de la forme    est le spectre maximal d'une  -algèbre de type fini   muni de la topologie de Zariski, et où   est le faisceau des fonctions régulières sur  . S'il n'y a pas de confusion possible, la variété affine   sera notée simplement  .

Un morphisme de variétés affines   est un morphisme d'espaces localement annelés  .

Exemple La variété affine   s'appelle l'espace affine de dimension   sur  .

Premières propriétésModifier

  • Un morphisme de variétés affines   est uniquement déterminé par un morphisme de  -algèbres   et le morphisme   est celui qui est associé à   comme plus haut. Ainsi un morphisme
 

est toujours donné par un morphisme de  -algèbres   tel que  . Au plan ensembliste (si   est algébriquement clos), le morphisme envoie un point   sur  , où  . C'est une application polynomiale.

  • Toute sous-variété fermée d'une variété affine   est une variété affine   pour un idéal  .
  • Pour tout  , la variété affine   est une sous-variété ouverte de   dont l'espace sous-jacent est  .
  • En général, il existe des sous-variétés ouvertes affines de   qui ne sont pas de la forme  , et il existe des sous-variétés ouvertes qui ne sont pas affines.

Espaces tangent et cotangent de ZariskiModifier

Puisque les polynômes se dérivent formellement (et que leurs dérivées sont des polynômes), on peut algébriser une partie des calculs de la géométrie différentielle. Il est notamment possible d'effectuer des calculs linéaires sur une variété algébrique Spm A en chacun de ses points m, en y construisant un espace vectoriel tangent et cotangent. Ces espaces vectoriels s'obtiennent à partir de l'anneau localisé Am.

RéférenceModifier

(en) Robin Hartshorne, Algebraic Geometry (en) [détail des éditions], chap. I (Le corps de base est algébriquement clos.)