Variété jacobienne

En géométrie algébrique, la jacobienne d'une courbe est une variété algébrique (en fait une variété abélienne) qui paramètrise les diviseurs de degré 0 sur . C'est un objet fondamental pour l'étude des courbes, et c'est aussi un exemple « concret » de variété abélienne qui sert de variété test.

DéfinitionModifier

On fixe une courbe algébrique projective lisse   de genre au moins 1 sur un corps  . Dans une première approximation, on peut dire que sa jacobienne   est une variété algébrique dont les points correspondent aux diviseurs de degré 0 sur   modulo équivalence rationnelle. Comme ces derniers forment naturellement un groupe,   est même un groupe algébrique.

De façon rigoureuse: on considère le foncteur de Picard (faisceautisé)  . Ce foncteur est représentable par un schéma en groupes lisse localement de type fini. La composante connexe de l'élément neutre, notée   est appelée la jacobienne de  .

On montre que   est une variété abélienne.

On note par   le groupe des diviseurs de degré 0 sur   modulo équivalence rationnelle. Par construction, on a un homomorphisme de groupes injectif

 

dont le conoyau est un sous-groupe du groupe de Brauer de k. Supposons pour simplifier que   admet un point rationnel P. Alors l'homomorphisme ci-dessus est un isomorphisme. En particulier, sur la clôture algébrique   de  , on a toujours un isomorphisme de groupes  

Exemple Si   est une courbe de genre 1, alors   est une courbe elliptique, isomorphe à   comme variétés algébriques si   admet un point rationnel.

PropriétésModifier

  •   est une variété abélienne de dimension   si   est le genre de  .
  • Si   possède un point rationnel  , alors on a une immersion fermée   qui envoie   sur 0 (élément neutre de  ) et tout point rationnel   sur la classe du diviseur de degré 0   dans  . De plus tout morphisme   dans une variété abélienne   qui envoie   sur 0 se factorise en   et un morphisme de variétés abéliennes  .
  • Sous l'hypothèse ci-dessus, pour tout entier positif  , il existe un morphisme   du produit symétrique   (le quotient de   par le groupe symétrique   opérant par 'permutation des coordonnées') dans la jacobienne. Ensemblistement,   envoie une somme   de   points rationnels sur la classe du diviseur  . Le morphisme   est birationnel. L'image de   est un diviseur dans  , appelé diviseur théta  .
  • Le diviseur   induit un isomorphe de   avec sa variété abélienne duale. On dit que   est autoduale.
  • Toute variété abélienne est un quotient d'une jacobienne.

Théorème de TorelliModifier

BibliographieModifier

(en) J. Milne, « Jacobian varieties », in Arithmetic Geometry, ed. Cornell, Silverman, Springer-Verlag.