Point rationnel

En théorie des nombres et géométrie algébrique, les points rationnels d'une variété algébrique définie sur un corps sont, lorsque X est définie par un système d'équations polynomiales, les solutions dans k de ce système.

Définition formelleModifier

Soit   une variété algébrique définie sur un corps  . Un point   est appelé un point rationnel si le corps résiduel   de X en x est égal à  . Cela revient à dire que les coordonnées du point   dans une carte locale affine appartiennent toutes à  . Lorsque la variété algébrique est déduite d'un système d'équations polynômiales homogène ou affine, les points rationnels correspondent aux solutions du système dans  .

L'ensemble des points rationnels de   est noté  .

Sur un corps de base algébriquement clos, tous les points (fermés) sont rationnels. Dans le cas contraire,   peut très bien être vide sans que   le soit.

Quelques exemplesModifier

Une partie importante de la géométrie arithmétique concerne l'étude des points rationnels des variétés algébriques définies sur un corps de nombres.

  • L'ensemble des points rationnels d'un espace affine   s'identifie à  . De même l'ensemble des points rationnels d'un espace projectif   (comme variété algébrique) s'identifie à l'espace projectif  .
  • Si X est la courbe algébrique projective définie par l'équation   dans ℚ, où p est un nombre premier impair, les points rationnels X(ℚ) correspondent aux solutions homogènes de l'équation de Fermat d'exposant  . Le point   est un point rationnel (sur ℚ), par contre le point    est une racine primitive p-ième de l'unité, n'est pas rationnel.
  • La courbe affine x2 + y2 + 1 = 0 sur ℝ n'a pas de points rationnels.
  • La conjecture de Mordell, démontrée par Gerd Faltings, dit que pour toute courbe projective non-singulière de genre au moins deux, définie sur un corps de nombres, admet au plus un nombre fini de points rationnels.
  • Le théorème de Mordell-Weil, généralisé par Lang et Néron[1],[2], dit que pour toute variété abélienne A sur un corps K de type fini sur ℚ ou un corps fini, l'ensemble des points rationnels A(K) est un groupe abélien de type fini.

Voir aussiModifier

§ "Points rationnels" de l'article : Variété algébrique

NotesModifier

  1. (en) Serge Lang et André Néron, Rational points of abelian varieties over function fields, Amer. J. Math. 81 (1959), 95–118
  2. (en) Brian Conrad, « Chow's K/k-image and K/k-trace, and the Lang-Néron theorem », Enseign. Math., 52 (2006), 37–108 [lire en ligne].