Variété algébrique projective

variété algébrique définie dans un espace projectif
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En géométrie algébrique, les variétés projectives forment une classe importante de variétés. Elles vérifient des propriétés de compacité et des propriétés de finitude. C'est l'objet central de la géométrie algébrique globale.

Sur un corps algébriquement clos, les points d'une variété projective sont les points d'un ensemble algébrique projectif.

DéfinitionModifier

On fixe un corps (commutatif)  .

  • Algèbre homogène. Soit   le quotient de   par un idéal homogène (i.e. idéal engendré par des polynômes homogènes). C'est alors une algèbre graduée
 
  est l'ensemble des classes modulo   des polynômes homogènes de degrés  . Les éléments de   sont appelés des éléments homogènes de degré  . Un idéal homogène de   est un idéal engendré par des éléments homogènes. Un idéal homogène particulier est   ensemble des éléments homogènes de degré strictement positif. C'est l'idéal maximal engendré par les classes des  .
  • Espace topologique. Par définition, l'ensemble Proj   est constitué des idéaux premiers homogènes de   ne contenant pas   (donc strictement contenus dans  ) et maximaux pour cette propriété. Pour tout idéal homogène  , on note   l'ensemble des idéaux premiers   dans Proj   contenant  . Lorsque l'on fait varier les  , les parties   de   constituent les parties fermées de la topologie de Zariski sur Proj  .
  • Une base de topologie. Si   est un élément homogène, on note   le complémentaire de  . C'est un ouvert principal. Les ouverts principaux constituent une base de topologie. De plus, l'espace topologique   est homéomorphe au spectre maximal  , où   est l'ensemble des éléments de la localisation   qui peuvent être représentés par une fraction   avec   homogène de degré  . L'algèbre   est de type fini sur  .
  • Proposition. Il existe une unique structure de variété algébrique sur   telle que pour tout   homogène, la sous-variété ouverte   soit isomorphe à la variété algébrique affine  .
  • Définition. Une variété projective sur   est une variété algébrique sur   isomorphe à   pour une  -algèbre homogène  .
  • Une variété quasi-projective est une sous-variété ouverte d'une variété projective. Toute variété affine se plonge comme sous-variété ouverte dans une variété projective. Ainsi toute variété quasi-affine est quasi-projective.

ExemplesModifier

  • La variété projective   s'appelle l'espace projectif de dimension   sur  . On note cette variété   ou  . Elle est réunion des   ouverts   qui sont isomorphes à l'espace affine Spm  . Ses points sur   sont exactement les points de l'espace projectif de dimension   sur  . Sa dimension de Krull est  .
  • Si   est un polynôme homogène à   variables et non nul. Alors   est une hypersurface de  , donc de dimension  . Pour  , on obtient alors une courbe plane projective. C'est notamment le cas des courbes de Fermat (avec   et  ) et des courbes elliptiques.

PropriétésModifier

  • Si   est une algèbre homogène, quotient de  . Alors   est une sous-variété fermée de l'espace projectif  . Inversement, on montre que toute sous-variété fermée d'un espace projectif (ou d'une variété projective) est une variété projective.
  • Le produit de deux variétés projectives est une variété projective. Cela résulte du plongement de Segre qui identifie le produit   à une sous-variété fermée de  .
  • Toute variété projective est séparée, et propre (en) sur  .
  • Si   est un morphisme d'une variété projective dans une variété algébrique séparée, alors   est une application fermée (i.e. l'image de toute partie fermée est fermée).
  • Si  =ℝ ou ℂ, la variété topologique   est compacte. Pour toute variété projective   sur  , l'ensemble   des  -points de   est alors une partie fermée (pour la topologie de la variété topologique)  . En particulier,   est compact pour la topologie induite.
  • Pour l'espace projectif  , on montre aisément que l'algèbre O( )des fonctions régulières sur   est égale à   (i.e. les seules fonctions régulières globales sont les fonctions constantes). Pour une variété projective   en général, la  -algèbre   est de dimension vectorielle finie. C'est un cas particulier du théorème de Serre sur la cohomologie des faisceaux cohérents. Les variétés projectives sont ainsi à rapprocher des espaces analytiques (complexes) compacts.
  • Il en résulte qu'une variété projective qui est aussi affine est nécessairement constituée d'un nombre fini de points (i.e. de dimension 0).