Morphisme de type fini

En géométrie algébrique, un morphisme de type fini peut être pensé comme une famille de variétés algébriques paramétrée par un schéma de base. C'est un des types de morphismes les plus couramment étudiés.

Définition

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Soit   un morphisme de schémas. On dit que   est de type fini si pour tout ouvert affine   de  ,   est quasi-compact (i.e. réunion finie d'ouverts affines) et que pour tout ouvert affine   contenu dans  , le morphisme canonique   est de type fini.

On montre que cette propriété est équivalente à la suivante qui est plus facilement vérifiable : il existe un recouvrement de   par des ouverts affines   tels que chaque   soit la réunion d'un nombre fini d'ouverts affines   avec   de type fini.

On dira aussi que   est un schéma de type fini sur  . Lorsque  , on dit aussi que   est de type fini sur  .

Exemples

  • Si   est un morphisme d'anneaux de type fini, alors le morphisme de schémas associé   est de type fini. En particulier, si   est un corps et   une algèbre de type fini sur  , alors   est une variété algébrique sur  .
  • Un espace projectif   est de type fini sur  .

Lien avec les variétés algébriques

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On fixe un corps  .

Soit   un schéma de type fini sur  . Soit   le sous-ensemble des points fermés de  , muni de la topologie induite par celle de   et on note   l'inclusion canonique. Alors le couple   est un espace localement annelé isomorphe à une variété algébrique.

Ce procédé définit un foncteur de la catégorie des schémas de type fini sur   vers la catégorie des variétés algébriques sur  . On montre que ce foncteur est une équivalence de catégories. Ainsi, les points de vue schémas de type de fini et variétés algébriques sont essentiellement équivalentes.

Propriétés

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  • Une immersion fermée est un morphisme de type fini.
  • La composition de morphismes de type fini est de type fini.
  • Si   et   sont de type fini, alors le produit fibré   est de type fini.
  • Si   est de type fini et si   est un morphisme de schémas, alors le changement de base   est de type fini.
  • En particulier, pour tout point  , la fibre   est de type fini sur le corps résiduel  , c'est donc une variété algébrique sur  . Ainsi   peut être vu comme la famille des variétés algébriques   paramétrée par les points de  , et sur des corps de base éventuellement variables.
  • Si   est un morphisme de  -schémas de type fini, alors   lui-même est de type fini. En particulier, un morphisme entre deux variétés algébriques est automatiquement de type fini.

Si on considère  , les fibres sont les droites affines   (fibre au-dessus du point correspondant à l'idéal nul de  ) et les   (fibre au-dessus du point correspondant à l'idéal maximal   de  ) pour les nombres premiers  . En quelque sorte   encode les droites affines sur tous les corps premiers.

Bibliographie

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A. Grothendieck et J. Dieudonné : Éléments de géométrie algébrique, Chapitre I. Springer Verlag, 1971. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften ; 166).