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En mathématiques, un faisceau est un outil permettant de suivre systématiquement des données définies localement et rattachées aux ouverts d'un espace topologique. Les données peuvent être restreintes à des ouverts plus petits, et les données correspondantes à un ouvert sont équivalentes à l'ensemble des données compatibles correspondantes aux ouverts plus petits couvrant l'ouvert d'origine. Par exemple, de telles données peuvent consister en des anneaux de fonctions réelles continues ou lisses définies sur chaque ouvert.

En géométrie, aussi bien d'ailleurs en géométrie algébrique qu'en géométrie différentielle, la notion de faisceau est une généralisation de celle d'ensemble des sections d'un fibré vectoriel. Dans ce cadre, X est une variété algébrique ou une variété différentielle.

Les faisceaux ont été introduits par Jean Leray en topologie algébrique lorsqu'il était en captivité durant la Seconde Guerre mondiale[1]. Sous l'impulsion, notamment, d'Henri Cartan[2], de Jean-Pierre Serre[3] et d'Alexandre Grothendieck[4],[5] (à qui on doit le terme préfaisceau), les faisceaux ont pris par la suite une importance considérable dans de nombreux domaines des mathématiques où l'on cherche à passer, pour un problème donné, d'une solution locale à une solution globale. Les obstructions à un tel passage s'étudient grâce à la cohomologie des faisceaux.

PréfaisceauxModifier

Définition d'un préfaisceau —  Soit X un espace topologique et   une catégorie. Un préfaisceau d'objets   sur X est la donnée de :

  • pour tout ouvert U de X, un objet   appelé objet des sections de   sur U (ou au-dessus de U) ;
  • pour tout ouvert V inclus dans U, un morphisme  , appelé morphisme de restriction de U sur V ;

tels que :

  •   tout ouvert U ;
  •   pour toutes inclusions d'ouverts WVU.

  est appelé objet des sections globales.

De façon équivalente[6], on peut définir un préfaisceau   comme un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts de X (avec les inclusions comme morphismes) dans  .

Les préfaisceaux les plus courants sont à valeurs dans des catégories concrètes (catégories des ensembles, groupes, anneaux, espaces vectoriels, algèbres, modules, espaces topologiques, groupes topologiques, etc.). Dans ce cas, pour tous ouverts VU, on note :

 

et un élément   s'appelle une section de   au-dessus de U. On écrit   au lieu de  .

ExemplesModifier

  • L'exemple fondamental de préfaisceau est celui où les morphismes de restriction sont les restrictions usuelles de fonctions. Notamment sur une variété différentielle (resp. une variété analytique) X, pour tout ouvert UX, l'ensemble   des fonctions indéfiniment dérivables de U vers les complexes (resp. l'ensemble   des fonctions analytiques à valeurs complexes) est un anneau. Ces anneaux forment un préfaisceau d'anneaux sur X en considérant les restrictions usuelles des fonctions.
  • On peut de même considérer l'ensemble   des distributions sur la variété différentielle X (resp. l'ensemble   des hyperfonctions sur la variété analytique réelle X) si cette variété est de dimension finie et paracompacte (par exemple s'il s'agit d'un ouvert non vide de  ); cet ensemble est un groupe abélien. On obtient le préfaisceau des distributions (resp. des hyperfonctions) sur X en considérant les restrictions de ces distributions (resp. de ces hyperfonctions) à des ouverts de X.
  • Dans le plan complexe, une équation différentielle ordinaire, linéaire et à coefficients holomorphes, étant donnée, les espaces de solutions sur des ouverts évitant les points singuliers de l'équation forment un préfaisceau d'espaces vectoriels de dimension égale à l'ordre de l'équation.

Les exemples ci-dessus de préfaisceaux sont des faisceaux (voir infra).

Morphismes de préfaisceaux et de faisceauxModifier

Les préfaisceaux sur un ensemble X peuvent être considérés comme des objets d'une catégorie, dont les flèches sont définies comme suit.

Définition d'un morphisme de préfaisceaux et d'un morphisme de faisceaux — Étant donné deux préfaisceaux   et   sur un même espace topologique X, un morphisme de préfaisceaux   est la donnée d'une famille de morphismes   pour tout ouvert U, telle que, pour toute section s de   sur U on ait :

 .

Un morphisme de faisceaux (voir infra) est un morphisme de préfaisceaux entre deux faisceaux.

Fibres et germesModifier

Soit   un préfaisceau sur X à valeurs dans une catégorie   qui admet des limites inductives. La fibre (EGA, 0.3.1.6) (terminologie anglaise : « stalk », tige) de   en un point x de X est par définition l'objet de   limite inductive

 ,

la limite étant prise sur tous les ouverts contenant x, la relation d'ordre sur ces ouverts étant l'inclusion  , et les morphismes de transition étant les morphismes de restriction  .

Lorsque   est une catégorie concrète, l'image canonique d'une section s dans   est le germe de s au point x, noté sx.

Remarque. Certains auteurs appellent germe de   en un point x ce qui est appelé ci-dessus la fibre de   en ce point.

FaisceauxModifier

Définition d'un faisceauModifier

Reprenons l'exemple des fonctions   sur une variété différentielle X. La propriété de ces fonctions d'être indéfiniment différentiables est locale. Il est donc possible de « recoller » des fonctions   coïncidant sur les intersections de leur domaine de définition (y compris lorsque cette partie est vide) en une fonction   globale. Il en irait de même pour des fonctions continues ou plus généralement de classe  . Il en va de même, bien que ce soit moins évident, pour des distributions sur une variété différentielle paracompacte de dimension finie, ou pour des fonctions analytiques ou des hyperfonctions sur une variété analytique réelle paracompacte de dimension finie. C'est cette propriété qu'on souhaite ici généraliser à partir de la notion de préfaisceau.

Faisceau d'ensemblesModifier

DéfinitionModifier

Condition pour qu'un préfaisceau d'ensembles soit un faisceau —  Un préfaisceau d'ensembles   sur X est appelé faisceau lorsque pour tout ouvert V de X, réunion d'une famille d'ouverts  , et pour toute famille   de sections de   sur les ouverts  , vérifiant :

 

il existe une unique section s de   sur V telle que :  .

RemarqueModifier

Comme la famille vide constitue un recouvrement de l'ouvert vide, la condition ci-dessus entraîne que   est un singleton .

Autres casModifier

On définit de même, sur un espace topologique X, un faisceau de groupes (resp. de groupes abéliens, d'anneaux, etc.) comme étant un préfaisceau de base X à valeurs dans la catégorie des groupes (resp. des groupes abéliens, des anneaux, etc.) qui vérifie la condition ci-dessus.

Faisceau à valeurs dans une catégorieModifier

Définition généraleModifier

Examinons maintenant le cas d'un faisceau sur X à valeurs, de manière générale, dans une catégorie   (EGA, 0.3.1) :

Définition générale d'un faisceau — 

Un préfaisceau   sur X à valeurs dans une catégorie   est appelé faisceau si la condition suivante est vérifiée :

Pour tout objet T de  ,   est un faisceau d'ensembles.

Voyons quelques exemples fondamentaux.

Faisceau de modulesModifier

Soit   un faisceau d'anneaux sur un espace topologique X. On appelle  -Module à gauche un faisceau d'ensembles   de base X muni de la structure suivante : pour tout ouvert U, on se donne sur   une structure de module à gauche sur l'anneau  , de telle sorte que l'application de restriction   ( ) soit un homomorphisme de modules compatible avec l'homomorphisme d'anneaux  . Pour tout  , par passage à la limite inductive sur les ouverts décroissants  , la fibre   est un  -module à gauche, et la donnée de ces fibres pour tout  , avec la structure de  -module à gauche qui vient d'être précisée, équivaut à celle du  -Module à gauche  .

Faisceau de groupes topologiquesModifier

Soit   la catégorie des groupes topologiques (avec pour morphismes les homomorphismes continus). Un faisceau sur X à valeurs dans   est un faisceau de groupes   tel que, pour tout ouvert U et tout recouvrement de U par des ouverts  , la topologie du groupe   soit la moins fine rendant continues les restrictions  . Un morphisme de faisceaux de groupes topologiques   est un morphisme de faisceaux de groupes tel que pour tout ouvert U,   est continu (EGA, 0.3.1.4).

On définirait de même un faisceau d'anneaux topologiques ou un faisceau de modules topologiques sur un faisceau d'anneaux topologiques.

Généralisation, ToposModifier

Dans la définition ci-dessus, le faisceau   est un foncteur d'un type particulier de la catégorie des ouverts d'un espace topologique dans une catégorie  . On peut envisager un cas plus général : soit   une « petite catégorie » (c.-à-d. une catégorie dont la classe des objets est un ensemble) admettant des produits fibrés, et   une catégorie. Un préfaisceau   sur   à valeurs dans   est, de manière générale, un foncteur contravariant de   vers  . On peut munir   d'une structure appelée « topologie de Grothendieck »[7]. Cela consiste à définir pour tout objet U de   des « familles couvrantes » de U, à savoir des familles de morphismes   qui ont des propriétés analogues au recouvrement d'un ouvert U d'un espace topologique X par une famille d'ouverts  , les morphismes, dans ce cas, étant les inclusions. La catégorie  , munie d'une topologie de Grothendieck, s'appelle un site. Un faisceau sur le site   à valeurs dans   se définit à partir de la notion de préfaiceau en raisonnant, mutatis mutandis, comme si   était un espace topologique habituel[8], une intersection de parties ouvertes étant remplacée par le produit fibré. On appelle topos toute catégorie équivalente à la catégorie des faisceaux d'ensembles sur un site. La notion de topos généralise celle d'espace topologique. Il existe toutefois nombre d'exemples qui n'ont pas de rapport avec la topologie : si G est un groupe, la catégorie des ensembles sur lesquels G opère est un topos ; le « topos ponctuel », c.-à-d. la catégorie des faisceaux sur l’espace réduit à un point, n’est autre que la catégorie des ensembles[9].

Soit X un objet de  . Le foncteur représentable   est, d'après ce qui précède, un préfaisceau, dit « représenté par X ». Le foncteur covariant canonique  , de la catégorie   dans la catégorie des faisceaux d'ensembles sur  , est pleinement fidèle[10], et permet donc d'identifier X avec le préfaisceau  , ainsi que la catégorie   avec la catégorie des préfaisceaux sur  . La « topologie canonique » sur   se définit comme étant la topologie (de Grothendieck) la plus fine (c.-à-d. celle qui a le plus de familles couvrantes) pour laquelle les foncteurs représentables   sont des faisceaux ; en choisissant sur   une topologie (de Grothendieck) moins fine que la topologie canonique, on peut donc identifier le site   avec son topos[9].

Faisceau des sections d'un espace étaléModifier

Soit X un espace topologique. On appelle espace étalé de base[11] X un couple (E, p) où E est un espace topologique et p est un homéomorphisme local de E dans X (c.-à-d. tout point de X appartient à un ouvert que p applique homéomorphiquement sur un ouvert). Pour tout sous-ensemble S de X, on appelle section de (E, p) au-dessus de S une application continue   telle que   pour tout  . Soit, pour tout ouvert U,   l'ensemble des sections de (E, p) au-dessus de U. Alors   (muni des morphismes de restriction aux ouverts   des applications  ) est un faisceau d'ensembles de base X, appelé faisceau des sections de l'espace étalé (E, p). On montre le résultat suivant[6] :

Théorème —  Tout faisceau d'ensembles de base X est isomorphe au faisceau des sections d'un espace étalé, unique à un isomorphisme près.

On peut identifier le faisceau d'ensembles   et l'espace étalé (E, p), ce qui explique pourquoi de nombreux auteurs définissent un faisceau comme étant un espace topologique vérifiant les conditions idoines (c'est le point de vue dû à Michel Lazard (de)[2] ; celui présenté ci-dessus a été développé ultérieurement par Grothendieck[4],[5]).

Faisceau associé à un préfaisceauModifier

Soit   un préfaisceau. On appelle faisceau associé au préfaisceau   un faisceau   muni d'un morphisme de préfaisceaux   possédant la propriété universelle suivante : pour tout morphisme   dans un faisceau, il existe un unique morphisme   tel que  . Le faisceau associé, s'il existe, est unique. Dans le cas des préfaisceaux à valeurs dans une catégorie où la limite inductive existe (par exemple les catégories des ensembles, des groupes, des anneaux, des algèbres sur un anneau, des modules sur un anneau etc.), le faisceau associé existe. Le morphisme   induit un isomorphisme des fibres  .

Le faisceau   se construit explicitement de la manière suivante dans le cas où le préfaisceau  , défini sur l'espace topologique X, est à valeurs dans une catégorie concrète où la limite inductive existe : pour tout ouvert U de X, soit   l'ensemble des fonctions s' de U dans la réunion disjointe   tel que pour tout   et il existe un voisinage ouvert V de x,  , et   tels que   pour tout  . Alors   est le faisceau associé à  . Pour des raisons évidentes, il est également appelé le faisceau des sections de  . Si   est un faisceau, le morphisme   est un isomorphisme.

Faisceau induitModifier

Section au-dessus d'un ensemble quelconqueModifier

Soit X un espace topologique métrisable, S une partie de X, et   un faisceau de base X. L'ensemble   des sections de   au-dessus de S se définit par

 

c.-à-d. une section de   au-dessus de S est un germe de section définie dans un voisinage ouvert de S.

Faisceau induit sur un ensemble quelconqueModifier

On définit comme suit le faisceau induit sur S, noté  : pour tout sous-ensemble V de S, relativement ouvert par rapport à S, l'ensemble   de ses sections au-dessus de V coïncide avec  .

ExemplesModifier

  • Soit A un ensemble non vide, X un espace topologique, et   le préfaisceau sur X défini par   pour tout ouvert U non vide de X et  , les morphismes de restriction   étant tous égaux à l'identité  . Pour tout  , et ce préfaisceau est donc appelé le préfaisceau constant de fibre A sur X. On a  , et une section   est un point de A en tant que rattaché à l'ouvert U, autrement dit c'est une application constante de U dans A, ou encore une application   de la forme   qui, en tant qu'application  , est constante. Notons que si   et   sont deux ouverts disjoints, et si   et   sont deux sections définies respectivement sur   et  , il n'existe pas en général de fonction constante   définie sur   qui coïncide avec   sur   et avec   sur  , sauf si A est un singleton ; en écartant ce cas, le préfaisceau considéré n'est donc pas un faisceau dès qu'il existe dans X deux ouverts disjoints, c'est-à-dire lorsque X n'est pas un espace topologique irréductible. L'espace étalé est   lorsque A est muni de la topologie discrète. Cet espace s'identifie au faisceau   associé au préfaisceau  . Pour tout ouvert U de X,   est l'ensemble des applications continues  , autrement dit l'ensemble des applications localement constantes de U dans A (constantes lorsque U est connexe). Ce faisceau est appelé faisceau simple de base X et de fibre A (certains auteurs l'appellent faisceau constant de base X et de fibre A, terminologie qui peut être trompeuse puisque ses sections ne sont pas en général des fonctions constantes ; par ailleurs on définit le faisceau localement constant, mais il a une autre signification).
  • De la même manière, on peut définir le préfaisceau   des fonctions réelles bornées sur un espace topologique X, mais ce préfaisceau n'est pas, en général, un faisceau, car la bornitude n'est pas une propriété locale. Une section   est une fonction bornée sur U, et le faisceau   des sections de   est donc le faisceau des fonctions localement bornées sur X. Celui-ci coïncide avec   si, et seulement si de tout recouvrement de X par une famille d'ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini, c'est-à-dire si X est un espace quasi-compact.
  • Les fonctions dérivables forment un faisceau, de même que les fonctions   ou holomorphes, que les distributions, les hyperfonctions, etc. C'est dû au fait que, cette fois, la définition de ces objets est locale et que par « recollement » on peut passer du local au global.
  • Soit p un point fixé d'un espace topologique séparé X et E un ensemble. On peut définir un préfaisceau   qui à un ouvert U associe E si U contient p et un singleton   sinon. L'application de restriction de U à V est l'identité ou l'unique application de E dans le singleton   suivant l'appartenance de p à U et V. On vérifie que c'est un faisceau, dit « gratte-ciel ». La fibre en   de ce faisceau est le singleton   si x est différent de p et E si x=p.
  • Dans une catégorie  , muni d'une topologie de Grothendieck moins fine que la topologie canonique, soit   un objet de cette catégorie: alors   est un faisceau sur le site  , comme on l'a dit plus haut.

Image directe et image inverseModifier

Soit   une application continue entre deux espaces topologiques. Soit   un préfaisceau sur  . Son image directe par   est le préfaisceau   qui à tout ouvert   de   associe  , les applications de restrictions sont évidentes. Si   est un faisceau, il en est de même pour  .

La construction de l'image inverse   est plus délicate. Soit   un préfaisceau sur  , à valeurs dans une catégorie où la limite inductive existe. À tout ouvert   de  , on associe la limite inductive des   lorsque W parcourt l'ensemble des ouverts de Y contenant  . Lorsque   est un faisceau, ce procédé ne donne pas un faisceau en général et   est alors par définition le faisceau associé à ce préfaisceau.

Les constructions d'image directe et d'image inverse sont adjointes dans le sens suivant: Soient  ,   des faisceaux sur  ,   respectivement. Alors on a une bijection canonique entre   et  .

Morphismes injectifs et morphismes surjectifsModifier

Un morphisme de faisceaux   sur   est injectif si   est injectif pour tout ouvert   de  . Il est surjectif si les morphismes de fibres   sont surjectifs. Les morphismes injectifs sont exactement les monomorphismes dans la catégorie des faisceaux sur  , et les morphismes surjectifs sont exactement les épimorphismes dans cette catégorie.

Noyau, image, quotientModifier

Soit   un morphisme de faisceaux de groupes abéliens (resp. de  -Modules à gauche, où   est un faisceau d'anneaux de base X) sur un espace topologique  .

  • Le noyau   de   est le faisceau défini par  .
  • L'image   de   est le faisceau associé au préfaisceau  .
  • Le conoyau   de   est le faisceau associé au préfaisceau  

La catégorie des faisceaux de groupes abéliens (resp. des  -Modules à gauche) sur X est une catégorie abélienne, et on a la suite exacte

 .
  • En particulier, si   est l'inclusion d'un sous-faisceau  , alors son conoyau est le faisceau quotient de   par  . On note ce quotient par  . En général,   est différent de   car le « foncteur section »   n'est pas exact (il est exact à gauche mais non à droite en général). En revanche, on a pour les fibres l'égalité   car le « foncteur fibre »
 

est exact, d'où l'exactitude de la suite

 .

Faisceau des germes d'homomorphismesModifier

Soit   un faisceau d'anneaux sur un espace topologiques X et  ,   deux  -Modules à gauche sur X. Le préfaisceau

 

est un faisceau de groupes abéliens noté  , et appelé faisceau des germes d'homomorphismes de   dans  . Pour tout  , on a

 

Soit  . Le germe   est représenté par, disons,  , où U est un voisinage ouvert de x. Puisque  ,   induit un morphisme de fibres  . Par conséquent, il existe une application canonique

 

qui n'est ni injective ni surjective en général (elle est bijective si   est un « faisceau cohérent »[3]).

Produit tensoriel de faisceauxModifier

Soit   un faisceau d'anneaux sur un espace topologiques X,   un  -Module à droite et   un  -Module à gauche. On appelle produit tensoriel de   et   le faisceau de groupes abéliens noté   engendré par le préfaisceau  . La fibre de ce faisceau au point   est le groupe abélien

 .

Typologie des faisceauxModifier

Nous présentons ci-dessous trois types de faisceaux : les faisceaux flasques et les faisceaux mous, introduits par Godement[6] et la notion (introduite antérieurement par Henri Cartan[12]) de faisceau fin.

Faisceaux flasquesModifier

Définition et propriétés généralesModifier

  • Soit   un faisceau sur un espace topologique X, à valeurs dans une catégorie concrète. Ce faisceau est flasque si pour tout ouvert U de X, le morphisme de restriction   est surjectif.
  • Le fait pour un faisceau d'être flasque est une propriété locale. Par conséquent,   est flasque si, et seulement si pour tous ouverts  , l'application   est surjective.
  • Pour tout ouvert U, le « foncteur section »   est exact sur la catégorie des faisceaux flasques de groupes abéliens (ou de  -Modules à gauche sur un faisceau d'anneaux  ).

ExemplesModifier

  • Les fonctions réelles quelconques sur un espace topologique forment un faisceau flasque.
  • Comme on le voit facilement, tout faisceau simple sur un espace topologique irréductible est flasque (« théorème de Grothendieck »[6]).
  • Il en va de même du faisceau des fonctions réelles bornées sur un espace topologique quasi-compact.
  • Soit X une variété analytique réelle paracompacte de dimension n. Le faisceau des germes d'hyperfonctions sur X est flasque[13].

Faisceaux mousModifier

Définition et propriétés généralesModifier

  • Soit X un espace topologique paracompact et   un faisceau sur X, à valeurs dans une catégorie concrète. Ce faisceau est mou si toute section au-dessus d'un fermé se prolonge à X tout entier.
  • Pour un faisceau, le fait d'être mou est une propriété locale: si tout point de X possède un voisinage ouvert U tel que toute section de   au-dessus d'un sous-ensemble fermé de X, contenu dans U, se prolonge à U, alors   est un faisceau mou.
  • Soit X un espace topologique métrisable (donc paracompact) ; pour tout sous-ensemble localement fermé S de X (c.-à-d. tout sous-ensemble S de X possédant un voisinage ouvert U dans lequel il est relativement fermé), le « foncteur section »   est exact sur la catégorie des faisceaux mous de groupes abéliens (ou de  -Modules à gauche sur un faisceau d'anneaux  ).
  • Soit X un espace topologique paracompact et   un faisceau sur X, à valeurs dans une catégorie concrète. Si   est flasque, il est mou.

ExemplesModifier

Soit X une variété différentielle paracompacte de dimension n. Les faisceaux de groupes abéliens de base X suivants sont mous: le faisceau   des germes de fonctions continues sur X, le faisceau   des germes de fonctions indéfiniment dérivables sur X, le faisceau   des germes de distributions sur X. En revanche, ces faisceaux ne sont pas flasques[13].

Faisceaux finsModifier

Définition et propriétés généralesModifier

  • Soit X un espace topologique paracompact et   un faisceau de groupes abéliens de base X. Ce faisceau est dit fin si le faisceau d'anneaux   est mou.
  • Le faisceau   est fin si, et seulement si étant donné deux sous-ensembles fermés disjoints A et B de X, il existe un homomorphisme   induisant l'identité au voisinage de A et 0 au voisinage de B.
  • Si   et   sont des faisceaux de groupes abéliens et si   est fin, alors le faisceau de groupes abéliens   est fin (cette propriété explique l'importance des faisceaux fins).

ExemplesModifier

  • Le faisceau   des germes d'applications de X dans   est fin, et il en va donc de même de tout  -Module.
  • Si X est une variété différentielle paracompacte de dimension finie, les faisceaux d'anneaux commutatifs suivants sont fins: le faisceau   des germes de fonctions réelles différentiables sur X, ainsi que les faisceaux   et   (voir supra). Il en va donc de même des faisceaux de Modules sur ces faisceaux d'anneaux, par exemple du faisceau   des germes de distributions ou des formes différentielles extérieures sur X.
  • En revanche, le faisceau simple de fibre   et le faisceau   des germes de fonctions holomorphes sur une variété analytique paracompacte de dimension finie ne sont pas fins[14].

Notes et référencesModifier

NotesModifier

RéférencesModifier

Article connexeModifier