Espace localement annelé

Le concept d'espace localement annelé est commun à différents domaines de géométrie, mais est plus utilisé en géométrie algébrique et en géométrie analytique complexe.

DéfinitionModifier

Un espace localement annelé est un espace topologique X muni d'un faisceau d'anneaux commutatifs OX, appelé faisceau structural, tel qu'en tout point, l'anneau des germes de OX soit un anneau local.

Si A est un anneau (commutatif unitaire), un espace localement annelé dont le faisceau structural est un faisceau de A-algèbres est appelé un espace localement annelé sur A.

Exemples

Un sous-espace ouvert de   est une partie ouverte   munie du faisceau d'anneaux  . Le couple   est un espace localement annelé.

Corps résiduelModifier

Soit   un point de  . Soit   l'idéal maximal de l'anneau local  . Le quotient   est le corps résiduel de   en  . Si   est un voisinage ouvert de  , alors   et   ont le même corps résiduel en  .

Par exemple, Si   est une variété algébrique, alors   appartient à un voisinage ouvert affine  . Le point   correspond à un idéal maximal   de  , et le corps résiduel   est égal à  .

Pour les variétés complexes (resp. différentielles), les corps résiduels sont tous égaux à ℂ (resp. ℝ).

MorphismesModifier

Un morphisme entre deux espaces localement annelés (X, OX) et (Y, OY) est la donnée d'une application continue f : XY et d'un morphisme de faisceaux d'anneaux f# : OY → f*OX tel que pour tout x ∈ X, le morphisme d'anneaux OY, f(x)OX, x induit par f# soit un morphisme d'anneaux locaux (c'est-à-dire qu'il envoie l'idéal maximal de l'anneau source dans l'idéal maximal de l'anneau but). Quand il n'y a pas d'ambiguïté possible, on note souvent le morphisme   par  .

Un exemple trivial de morphisme est l'identité d'un espace dans lui-même. On peut naturellement composer deux morphismes  ,   pour obtenir un morphisme  . Un isomorphisme est un morphisme   qui admet un morphisme inverse, c'est-à-dire dont la composition (à gauche ou à droite) avec   est égale à l'identité.

Un morphisme (f, f#) : (X, OX) → (Y, OY) est une immersion si f est une immersion au sens topologique (c'est-à-dire que f induit un homéomorphisme de X sur son image), et si pour tout x ∈ X, le morphisme d'anneaux OY, f(x)OX, x est surjectif.

Exemple Soit   un point de  . Alors l'espace topologique   muni du faisceau constant   est un espace localement annelé, et on a un morphisme   qui est l'inclusion canonique   au niveau du point  . C'est une immersion.

Espace tangentModifier

Soit   un point de  . Soit   l'idéal maximal de l'anneau local  . Alors le quotient   est un espace vectoriel sur  . Son dual s'appelle l'espace tangent de Zariski de   en  . C'est surtout en géométrie algébrique qu'on utilise cette approche. Cependant, dans le cas des variétés différentielles et variétés analytiques complexes, cette notion coïncide avec la définition standard.

RéférenceModifier

A. Grothendieck et J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, Chapitre 0, § 4