Anneau local

anneau commutatif possédant un unique idéal maximal

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal. En géométrie algébrique, les anneaux locaux représentent les fonctions définies au voisinage d'un point donné.

DéfinitionsModifier

Le quotient d'un anneau local A par son unique idéal maximal s'appelle le corps résiduel de A.

Un homomorphisme d'anneaux locaux   est un morphisme d'anneaux qui envoie l'idéal maximal de   dans celui de  .

Remarque : Pour certains auteurs[1], un anneau ayant un unique idéal maximal est appelé quasi-local, réservant ainsi le nom d'anneaux locaux aux anneaux quasi-locaux noethériens. Mais cette convention est peu répandue.

ExemplesModifier

  • Tout corps commutatif est un anneau local, d'idéal maximal  .
  • Pour tout nombre premier  , l'ensemble   des nombres rationnels dont le dénominateur n'est pas divisible par   est un anneau local ; son unique idéal maximal est  . Cet anneau est aussi principal, il correspond à une structure d'anneau de valuation discrète.
  • Tout anneau de valuation est local.
  • Pour tout corps commutatif  , l'anneau   des séries formelles à coefficients dans   et à   variables est un anneau local dont l'idéal maximal est engendré par  .
  • L'anneau des germes des fonctions holomorphes à n variables à l'origine (0,…,0) est un anneau local dont l'idéal maximal est induit par les fonctions holomorphes s'annulant à l'origine. On peut aussi remplacer les fonctions holomorphes par les fonctions de classe Ck pour tout entier fixé k positif ou nul.

CritèreModifier

Un anneau A est local si et seulement si les éléments non inversibles de A forment un idéal (qui sera alors l'idéal maximal de A).

ConstructionsModifier

Le procédé de localisation fait apparaître de façon naturelle des anneaux locaux. En effet, si   est un idéal premier de  , alors le localisé   de   par rapport à la partie multiplicative A \ P est un anneau local, d'idéal maximal engendré par l'image de   dans  . L'exemple des rationnels   ci-dessus est la localisation de   en l'idéal premier  .

Le quotient d'un anneau local par un idéal propre est encore un anneau local.

PropriétésModifier

Dans un anneau local, tout idéal inversible est principal[2].

Un anneau commutatif unitaire est appelé un anneau semi-local (en) s'il ne possède qu'un nombre fini d'idéaux maximaux. La somme directe d'un nombre fini d'anneaux locaux est semi-locale. Si   est le complémentaire de la réunion d'un nombre fini d'idéaux premiers   dans un anneau commutatif unitaire  , alors le localisé   est semi-local. Ses idéaux maximaux sont les idéaux engendrés par les images des   (on ne garde que les   contenus dans aucun autre  ).

Notes et référencesModifier

  1. (en) Masayoshi Nagata, Local Rings, p. 13.
  2. Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions], p. 21.

Articles connexesModifier