Anneau local

anneau commutatif possédant un unique idéal maximal

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal[1]. En géométrie algébrique, les anneaux locaux représentent les fonctions définies au voisinage d'un point donné.

CritèresModifier

Pour tout anneau A, les propriétés suivantes sont équivalentes :

DéfinitionsModifier

Le quotient d'un anneau local A par son unique idéal maximal s'appelle le corps résiduel de A.

Un homomorphisme d'anneaux locaux   est un morphisme d'anneaux qui envoie l'idéal maximal de   dans celui de  .

Remarque : Pour certains auteurs[3], un anneau ayant un unique idéal maximal est appelé quasi-local, réservant ainsi le nom d'anneaux locaux aux anneaux quasi-locaux noethériens. Mais cette convention est peu répandue.

ExemplesModifier

  • Pour tout nombre premier p et tout entier n ≥ 1, l'anneau ℤ/pnℤ est local (d'idéal maximal constitué des multiples de p).
  • Plus généralement, un anneau non nul dans lequel tout élément non inversible est nilpotent est local[4] (et l'idéal maximal est le seul idéal premier).
  • Les anneaux principaux locaux sont :
  • Plus généralement, tout anneau de valuation est local.
  • L'anneau des germes des fonctions holomorphes à n variables à l'origine (0,…,0) est un anneau local dont l'idéal maximal est constitué des germes de fonctions holomorphes nulles à l'origine. On peut aussi remplacer les fonctions holomorphes par les fonctions de classe Ck pour un entier naturel fixé k.

ConstructionsModifier

Le procédé de localisation fait apparaître de façon naturelle des anneaux locaux. En effet, si P est un idéal premier de A, alors le localisé AP de A par rapport à la partie multiplicative A \ P est un anneau local, d'idéal maximal engendré par l'image de P dans AP. L'exemple ℤ(p) ci-dessus est la localisation de ℤ en l'idéal premier pℤ.

Le quotient d'un anneau local par un idéal propre est encore un anneau local.

Pour tout anneau local A et tout ensemble I, l'anneau A[[(Xi)i∈I]] des séries formelles en les Xi et à coefficients dans A est local (d'idéal maximal engendré par les Xi et l'idéal maximal de A).

PropriétésModifier

Dans un anneau local, tout idéal inversible est principal[5].

Dans un anneau local, les seuls idempotents sont 0 et 1[6].

Un anneau commutatif unitaire est appelé un anneau semi-local (en) s'il ne possède qu'un nombre fini d'idéaux maximaux. La somme directe d'un nombre fini d'anneaux locaux est semi-locale. Si   est le complémentaire de la réunion d'un nombre fini d'idéaux premiers   dans un anneau commutatif unitaire  , alors le localisé   est semi-local. Ses idéaux maximaux sont les idéaux engendrés par les images des   (on ne garde que les   contenus dans aucun autre  ).

Notes et référencesModifier

  1. a b c et d N. Bourbaki, Algèbre (lire en ligne), p. VIII.23.
  2. a b et c (en) Joachim Lambek, Lectures on Rings and Modules, AMS, , 3e éd. (1re éd. 1966) (lire en ligne), p. 75.
  3. (en) Masayoshi Nagata, Local Rings, p. 13.
  4. (en) T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, coll. « GTM » (no 131), (lire en ligne), p. 296, (19.3) Proposition (a).
  5. Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions], p. 21.
  6. Lam 1991, p. 295, (19.2) Proposition (c).

Article connexeModifier

Complétion (théorie des anneaux) (en)