Théorème des zéros de Hilbert

Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème d'algèbre commutative qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.

ÉnoncésModifier

Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes K[X1,…,Xn] par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de K[X1,…,Xn]. Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert.

Théorème 1 (Lemme de Zariski[1]). Soient K un corps et A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K.

De façon équivalente : si A est un corps, alors c'est une extension finie de K.

Ce théorème a plusieurs conséquences immédiates.

On note Spm A le spectre maximal d'un anneau A, c.-à-d. l'ensemble des idéaux maximaux de A.

Théorème 2 (Nullstellensatz faible). Supposons que   est algébriquement clos. Alors la fonction

 

est une bijection, où   désigne l'idéal engendré par les  .

Autrement dit, un point de   s'identifie avec un idéal maximal de polynômes à   indéterminées sur   quand   est algébriquement clos.

Théorème 3 (Existence des zéros). Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre   de K[X1,…,Xn], il existe un point de Kn racine de tout élément de  .

Ce résultat n'est pas vrai si K n'est pas algébriquement clos. L'idéal M des multiples de X2 + 1 est maximal dans ℝ[X] puisque le quotient de ℝ[X] par M est un corps isomorphe à ℂ, pourtant le polynôme n'admet pas de racine dans ℝ.

Théorème 4. Soit   un idéal d'une algèbre de type fini A sur K. Alors le radical I de   est égal à l'intersection des idéaux maximaux de A contenant  .

Si   est un polynôme appartenant à K[X1,…,Xn], les zéros de   dans Kn sont les points   tels que  .

Corollaire (Nullstellensatz fort). Supposons K algébriquement clos. Soient   un idéal de K[X1,…,Xn] et   l'ensemble des zéros communs des polynômes de  . Si   est un polynôme dans K[X1,…,Xn] qui s'annule sur  , alors une puissance de   appartient à  .

Le théorème 2 sur la structure des idéaux maximaux est faux sur un corps non algébriquement clos (même en une variable). Cependant, la propriété plus faible suivante subsiste :

  • Tout idéal maximal   de K[X1,…,Xn] (K non nécessairement clos) est engendré par   polynômes.

Par la théorie de la dimension de Krull, on sait qu'aucun idéal maximal de K[X1,…,Xn] ne peut être engendré par strictement moins que   éléments.

Théorème de BézoutModifier

Une forme particulière du théorème des zéros est le théorème d'existence des zéros (th. 3 ci-dessus) qui, par contraposée, peut se reformuler ainsi :

  • Soit K un corps algébriquement clos, soient   des polynômes sans zéros communs. Alors il existe   vérifiant l'identité de Bézout
 

L'astuce de Rabinowitsch[3] montre que ce cas particulier du Nullstellensatz fort implique le cas général. En effet si, dans K[X1,…,Xn],   est l'idéal engendré par   et   est un polynôme qui s'annule sur  , on considère l'idéal de K[X0,X1,…,Xn] engendré par   et par le polynôme  . Cet idéal n'a pas de zéros communs dans Kn+1. Donc il existe   tels que l'on ait

 

En remplaçant dans cette identité   par  , et en multipliant les deux côtés par une puissance convenable   de  , on voit que cette puissance de   appartient à  . De plus, on peut majorer   par le maximum des degrés totaux de  .

Notes et référencesModifier

  1. (en) Oscar Zariski, « A new proof of Hilbert's Nullstellensatz », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 53, no 4,‎ , p. 362-368 (lire en ligne), Hn
    3
    , p. 363-364.
  2. (en) M. F. Atiyah et I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, (lire en ligne), chap. 5, exercice 18, reproduit cette preuve due à Zariski, et en donne deux autres (corollaire 5.24 et proposition 7.9).
  3. (de) J. L. Rabinowitsch, « Zum Hilbertschen Nullstellensatz », Math. Ann., vol. 102,‎ , p. 520 (lire en ligne)

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Lien externeModifier

(en) Florian Enescu, « Commutative Algebra — Lecture 13 », sur Georgia State University