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Mathématiques incas

Motifs symétriques dans un textile inca

Les mathématiques des incas sont omniprésentes dans l'art inca, tel le tissage. Leur développement est expliqué par plusieurs facteurs, tels la géographie.

La civilisation inca (1400-1530), s'étendait sur les actuels Pérou, Équateur, Bolivie, Chili, Argentine et au sud de la Colombie, avec une population d'environ 12 millions, dont plusieurs groupes ethniques et une vingtaine de langues. Ne connaissant pas l'écriture, ils utilisaient des quipus pour « écrire » les statistiques de l'État. Un quipu est un encordage dont les cordes présentent trois types de nœuds symbolisant respectivement l'unité, la dizaine et la centaine. Les Incas ont donc développé un système de numération positionnel en base 10, similaire à celui utilisé aujourd'hui.

Histoire

Les quipus constituent un système original de consignation de données qui a été développé très tôt dans le Pérou ancien. Les récentes découvertes de Ruth Shady sur le site de Caral ont démontré que les quipus étaient connus par les civilisations précolombiennes il y a près de 4 500 ans.

Développement

Extension maximale de l'empire inca et de ses quatre régions principales

Les géographies variées des Andes, du bassin amazonien, de la côte du Pacifique et des déserts environnants donnent à l'empire inca une géologie et un climat très variés et instables, en plus des inondations, sécheresses et tremblements de terre périodiques. Ces aspects indiquent un besoin de connaissances mathématiques : le génie agricole et le génie civil sont essentiels à la survie, par exemple pour le contrôle de l'irrigation et la construction de ponts.

De plus, comme pour toute autre groupe humain, la connaissance et la prédiction des saisons et du climat se développement de pair avec les mathématiques et l'astronomie.

Influences des groupes culturels

Comme mentionné précédemment, l'empire inca était formé de plusieurs groupes culturels, chacun avec ses propres pratiques et connaissances mathématiques. Lors de leur absorption dans l'empire, ces connaissance ont presque certainement été aussi assimilées.

Les Moches, du nord du Pérou, ont pu apporter des connaissances reliées à l'agriculture avec l'irrigation par des rivières. Les Huaris pratiquaient l'irrigation en terrasses et leur art était en grande partie basé sur des mathématiques. Les Aymaras pratiquaient aussi ce type d'agriculture ainsi que de la domestication de lamas et d'alpacas. Un autre groupe est les Nazcas, du sud du Pérou, dont les géoglyphes révèlent une compréhension de la géométrie et de l'astronomie.

Un exemple concret de contribution de groupes culturels distincts, est le quipu, qui était connu des Huaris et Aymaras avant la prise d'ampleur de l'empire inca. Par ailleurs tous les groupes de l'empire inca, même s'ils pouvaient jouir d'une certaine indépendance, étaient taxés. Les quipus étaient donc essentiels aux archives et à l'administration de l'État, dans ce contexte culturellement varié.

Découverte des « coordonnées cartésiennes »

Le quipu péruvien VA 42527 (Museum für Völkerkunde, Berlin), déjà étudié par Gary Urton, comporte une division en quatre quadrants très particulière. En associant l’analyse statistique des données à une étude de type expérimentale de ce quipu, de façon curieuse, Alberto Sáez-Rodríguez ouvre de nouvelles pistes de recherche dans l’étude des quipus. Dans son article scientifique, Alberto Sáez-Rodríguez prouve l'existence d'une carte stellaire en deux dimensions, correspondant aux coordonnées X, Y des 6 étoiles les plus brillantes de l'amas ouvert des Pléiades (M45). L’enjeu de ce travail est de démontrer que les Incas connaissaient bien un système de coordonnées rectangulaires 200 ans avant René Descartes.

Liens avec l'écriture ou l'absence d'écriture inca

Exemple de quipu

Alors que l'empire inca était très structuré et bureaucratisé, l'écriture n'y a apparemment pas existé. Toutefois, la gestion de l'empire inca a nécessité des moyen de conserver et transmettre l'information numérique.

Administration et communication via les quipus

On connait surtout les quipus pour l'utilité qu'en avait l'administration inca. Ceux-ci s'en servaient pour toute la gestion économique et sociale de l'empire. Les quipucamayocs (« maîtres du Quipu »), présents au nombre de trois au minimum dans chaque communauté recensaient toutes les données démographiques et économiques du lieu. Ces données renvoyées vers les centres administratifs de l'empire permettaient aux Incas de contrôler la prospérité des communautés. Ils pouvaient ainsi répartir les surplus vers les communautés moins florissantes.

Les quipus semblent également avoir constitué un outil de communication dans l'ancien Pérou ; Garcilaso de la Vega, chroniqueur fils d'une princesse inca et d'un noble espagnol, nous rapporte un témoignage d'une telle utilisation. On sait en effet que les chaskis (les hommes à pied qui parcouraient l'Empire pour remettre le courrier) utilisaient les quipus pour mémoriser les messages avec des données qualitatives et quantitatives.

Statistiques

En revanche, un système de quipus a été mis en place. Les quipus sont des messages codés sous la forme de nœuds de différentes sortes sur des fils de laine, coton ou autre matériau et de différentes couleurs. Ces quipus servaient aux statistiques de l'État : recensement très précis (nombre d'habitants par âge et par sexe), nombre d'animaux, état des stocks, tributs payés et dus des différents peuples, enregistrement de l'ensemble des entrées et sorties de marchandises des entrepôts de l'État, etc... Seuls les administrateurs connaissaient la clé des quipus : c'étaient les quipucamayocs. Ce système de quipus était aussi utilisé par les dirigeants des provinces pour transmettre les nouvelles importantes à l'Inca.

Autres applications

Il semblerait que les quipus aient aussi servi à notifier les grandes dates de l'Histoire et à consigner certains récits ou secrets religieux mais ceux-ci restent indéchiffrables de nos jours contrairement à certains quipus de statistiques.

Principe des quipus

Un quipu est un encordage dont les cordes présentent trois types de nœuds symbolisant respectivement l'unité, la dizaine et la centaine. Un agencement des nœuds sur une corde donne un nombre entre 1 et 999 ; les ajouts de cordes permettant de passer au millier, au million, etc.

Il s'agit d'un système d'écriture des nombres exprimés dans un système de numération positionnel en base 10. Chaque cordelette comporte trois types de nœuds distincts :

Demi-nœud (à gauche) et nœud en huit (à droite)

• Des nœuds simples (demi-nœuds), chacun représentant une unité, au plus au nombre de neuf ;
• Des nœuds compliqués, formés d'un demi-nœud auquel on ajoute un ou plusieurs tours, chacun représentant une dizaine, au plus au nombre de neuf ;
• Des nœuds de huit, chacun représentant une centaine, au plus au nombre de neuf.

Un tel alignement de nœuds sur une cordelette permettait de former un nombre entier inférieur ou égal à 999. Dans cette écriture des entiers, le 0 était remplacé par l'absence de nœuds de tel ou tel type.

L'écriture d'un entier supérieur demandait l'utilisation de plusieurs cordelettes. L'ajout d'une seconde cordelette attachée à la première permettait de passer 999 à 1 000. Une éventuelle troisième cordelette attachée alors à la seconde permettait le passage de 999 999 à 1 000 000.

Exemple : 203 956 demande deux cordelettes :

• La première cordelette comporte 9 nœuds de huit, 5 nœuds compliqués, 6 nœuds simples ;
• La seconde comporte 2 nœuds de huit, aucun nœud compliqué, 3 nœuds simples.

La première cordelette était attachée à une corde.

Nom des nombres et base 10

Aire linguistique du quéchua en Amérique du sud

La lingua franca des Incas - et de leurs descendants - est le quechua. Le dialecte huallaga quechua est celui que les chercheurs croient comme ayant subi le moins de changements, donc ce sont les noms dans ce dialecte qui sont discutés dans l'article de Thomas E. Gilsdorf sur les ethnomathématiques des Incas. Celui-ci donne une liste de noms de nombres :

huk - 1, ishkay - 2, kimsa - 3, chuska - 4, pichqa - 5, soqta - 6, qanchis - 7, pusaq - 8, isqon - 9; chunka - 10, pachak - 100, waranqa - 1000.

Format des grands nombres

Pour les plus grands nombres :

[multiplicateur] {noyau} (additionneur)

où le noyau est une puissance de 10. Donc, les exemples :

• isqon pachak: [9] {100} = 9 ¥ 100 = 900
• qanchis chunka pichqa: [7] {10} + (5) = 75
• kimsa pachak chuska chunka qanchis waranqa ishkay : [[3] {100} ([4] {10} (7))] {1000} (2) = 347002

Le système numérique des Incas est donc de base 10.

Art inca

Tapisserie avec crabes et poissons entrelacés, Lombards Museum

Dans les motifs des textiles et céramiques incas, on trouve des comptes, symétries, rotations et réflexions. Selon Gilsdorf, ceci indique « un fort sens de l'ordre et de la précision sans la culture et les mathématiques incas ». Le chapitre 4 de Urton (1997) donne plus de détails. On parle ici d'ethnomathématiques, puisque même si les concepts sont les mêmes, il est difficile pour un tisseur quechua d'expliquer son travail en termes de géométrie occidentale : le point de vue est complètement différent.

Astronomie inca

Les astronomes incas connaissaient les cycles du Soleil, de la Lune et de Vénus. Leur calendrier était solaire, avec 12 cycles lunaires, en plus de l'ajustement requis pour totaliser 365 jours.

D'autre part, dans la ville de Cuzco se trouvent quelques 400 marques, huacas, le long de lignes imaginaires, ceques. Ceci a des signification astronomiques, mathématiques et religieuses. Moseley (1992), pages 78-79, le chapitre 7 de D'Altroy (2002), et Urton (1981) donnent plus de détails.

La yupana, calculatrice-ordinateur

Yupana

La yupana (en quechua, « outil pour compter »), est un dispositif utilisé par les Incas, probablement comme sorte de calculatrice. Elles pouvaient être de pierre taillée ou de terre, avaient des casiers ou compartiments qui correspondaient aux unités décimales et il était possible de compter ou déterminer des quantités à l'aide de grains de maïs ou de quinoa.

Capacités

Grâce à ce système, on pouvait indiquer les unités, dizaines, centaines etc. Des recherches récentes en relation avec les yupanas suggèrent qu'elles étaient capables d'exprimer par le calcul des nombres considérables en s'appuyant sur un système non-décimal, mais plutôt en relation avec le nombre 40 ; sommes, restes, multiplications et divisions étaient donc possibles ainsi que l'enregistrement de textes, ce qui emplit d'espoir les chercheurs en quête de la compréhension du fonctionnement des quipus.

La yupana dessinée par Guaman Poma révèle des connaissances astronomiques comme les cycles de Mercure et Vénus; la même yupana permet d'obtenir l'année solaire sidérale inca, dont la précision est impressionnante, et un fantastique calendrier perpétuel, créé autour du chiffre 5.

Hypothèses

Bien que certains investigateurs aient fait des hypothèses selon lesquelles cet instrument pourrait fonctionner comme un abaquede calcul, d'autres sont plus sceptiques face à cette éventualité. Néanmoins, le rapport du XVIe siècle du prêtre espagnol José de Acosta suggèrent que les Incas pouvaient avoir eu un dispositif similaire.

Les chercheurs croient que de telles calculatrices s'appuyaient sur les nombres de Fibonacci pour minimiser la quantité de grains à utiliser par casier.

Culture populaire

Les quipus sont mentionnés abondamment dans le dessin animé Les Mystérieuses Cités d'or de 1983, dans lequel, déchiffrés par le personnage de Zia, ils aident les héros à comprendre certaines des coutumes Incas à de maintes reprises. En effet, l'astronomie, la culture et les mathématiques des Incas sont inter-reliées.

Notes et références

Sources

• (en) D'Altroy, Terence. The Incas. Oxford: Blackwell Publishing, 2003.
• (en) Moseley, Michael E. The Incas and Their Ancestors, the Archeology of Peru. London: Thames and Hudson, 1992.
• (en) Thomas E. Gilsdorf, Ethnomathematics of the Inkas, in Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer-Verlag Berlin Heidelberg DOI: 10.1007/SpringerReference_77966, 2008 (lire en ligne).
• (en) Urton, Gary. At the Crossroads of the Earth and Sky: An Andean Cosmology. Austin: University of Texas Press, 1981.
• (en) Urton, Gary. The Social Life of Numbers, A Quechua Ontology of Numbers and Philosophy of Arithmetic. Austin: University of Texas Press, 1997.

Mathématiques précolombiennes

RI

La pyramide de Kukulcán de Chichén Itzá est une des réalisations les plus emblématiques des civilisations précolombiennes.

Les mathématiques précolombiennes, dans l'histoire des mathématiques, englobent les connaissances en mathématiques que certaines civilisations précolombiennes ont développées. Ces civilisations autochtones sont créditées de nombreuses inventions : la construction des temples-pyramides, les mathématiques, les statistiques, l’astronomie, la médecine, l'écriture, les calendriers très précis.

Chronologie générale

La plupart des sources disponibles portent sur les civilisations aztèque, maya et inca.

Des inscriptions archaïques sur les rochers et les murs de pierre partout au nord du Mexique (en particulier dans l'État de Nuevo León) montrent une propension précoce au comptage sur le territoire du Mexique. Le système arithmétique a été l'un des plus complexes au monde, avec un système de numération en base 20. Ces premières et anciennes marques de comptage ont été associées à des événements astronomiques et soulignaient l'importance de l’astronomie pour les indigènes du Mexique avant l'arrivée des Européens. En fait, la plupart des dernières civilisations mexicaines construisaient soigneusement leurs villes et leurs centres cérémoniels en fonction de certains événements astronomiques.

Chronologie fondée sur les données des articles sur chacune des civilisations (octobre 2012)

La partie supérieure (nuances de gris) correspond à l'aire nord-américaine.
La partie du milieu (couleurs chaudes) correspond à l'aire mésoaméricaine.
La partie inférieure (couleurs froides) correspond à l'aire sud-américaine.

Olmèques

La première civilisation connue est la culture olmèque. Cette civilisation a établi le schéma culturel qui inspirerait toutes les civilisations autochtones successives au Mexique. La civilisation olmèque a débuté avec une production en abondance de poterie, vers 2300 avant notre ère. Entre 1800 et 1500 avant notre ère, les Olmèques ont consolidé leur pouvoir en constituant des chefferies qui établirent leur capitale sur un site connu aujourd'hui sous le nom de San Lorenzo Tenochtitlán. L'influence olmèque s’est étendue à travers le Mexique, en Amérique centrale, et le long du golfe du Mexique. Ils ont transformé le mode de pensée de beaucoup de peuples en instituant un nouveau mode de gouvernement, en inventant les temples-pyramides, l'écriture, l'astronomie, l’art, les mathématiques, l’économie et la religion. Leurs réalisations ont ouvert la voie à la grandeur de la civilisation maya à l'est et aux civilisations de l'ouest et du centre du Mexique.

Écriture et calendrier

Caterina Magni évoque l'existence de glyphes, notamment sur la Stèle 13 de La Venta. Elle signale l'existence d'un cylindre-sceau provenant de Tlatilco remontant à 650 avant J.C. témoignant déjà selon certains scientifiques de l'existence d'une forme d'écriture. Puis avec la découverte de la Stèle de Cascajal on peut penser que les spécialistes vont s'accorder à reconnaître que l'écriture est enfin identifiable dans la culture olmèque. Même si certains archéologues, à l'instar de David Grove et Christopher Pool ou Max Schvoerer, restent sceptiques sur l'authenticité de la stèle. En outre, la stèle C de Tres Zapotes, une des plus anciennes qui soient connues à ce jour, recourt à une graphie analogue à celle qu'adopteront plus tard les Mayas pour les chiffres (un point = 1, et une barre = 5). L'inscription évoquerait une date correspondante à 425, ou 432, av. J.-C.

Zapotèques

Les connaissances concernant les origines du peuple zapotèque sont vagues. Jusqu'à l'invasion espagnole, au XVI^e siècle ils constituèrent le groupe le plus important de la vallée d' Oaxaca. (À l'époque de la conquête espagnole, la population des Zapotèques aurait été de trois cent mille à un million d’habitants). On estime qu'ils fondèrent de nombreux aspects de la culture méso-américaine en inventant la cité-État, le calcul en base 20, les rébus et un système de calendrier, toutes innovations qui furent parfois attribués aux Olmèques.

Mayas

Page 9 du Codex de Dresde (édition Föstermann 1880).

La civilisation maya s'étend de 2600 avant J.-C. jusqu'à 1500 ans après J.-C. avec un apogée à l'époque classique du III^e siècle au IX^e siècle. L’apogée de la civilisation maya coïncida avec l’apogée de Teotihuacan. La période située entre 250 et 650 de notre ère fut une époque d'épanouissement intense des réalisations de la civilisation maya. Bien que les nombreuses cités-États mayas ne soient jamais parvenues à l'unité politique sur le modèle des civilisations du centre du Mexique, ils ont exercé une énorme influence intellectuelle sur le Mexique et l'Amérique centrale.

Calcul calendaire et astronomie

Les mathématiques sont principalement numériques et tournées vers le comput calendaire et l'astronomie. Les Mayas utilisent un système de numération positionnel de base vingt (numération maya).

Les sources mayas sont issues principalement des codex mayas (écrits autour du XIII^e siècle). Mais ceux-ci ont été en grande majorité détruits par l'Inquisition espagnole en Amérique : au XVI^e siècle, l’évêque espagnol Diego de Landa se vantait d’avoir brûlé « tous les livres de sorcellerie » des Mayas. Il ne reste donc de nos jours que quatre codex : les codex de Dresde, codex de Paris, codex de Madrid et codex de Grolier, dont le dernier est peut-être un faux.

Écriture

Les Mayas ont construit quelques-unes des villes les plus évoluées du continent et ont fait des innovations dans le domaine des mathématiques, de l'astronomie et du calendrier. L'écriture maya est le système écrit le plus sophistiqué des Amériques : elle se compose de pictogrammes et d'éléments syllabiques présentés sous forme de textes dont le support est la pierre, la poterie, le bois, ou des livres appelés codex hautement périssables à base de papier d'écorce.

Abécédaire de Diego de Landa

Les hiéroglyphes mayas n’ont pas encore été entièrement déchiffrés. La principale difficulté tient au fait que la même syllabe peut être représentée de différentes manières et un même texte peut avoir jusqu’à 3 sens différents. Paradoxalement, Diego de Landa, qui avait détruit tant de manuscrits mayas, s'intéressait à la culture indigène. Sa Relación contenait un « abécédaire maya ». Landa avait demandé à des informateurs indigènes de dessiner des glyphes correspondant aux lettres de l'alphabet latin et les avait consignées dans son manuscrit. Plein d'enthousiasme, Brasseur de Bourbourg prit les affirmations de Landa pour argent comptant et se lança dans une lecture du codex Troano qui tourna au désastre - même l'ordre de lecture des glyphes était erroné - et contribua à discréditer largement pour près d'un siècle toute tentative de déchiffrement phonétique de l'écriture maya. L' « alphabet » de Diego de Landa se révélera pourtant être la pierre de Rosette de l'écriture maya.

Au cours de la première moitié du XX^e siècle, le sentiment prévalait parmi les spécialistes que l'écriture maya était idéographique - actuellement on emploierait le terme « logographique » - et que, hormis les inscriptions calendaires, on n'arriverait jamais à la déchiffrer. Cette conviction était tellement ancrée qu'un savant aussi réputé que Sylvanus Morley ne prenait même plus la peine de relever les inscriptions non calendaires. Le mayaniste le plus éminent de cette époque, le britannique John Eric Thompson, était acquis à cette conception. À partir des inscriptions calendaires, il avait développé une vision de la civilisation maya, selon laquelle une élite de prêtre-astronomes, préoccupés du passage du temps, dirigeaient depuis leurs centres cérémoniels une population de paisibles agriculteurs. Il n'y avait pas de place dans cette conception pour des textes historiques. Deux découvertes vinrent secouer ces certitudes. En 1958, Heinrich Berlin découvrit que certains blocs glyphiques étaient présents en grand nombre dans un site donné, mais rares dans les autres. Il en conclut que ces blocs glyphiques désignaient une entité politique et les baptisa glyphes-emblèmes. En 1959, Tatiana Proskouriakoff, en procédant à un examen systématique de plusieurs séries de stèles de Piedras Negras, associées à un personnage dans une niche - que Thompson considérait comme un prêtre -, découvrit que certains glyphes associés à des dates se répétaient dans chaque série et démontra qu'ils correspondaient à la naissance, l'accession au trône et à la mort d'un souverain.

Mathématiques

Nombres mayas.

Les Mayas (ou leurs prédécesseurs olmèques) utilisaient un système en base 20 comprenant un sigle zéro (mais dont l'usage et donc le concept étaient différents du nôtre, cf. Numération maya). Les inscriptions montrent qu’ils étaient capables de manier de très grands nombres. Le système mathématique de base 20 (vicésimal), c'est-à-dire à vingt chiffres élémentaires (nous utilisons un système de base 10, décimal), de même que leur méthode de positionnement graphique, leur permettait des calculs à l’infini. Cela leur a permis de mener des recherches astronomiques poussées dont le degré de précision est très impressionnant. Les prêtres et astronomes mayas ont estimé de façon très pointue la durée de l'année solaire, bien que dans la vie courante ils utilisent une année de 365 jours (cf. Calendrier maya). Par exemple, le calendrier grégorien déterminait l’année solaire à 365,2425 jours ; le calendrier maya, à 365,2420 jours ; et l’astronomie moderne 365,2422 jours. En clair, sept siècles avant les Européens, munis d’instruments archaïques et après des années d’observations au cœur de la jungle, les Mayas ont été capables de déterminer la durée d’une année solaire avec une précision extrême. Il faudra attendre le XIX^e siècle pour que les progrès techniques puissent affiner cette évaluation.

Leurs analyses astronomiques étaient très précises, leurs études du mouvement de la Lune et des planètes étaient remarquables pour des gens qui ne travaillaient qu’à l’œil nu.

Deux zéros mayas

Les scribes mayas utilisaient une numération vigésimale (à base vingt) et ils disposèrent de deux zéros distincts, marqués par des glyphes différents. De manière générale, ils distinguaient toujours soigneusement les durées (de nature 'cardinale') et les dates (de nature 'ordinale'), par exemple dans les almanachs divinatoires, en écrivant les premières en noir et les secondes en rouge. De même, ils distinguaient soigneusement les constituants de chiffre (par exemple : deux points '..' juxtaposés horizontalement pour former le chiffre ou le nombre 2) et les constituants de nombre (c'est-à-dire les chiffres constituant un nombre en écriture positionnelle, par exemple deux points ':' juxtaposés verticalement pour former le nombre 21, soit 'une-vingtaine un').

Le premier, que l'on peut appeler zéro cardinal, est un zéro de position, comme celui de la numération décimale ou de toute autre numération de position. Par exemple : 9.9.16.0.0. (codex de Dresde p. 24) note la durée 9-baktun 9-katun 16-tun 0-uinal 0-kin, c'est-à-dire la durée de 9 x 400 tun (année de compte de 360 jours) + 9 x 20 tun + 16 tun + 0 uinal (mois de 20 jours) + 0 kin (jour).

Le second ou zéro ordinal servait à noter le premier jour des 18 mois de vingt jours ou de la période complémentaire de cinq jours qui constituent l'année solaire (le ha'ab de 365 jours). Par exemple, le premier de l'an était un 0 Pop.

Le zéro ordinal est attesté pour la première fois par une pendeloque de jade (connue sous le nom de plaque de Leyde), et il date du 17/09/320 (après J.-C.). Sur cette pendeloque, le même glyphe apparaît aussi dans un contexte « littéraire » où il note le verbe désignant l'action de monter sur le trône, l'intronisation du roi dont la figure apparaît au recto de la plaque.

Le zéro cardinal apparaît pour la première fois sur les stèles 18 et 19 de Uaxactun, qui comptent trois occurrences de ce signe en position finale. On les trouve dans l'expression (redondante, puisque, dans ce double exemple, toutes les unités sont exprimées) d'une date en compte long (c'est-à-dire représentée par la durée exprimée en nombre de jours écoulés depuis l'origine de la chronologie maya, soit en 3113 avant J.-C.) : 8-baktun 16-katun 0-tun 0-uinal 0-kin. Le zéro cardinal maya est donc attesté depuis le 2 février 357.

À Chichén Itzá, la sculpture de la bordure ouest de l'escalier nord de la pyramide de Kukulcán projette, lors des équinoxes, une ombre représentant l'arrivée du serpent à plumes, appelée communément « l'ascension et la descente de Kukulcán ».

Observatoires

Astronomes méticuleux, les Mayas suivaient avec précision les évolutions d'objets célestes, plus particulièrement de la Lune et de Vénus. Beaucoup de temples sont orientés par rapport à ces astres.

Les temples ronds dédiés à la divinité Kukulkan sont souvent décrits comme les observatoires des Mayas, bien qu’il n’y ait pas d'indice qu’ils aient été utilisés à ce seul effet.

Nazca

La civilisation Nazca est une culture pré-incaïque du sud du Pérou qui se développa entre -200 et 600 ap.J-C. Elle est surtout connue pour ses géoglyphes, d’immenses lignes et figures tracées dans le désert proche de la ville actuelle de Nazca, ses aqueducs et par ses céramiques polychromes à motifs zoomorphes. Elle s’est développée à partir de la culture Paracas qui date de l’époque antérieure appelée période Chavin ou Horizon ancien et parallèlement à la civilisation Mochica, qui occupait elle le nord de l'actuel Pérou.

Géoglyphes

Géoglyphe nazca connu sous le nom de « Colibri ».

Les Nazcas ont également tracé d’immenses séries de figures géométriques ou d’animaux stylisés dans le sol aride. Ces géoglyphes remplissaient probablement une fonction rituelle, peut-être liée au cycle de l'eau dans une région devenant de plus en plus désertique.

Les milliers de dessins dispersés sur environ 3 900 km² de désert, dans le sud du Pérou, ont été tracés sur un millénaire. Il s'agit surtout de figures naturalistes. Lignes et trapèzes ont été ajoutés plus tard. On ignore encore leur signification et pourquoi ils ont changé au fil du temps. Mais ils jouaient sans doute un rôle capital dans les rituels pour que la pluie tombe sur les Andes et irrigue les champs.

D'après l'archéologue Giuseppe Orefici, les géoglyphes sont dessinés en grattant le sol, dégageant le sol clair des roches sombres. Le climat sec de la région, la nature du terrain et l'absence de végétation font que ces dessins sont toujours visibles aujourd'hui, après 2000 ans.

Une théorie récente propose que les géoglyphes auraient pu servir de parcours rituel : les fidèles auraient marché le long du tracé, le parcours en lui-même étant une forme de prière.

On a dénombré plus de 350 de ces dessins, qui représentent soit des formes géométriques, comme des lignes droites ou des spirales, soit des animaux du panthéon nazca.

Théories impliquant l'utilisation de moyens aériens

Les indiens Nazcas réalisèrent des figures visibles depuis le ciel, souvent longues d'une centaine de mètres, en dégageant le sol de ses plus grosses pierres aux endroits du dessin.

Bien que l'aviation n'ait été inventée qu'au tournant du XIX^e et du XX^e siècle, certains ont avancé l'idée que les Nascas auraient utilisé des ballons à air chaud pour réaliser le traçage de leurs figures terrestres. Si des vestiges de foyer ont permis d'envisager cette hypothèse, aucune preuve archéologique n'a pu en démontrer la validité.

En 1975, l'Américain Jim Woodman et l'Anglais Julian Nott fabriquèrent un ballon à air chaud selon les techniques utilisées par les Nazcas pour la momification des corps, basées sur l'utilisation de bandes de toile et de cordes. Le résultat ne fut concluant qu'en partie : le ballon s'éleva à une hauteur de 90 mètres puis chuta brutalement, risquant de tuer les aérostiers.

Il existe d'autres dessins terrestres aux dimensions impressionnantes, notamment sur les flancs de certaines collines qui bordent le plateau de Nasca. Mais ils furent créés par les Paracas, antérieurement aux Nazcas. Et aucun élément scientifique ne prouve que les Paracas aient utilisé un aérostat.

Théorie par l'utilisation de techniques de dessin

L'archéologue italien Giuseppe Orefici propose une explication beaucoup plus prosaïque : l'utilisation de la technique de mise au carreau ou carroyage, permettant d'agrandir à une grande échelle un dessin de taille modeste. Cette théorie a fait l'objet d'expériences concluantes d'archéologie expérimentale.

Calendrier astronomique

D'après la mathématicienne allemande Maria Reiche, qui a consacré la majeure partie de sa vie à l'étude archéologique et à la préservation du site, les géoglyphes formeraient un immense calendrier astronomique, dont les lignes pointent vers des étoiles remarquables ou des constellations (Bibliographie-1).

Cette théorie fut contestée en 1968 par l'astrophysicien américain Gerald Hawkins, d'après les recherches qu'il avait réalisées en se fondant sur des calculs informatiques. En reconstituant la carte du ciel telle qu'elle était à l'époque des Nazca, il affirma avoir démontré que 80 % des géoglyphes n'avaient aucune relation avec les constellations importantes. Toutefois, ses recherches furent finalement démolies à cause d'une erreur de méthodologie grave. Il avait reconstitué la carte du ciel en se fondant sur celle de Stonehenge, qui n'est pas dans le même hémisphère.

Selon Maria Reiche, la figure de l'araignée serait une projection anamorphique de la constellation d'Orion. Trois des lignes droites aboutissant à la figure auraient servi à suivre les déclinaisons des trois étoiles de la ceinture d'Orion. Cependant, elle ne fournit aucune explication pour les 12 autres lignes de la figure, ainsi que le fait remarquer Anthony F. Aveni.

Incas

La civilisation inca (1400-1530) a développé un système de numération positionnel en base 10 (donc similaire à celui utilisé aujourd'hui). Ne connaissant pas l'écriture, ils utilisaient des quipus pour « écrire » les statistiques de l'État. Un quipu est un encordage dont les cordes présentent trois types de nœuds symbolisant respectivement l'unité, la dizaine et la centaine. Un agencement des nœuds sur une corde donne un nombre entre 1 et 999 ; les ajouts de cordes permettant de passer au millier, au million, etc.

Écriture

Exemple de quipu

Alors que l'empire inca était très structuré et bureaucratisé, l'écriture n'y a apparemment pas existé.

En revanche, un système de quipus a été mis en place. Les quipus sont des messages codés sous la forme de nœuds de différentes sortes sur des fils de laine, coton ou autre matériau et de différentes couleurs. Ces quipus servaient aux statistiques de l'État : recensement très précis (nombre d'habitants par âge et par sexe), nombre d'animaux, état des stocks, tributs payés et dus des différents peuples, enregistrement de l'ensemble des entrées et sorties de marchandises des entrepôts de l'État, etc... Seuls les administrateurs connaissaient la clé des quipus : c'étaient les quipucamayocs. Ce système de quipus était aussi utilisé par les dirigeants des provinces pour transmettre les nouvelles importantes à l'Inca.

Il semblerait que les quipus aient aussi servi à notifier les grandes dates de l'Histoire et à consigner certains récits ou secrets religieux mais ceux-ci restent indéchiffrables de nos jours contrairement à certains quipus de statistiques.

Les récentes découvertes de Ruth Shady sur le site de Caral ont démontré que les quipus étaient connus par les civilisations précolombiennes il y a près de 4 500 ans.

Principe

Les quipus sont un système d'écriture des nombres exprimés dans un système de numération positionnel en base 10. Chaque cordelette comporte trois types de nœuds distincts :

• Des nœuds simples (demi-nœuds), chacun représentant une unité, au plus au nombre de neuf ;
• Des nœuds compliqués, formés d'un demi-nœud auquel on ajoute un ou plusieurs tours, chacun représentant une dizaine, au plus au nombre de neuf ;
• Des nœuds de huit, chacun représentant une centaine, au plus au nombre de neuf.

Un tel alignement de nœuds sur une cordelette permettait de former un nombre entier inférieur ou égal à 999. Dans cette écriture des entiers, le 0 était remplacé par l'absence de nœuds de tel ou tel type.

L'écriture d'un entier supérieur demandait l'utilisation de plusieurs cordelettes. L'ajout d'une seconde cordelette attachée à la première permettait de passer 999 à 1 000. Une éventuelle troisième cordelette attachée alors à la seconde permettait le passage de 999 999 à 1 000 000.

Exemple : 203 956 demande deux cordelettes :

• La première cordelette comporte 9 nœuds de huit, 5 nœuds compliqués, 6 nœuds simples ;
• La seconde comporte 2 nœuds de huit, aucun nœud compliqué, 3 nœuds simples.

La première cordelette était attachée à une corde.

Aztèques

Éducation

Le folio 60r du Codex Mendoza montre comment les parents mexicas éduquaient leurs enfants.

Chez les Aztèques, tous les enfants, quel que soit leur sexe ou leur rang social, recevaient l'une ou l'autre forme d'éducation. Dans un premier temps, jusqu'à l'âge de quinze ans selon le Codex Mendoza, les enfants étaient éduqués par leurs parents dans le cadre du calpulli.

En principe, les enfants et les adolescents entre 10 et 15 ans devaient fréquenter les écoles qui étaient de deux types : les telpochcalli (« maison des jeunes ») dispensaient un enseignement de base (histoire, religion, artisanat, agriculture) et militaire. L'enseignement était gratuit pour les filles et les garçons dans les collèges de quartier. Les calmecac étaient spécialisées dans l’écriture, l’astronomie, l’administration publique et la théologie. Elles étaient fréquentées principalement par les fils des pillis. Les professeurs (tlamatimine) y imposaient une éducation sévère : bains froids le matin, punitions corporelles, saignées, tests d’endurance. Elles formaient des chefs (tlatoque), des prêtres (tlacuilo), des professeurs (tlatimini), des guérisseurs (tizitl) et des artistes (tlacuilos). Les élèves apprenaient les rituels, l’histoire, le calendrier aztèque, la géométrie, la poésie et les arts martiaux (telpochcalli).

Écriture

L'écriture nahuatl apparaît au XII^e siècle de notre ère. Elle servait à consigner des écrits économiques (registres d'impôts, tributs), historique (comme le Codex Xolotl) et religieux (tonalamatl). Elle combinait des éléments pictographiques, des idéogrammes et des symboles phonétiques. Les livres étaient nombreux dans les bibliothèques des temples, des écoles et des résidences nobiliaires. Les scribes écrivaient sur des supports variés : fibres d'agave, peau de chevreuil à la manière des parchemins, écorce battue, etc. Des milliers de manuscrits furent détruits par les Espagnols au moment de la conquête et de la période coloniale.

Anasazis

Pétroglyphes, Newspaper Rock, Utah

Les Anasazis sont des Amérindiens du sud-ouest de l’Amérique du Nord qui étaient répartis en plusieurs groupes dans les États actuels du Colorado, de l’Utah, de l’Arizona et du Nouveau-Mexique. Leur civilisation, similaire à certaines autres cultures d'Oasisamérique comme les Hohokams et les Mogollon, a laissé de nombreux vestiges monumentaux et culturels sur plusieurs sites. Ces vestiges témoignent d'une maîtrise de techniques de céramique, de tissage, d'irrigation, d'observations astronomiques et d'un système d'expression pictural.

Technologie et astronomie

Les conquistadors estimaient qu'un peuple qui tisse le coton, comme les Anasazis le faisaient, était civilisé. La maîtrise de l'irrigation, les maisons en pierres et à étages (Pueblo Bonito en compte cinq), les connaissances en astronomie témoignent d'une culture dynamique et riche. Si l'on mesure les civilisations à leur degré d'urbanisation, il est certain que les Anasazis en font partie. Certaines agglomérations auraient compté six mille habitants. Les villages du Chaco Canyon étaient si rapprochés qu'ils formaient une conurbation rassemblant 15 à 30 000 habitants.

Conséquences à l'époque contemporaine

Outre comme sujet d'études même, les mathématiques précolombiennes engendrent des progrès en pédagogie des mathématiques. À la base, par exemple, exposer les étudiants à différentes façons de penser les mathématiques développe leur appréciation du multiculturalisme et démontre que c'est une activité humaine universelle.

Héritages maya et aztèque des Chicanos

Chicano est un terme qui désigne une identité culturelle employée d’abord par les personnes originaires du Mexique qui vivent aux États-Unis. Leurs ancêtres sont en général à la fois Européens et Amérindiens. Malgré leur héritage maya et aztèque, peu de Chicanos poursuivent des carrières en mathématiques.

Notes et références

Bibliographie

• Jerry J. Brody, Les Anasazis : les premiers Indiens du Sud-Ouest américain, Aix-en-Provence, Edisud, 1993.
• Eric Gutstein et Bob Peterson, Rethinking Mathematics: Teaching Social Justice by the Numbers, Rethinking Schools, 2005-01-01, 179 pages.
• Victor J. Katz, Using History to Teach Mathematics: An International Perspective, Cambridge University Press, 2000-09-21, 261 pages.
• Caterina Magni, Les Olmèques : Des origines au mythe, Seuil, 2003, 432 p. (ISBN 2-02-054991-3).
• Barbara A. Somervill, Empire of the Aztecs, Infobase Publishing, 2009-10-01, 160 pages.
• Jacques Soustelle, Les Aztèques, Paris, Presses Universitaires de France, coll. « Que sais-je? », 2003, 128 p. (ISBN 2-13-053713-8)

Voir aussi

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Tacuinum sanitatis : la fabrication des pâtes alimentaires dans un manuscrit du XII^e siècle

Tacuinum sanitatis

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Exemple d'infobox à droite et image à droite (sans bon sens)

Bombardier Inc.
Dates clés	1942 (Fondation à Valcourt)
Personnages clés	Joseph-Armand Bombardier, fondateur
Forme juridique	Société par actions
Siège social	Montréal
Activité	Aérospatiale, Construction ferroviaire, Maintenance de matériel roulant, Services financiers
Produits	Challenger, Learjet, bombardier d'eau, Acela, JetTrain
Effectif	59 550 (2005)
Site web	http://www.bombardier.com

Limerick (Irish: Luimneach) is a city and the county seat of County Limerick in the province of Munster, in the midwest of the Republic of Ireland. The city lies on the River Shannon, with three main crossing points near the city centre. The population of Limerick including environs is 86,998 while the population of the city itself is 54,023 (CSO, 2002).

King John's Castle is a 13th-century castle in the heart of the city near the River Shannon.

Histoire

The city lies on the River Shannon, with three main crossing points near the city centre. The population of Limerick including environs is 86,998 while the population of the city itself is 54,023 (CSO, 2002). The city lies on the River Shannon, with three main crossing points near the city centre. The population of Limerick including environs is 86,998 while the population of the city itself is 54,023 (CSO, 2002).

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• Un bon dictionnaire français ↔ anglais/espagnol, ainsi que espagnol ↔ portugais/italien
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• Dictionnaires français ↔ autres langues (~177 langues)
• Dictionnaire français ↔ italien

Dictionnaires français

• Le Grand Dictionnaire (Office québécois de la langue française) (Dictionnaire de terminologie technique dans beaucoup de domaines)
• Dictionnaire français assez exhaustif, avec recherche phonétique

Autres projets de traduction

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Astuces

Traductions automatiques des liens internes

La traduction d'un article comprend une étape particulièrement fastidieuse : trouver pour chaque lien interne de l'article à traduire l'article auquel il est lié sur http://fr.wikipedia.org par un lien interwiki.

Les utilisateurs de Linux ou assimilé peuvent s'épargner une grande part de ce travail. Pour cela :

1. Créer un fichier texte nommé TraductionLiensInternes.pl et copiez-y le texte contenu sur Utilisateur:Jmfayard/TraductionLiensInternes.pl
2. Pour la traduction de l'article allemand de:Georg Philipp Telemann, utilisez ce script de cette manière :

 $ perl TraductionLiensInternes.pl   de   fr   "Georg Philipp Telemann" 

Le résultat est donné ci-dessous :

• de:14. März == 14 mars
• de:1681 == 1681
• de:Magdeburg == Magdebourg
• de:25. Juni == 25 juin
• de:1767 == 1767
• de:Hamburg == Hambourg
• de:Komponist == Liste des compositeurs de musique
• de:Kantor == AUCUN INTERWIKI
• de:Magdeburger Dom == Cathédrale de Magdebourg
• de:Latein == Latin
• de:Rhetorik == Rhétorique
• de:Dialektik == Dialectique
• de:Dichtung == AUCUN INTERWIKI
• de:Geige == AUCUN INTERWIKI
• de:Flöte == Flûte
• de:Zither == Cithare
• de:Klavier == Piano
• de:Oper == Opéra (musique)
• ... et ainsi de suite ...

Relecture assistée

• CoquiWeb outils de relecture assistée, détecte les différences ( en particulier pour les nombres) entre 2 textes dans des langues différentes.

Outils

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