Anneau (mathématiques)

groupe additif ayant une multiplication distributive par rapport à l'addition

En algèbre, on appelle anneaux certains triplets caractérisant un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication.

Deux définitions différentes sont significativement représentées dans la littérature mathématique :

  • la majorité des sources récentes définit un « anneau » comme un anneau unitaire, exigeant que la multiplication ait un élément neutre ;
  • un nombre non négligeable d'ouvrages, en revanche, n'exige pas la présence d'une unité multiplicative. La structure qu'ils appellent alors « anneau » est ailleurs dénommée pseudo-anneau.

Les théories des anneaux unitaires et des pseudo-anneaux sont à bien des égards voisines, avec nombre d'énoncés communs. Elles divergent pourtant significativement en quelques points (par exemple les propriétés des idéaux maximaux).

Bien que formellement ceci soit une erreur, il est également souvent courant, par abus de notation, de faire référence à un anneau non pas en désignant son triplet, mais plutôt juste l'ensemble avec lequel on définit l'anneau.

Enfin, on prendra garde à ce que les textes qui ne traitent que d'algèbre commutative utilisent souvent « anneau » comme un raccourci pour dire « anneau commutatif ».

Articles connexesModifier