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Anneau topologique

anneau dont l'addition, la multiplication et l'application opposée sont continues

En mathématiques, un anneau topologique est un anneau muni d'une topologie compatible avec les opérations internes, c'est-à-dire telle que l'addition, l'application opposée[1] et la multiplication soient continues.

Un corps topologique est un corps muni d'une topologie qui rend continues l'addition, la multiplication et l'application inverse[2].

Ces structures étendent la notion de groupe topologique.

ExemplesModifier

  • Tous les corps de nombres usuels (rationnels, réels, complexes, p-adiques) ont une ou plusieurs topologies classiques qui en font des corps topologiques. Il s'agit essentiellement des topologies induites par la distance usuelle ou la distance p-adique.
  • L'ensemble des applications d'un ensemble   vers un anneau topologique constitue un anneau topologique pour la topologie de la convergence simple. Lorsque l'ensemble   est lui-même un espace topologique, le sous-anneau des fonctions continues est un anneau topologique pour la topologie compacte-ouverte.
  • Toute algèbre normée est un anneau topologique.
  • Tout sous-anneau d'un anneau topologique est un anneau topologique pour la topologie induite.
  • Tout anneau muni de la topologie discrète ou de la topologie grossière constitue un anneau topologique.

Topologie I-adiqueModifier

Étant donné un anneau commutatif   et un idéal   de  , la topologie  -adique de   est définie par la base de voisinages en chaque point   de   de la forme :  , où   décrit tous les entiers naturels.

Cette topologie fait de l'anneau   un anneau topologique, qui est séparé si et seulement si l'intersection des puissances de l'idéal   est réduite à l'élément nul :

 .

Dans ce cas, la topologie est métrisable par une distance ultramétrique définie de la manière suivante :

pour tous    éléments de  ,
 
  est la plus grande puissance de l'idéal qui contient la différence  .

La topologie p-adique sur les entiers relatifs est ainsi construite avec l'idéal   des multiples entiers de  .

Complétion d'un anneau métrisableModifier

Lorsqu'un anneau topologique est métrisable, les opérations s'étendent continûment (de façon unique) à sa complétion métrique, qui devient ainsi son anneau complété (en).

NotesModifier

  1. La continuité de l'application opposée est automatiquement vérifiée si l'anneau est unitaire.
  2. Il existe toutefois des anneaux topologiques qui sont des corps sans satisfaire cette dernière condition.