Groupe de Picard

En géométrie algébrique, le groupe de Picard est un groupe associé à une variété algébrique ou plus généralement à un schéma. Il est en général isomorphe au groupe des diviseurs de Cartier. Si K est un corps de nombres, le groupe de Picard de l'anneau des entiers de K n'est autre que le groupe des classes de K. Pour les courbes algébriques et les variétés abéliennes, le groupe de Picard (ou plutôt le foncteur de Picard) permet de construire respectivement la jacobienne et la variété abélienne duale. Cette construction existe pour les variétés projectives lisses en général.

DéfinitionModifier

Soit   un schéma avec son faisceau structural  . Un faisceau inversible   sur   est un faisceau cohérent localement libre de rang 1. Cela signifie que   est un faisceau de  -modules, et que tout point   de   possède un voisinage ouvert   tel que   soit isomorphe à  . Le faisceau dual   défini par

 

pour tout ouvert   de   est alors aussi un faisceau inversible, et on a un isomorphisme de faisceaux canonique du produit tensoriel   avec  .

Définition L'ensemble des classes d'isomorphisme des faisceaux inversibles sur   est appelé le groupe de Picard de   et est noté Pic( ). Le produit tensoriel induit une loi de multiplication sur Pic( ) qui en fait un groupe commutatif. L'élément neutre est la classe de  , et l'inverse de la classe de   est la classe du dual  .

En termes de la cohomologie de Zariski, le groupe de Picard est isomorphe au groupe   pour le faisceau des éléments inversibles   de  . En cohomologie étale ou fppf, le groupe de Picard est isomorphe à    est le faisceau (étale ou fppf) qui à   associe  .

Si   est un morphisme de schémas, l'image réciproque par   induit un homomorphisme de groupes de Picard

 .


Lorsque   est une variété projective sur un corps, à tout faisceau inversible   on peut associer un degré   qui est un entier relatif.

ExemplesModifier

Si   est une courbe projective lisse géométriquement connexe sur un corps  , le groupe Pic  correspondant aux faisceaux inversibles de degré 0 est le groupe des points rationnels de la jacobienne de  , du moins pour des corps convenables (par exemple algébriquement clos ou fini) ou si   a un point rationnel. C'est un sous-groupe de Pic( ) et le groupe quotient Pic( )/Pic  est isomorphe à  .

Si   est le spectre d'un anneau de Dedekind  , alors Pic( ) est isomorphe au groupe des classes de   (le quotient du groupe des idéaux fractionnaires par le groupe des idéaux fractionnaires principaux). En particulier, Pic( ) est trivial si et seulement si   est principal.

Relation avec les diviseurs de CartierModifier

On note par   le faisceau des fonctions rationnelles sur  . Sa définition est un peu délicate dans le cas général. Mais si   est intègre, l'anneau des sections de   sur un ouvert non-vide est juste le corps de fractions de   pour n'importe quel ouvert affine   de  . Par construction, c'est un faisceau d'anneaux qui contient  . On a donc une inclusion des faisceaux des groupes des éléments inversibles de   dans  . On a une suite exacte de faisceaux de groupes

 

Par définition, le groupe des diviseurs de Cartier est le groupe des sections globales  . On note CaCl( ) le quotient de ce groupe par l'image canonique du groupe   (cette image correspond aux diviseurs de Cartier principaux). La suite longue exacte de cohomologie donne un homomorphisme injectif

 .

La représentation locale des diviseurs de Cartier permet d'expliciter cet homomorphisme et on voit que l'image de cet homomorphisme est l'ensemble des classes d'isomorphisme des faisceaux inversibles contenus dans  .

  • Proposition L'homomorphisme ci-dessus est un isomorphisme lorsque   est un schéma noethérien qui est réduit ou qui est quasi-projectif sur un anneau noethérien.

Ainsi on a un isomorphisme entre le groupe des classes d'équivalence des diviseurs de Cartier et le groupe de Picard lorsque   est une variété quasi-projective sur un corps ou si   est un schéma intègre.

Foncteur de PicardModifier

Soit   un morphisme de schémas. Pour tout  -schéma  , on peut considérer le groupe de Picard   ainsi que son quotient par    est le morphisme de projection. On obtient ainsi un foncteur contravariant de la catégorie des  -schémas vers la catégorie des groupes commutatifs, qui

  • à   associe  .

Cela définit un préfaisceau pour la topologie étale ou fppf dans la catégorie des  -schémas. Le faisceau étale ou fppf associé au foncteur de Picard est noté   et est appelé le foncteur de Picard relatif. . Sous certaines conditions ce foncteur est représentable par un schéma en groupes sur  . C'est le cas par exemple lorsque   est une courbe projective lisse à fibres géométriquement connexes sur  . La composante neutre   du schéma en groupes   est précisément la jacobienne de   (la situation habituelle est celle où   est le spectre d'un corps).

Références bibliographiquesModifier

  • S. Bosch, W. Lütkebohmert et M. Raynaud: Néron models, Springer-Verlag 1990.