Variété abélienne

En mathématiques, et en particulier, en géométrie algébrique et géométrie complexe, une variété abélienne A est une variété algébrique projective qui est un groupe algébrique. La condition de « projectivité » est l'équivalent de la compacité pour les variétés différentielles ou analytiques, et donne une certaine rigidité à la structure. C'est un objet central en géométrie arithmétique.

DéfinitionModifier

Une variété abélienne sur un corps k est un groupe algébrique A sur k, dont la variété algébrique sous-jacente est projective, connexe et géométriquement réduite. Cette dernière condition veut dire que lorsque l'on étend le corps de base k à une clôture algébrique de k, la nouvelle variété est réduite (cela implique que A est réduite). Si k est de caractéristique nulle, la condition "géométriquement réduite" est automatiquement satisfaite pour tout groupe algébrique sur k (Théorème de Cartier).

Exemple : Les variétés abéliennes de dimension 1 sont les courbes elliptiques.

La jacobienne d'une courbe algébrique projective non-singulière géométriquement connexe, de genre g, est une variété abélienne de dimension g.

Si A est une variété abélienne de dimension   sur ℂ, alors A(ℂ) est naturellement une variété analytique complexe, et même un groupe de Lie. C'est le quotient (au sens de la géométrie analytique complexe) de ℂ  par un réseau  , le quotient admettant un plongement dans un espace projectif.

Propriétés basiquesModifier

Une variété abélienne   est toujours non-singulière, et la loi de groupe sur   est commutative.

Si   et   sont des variétés abéliennes sur  , et si   est un morphisme de variétés algébriques qui envoie le zéro de   sur le zéro de  , alors   est un homomorphisme de groupes algébriques (c'est-à-dire que   est compatible avec les structures de groupes algébriques sur   et  ).

Structure de la torsion Si A est une variété abélienne de dimension g définie sur un corps k et si n est un entier naturel premier à la caractéristique de k, alors l'ensemble   des éléments de A à coordonnées dans une clôture algébrique   de k et qui sont d'ordre divisant n (c'est donc le noyau de l'application multiplication par n dans le groupe  ) est un groupe fini, isomorphe à  . En particulier, les points de   à coordonnées dans   et qui sont d'ordre divisant   est un sous-groupe de  .

Si   est de caractéristique  , alors il existe un entier   compris entre 0 et   tel que pour toute puissance   de  ,   soit isomorphe à  . On appelle   le  -rang de  . On dit que   est ordinaire si son  -rang prend la valeur maximale, c'est-à-dire  .

IsogénieModifier

Un homomorphisme   de variétés abéliennes est une isogénie si A et B ont la même dimension et si le noyau de f est fini. Ce dernier est alors le spectre d'une algèbre finie sur  , dont la dimension vectorielle est appelée le degré de  . C'est aussi le degré de l'extension des corps de fonctions rationnelles   induite par  .

Un exemple typique d'isogénie est la multiplication par n :

 

pour tout entier naturel n (même quand il est divisible par la caractéristique de k). Cette isogénie est de degré   si  .

Théorème Si   est une isogénie, alors il existe une isogénie   telle que   et  .

On dit que   est simple si elle n'a pas d'autres sous-variété abélienne que {0} et elle-même. Par exemple toute courbe elliptique est simple, mais pas le produit de deux courbes elliptiques. On dit que   est absolument simple si elle est simple sur une clôture algébrique de  .

Théorème (réductibilité complète de Poincaré) Si   est un homomorphisme de variétés abéliennes surjectif, alors il existe une sous-variété abélienne C de A telle que A soit isogène à  .

On en déduit que toute variété abelienne A est isogène à un produit de variétés abeliennes simples. L'ensemble de ces facteurs simples est unique à permutations et isogénies près.

Anneaux d'endomorphismesModifier

Soit A une variété abélienne sur k de dimension g. On note End(A) l'ensemble des endomorphismes de A.

Théorème L'ensemble End(A) est naturellement un anneau. Comme module sur ℤ, il est libre de rang au plus 4g.

La structure de l'anneau End(A) est plus simple lorsqu'on permet d'inverser les isogénies. On note End0(A) le produit tensoriel sur ℤ de End(A) par le corps des rationnels  .

Théorème Si A est isogène au produit   avec   simples,  , et   non isogène à   si i est différent de j, alors   est isomorphe au produit  , où   est un corps gauche de dimension finie sur k, et où   désigne l'algèbre des matrices carré d'ordre n.

Module de TateModifier

Nous avons vu que sur ℂ,   est un quotient (comme variété analytique) de ℂ  par un réseau  . Sur un corps   quelconque, il existe un équivalent du réseau  , c'est le module de Tate (en).

Définition. — Soit   un nombre premier distinct de l'exposant caractéristique de k. On a un système projectif  , où les applications de transition sont la multiplication par  . Alors le module de Tate (du nom du mathématicien John Tate) de   est la limite projective, notée  , de  .

Le module de Tate est naturellement un module sur l'anneau ℤ  des entiers  -adiques.

Proposition.  est isomorphe à ℤ .

Le groupe de Galois absolu Gal( ) agit naturellement sur   à travers son action sur les points de torsion   (qui sont tous définis sur la clôture séparable   de   dans  ). La structure de   en tant que module galoisien est très importante en géométrie arithmétique, lorsque le corps de base   est un corps de nombres par exemple.

Variété abélienne dualeModifier

  • Définition Soit   une variété abélienne sur un corps  . On montre que le foncteur de Picard relatif   est représentable par un schéma en groupe lisse sur  . Sa composante neutre (composante connexe de l'élément neutre)   est une variété abélienne sur  , appelée la variété abélienne duale de  . Elle est parfois notée  .
  • Description Si   est un point rationnel, on note par   la translation par  . C'est un automorphisme de   (comme variété algébrique, pas comme groupe algébrique, puisque la translation ne conserve pas l'élément neutre). On considère l'ensemble des (classes d'isomorphisme) de faisceaux inversibles   sur   tels que   soit isomorphe à   pour tout point rationnel  . Lorsque   est algébriquement clos, on note ce sous-groupe  . Dans le cas général, on note   le sous-groupe de   des faisceaux inversibles   appartenant à   sur une clôture algébrique   de  . Alors   s'identifie à  .
  • Fibré de Poincaré Il existe un faisceau inversible   sur  , appelé le Fibré de Poincaré tel que
    • La restriction   est triviale (i.e. isomorphe à  ) et   appartient à   pour tout point fermé  .
    • Le faisceau   est universel dans le sens suivant: pour tout schéma   sur  , et pour tout faisceau inversible   sur   vérifiant les propriétés ci-dessus (à la place de  ), il existe un unique morphisme   tel que   soit isomorphe à  .
  • Réflexivité La duale de la duale   est isomorphe à  .

PolarisationModifier

Lorsque le corps de base   est algébriquement clos, une polarisation sur   est une isogénie   de   dans sa duale, associée à un faisceau ample   sur  . Sur les points, cette isogénie est donnée par  , où   désigne la translation par  .

Sur un corps de base quelconque, une polarisation sur   est une isogénie   qui est de la forme   sur une clôture algébrique de  .

Un théorème de Frobenius[1],[2] dit que le degré de cette isogénie est égal au carré de  g est la dimension de A, D est un diviseur sur A dont le faisceau associé est isomorphe à L, et où   est le nombre d'intersection de D avec lui-même g fois.

Une variété abélienne munie d'une polarisation est appelée une variété abélienne polarisée. Le degré de la polarisation est simplement le degré de l'isogénie. Une polarisation principale est une polarisation de degré 1, donc un isomorphisme. Une variété abélienne principalement polarisée est une variété abélienne munie d'une polarisation principale. Toute jacobienne de courbe est principalement polarisée (donc isomorphe à sa duale) avec la polarisation définie par le diviseur thêta.

Schémas abéliensModifier

La notion de variétés abéliennes se généralise en familles de variétés abéliennes. Un schéma abélien sur un schéma S est un schéma en groupes sur S propre et dont les fibres sont des variétés abéliennes. Certaines notions comme les isogénies, la polarisation, la variété duale, se généralisent aux schémas abéliens (projectifs).

NotesModifier

  1. (en) Kiyosi Itô, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, MIT Press, , 2e éd. (ISBN 978-0-26259020-4, lire en ligne), p. 6
  2. appelé aussi (car il se s'en déduit) théorème de Riemann-Roch, cf. Mumford, Abelian varieties, III.16, page 150

RéférencesModifier

  • (en) Marc Hindry et Joseph H. Silverman, Diophantine Geometry: An Introduction, coll. « GTM » (n° 201), Springer, 2000
  • (en) James Milne, « Abelian varieties », in Arithmetical Geometry (edited by Cornell and Silverman), Springer, 1984
  • (en) James Milne, Abelian varieties, notes de cours
  • (en) David Mumford, Abelian varieties, 1974 (rééd. 1985)
  • André Weil, Courbes algébriques et variétés abéliennes, 1948