Faisceau (de modules)

En mathématique, un faisceau de modules est un faisceau sur un espace localement annelé qui possède une structure de module sur le faisceau structural .

DéfinitionModifier

Sur un espace localement annelé  , un faisceau de  -modules (ou un  -Module) est un faisceau   sur   tel que   soit un  -module pour tout ouvert  , et que pour tout ouvert   contenu dans  , l'application restriction   soit compatible avec les structures de modules: pour tous  , on a

 .

Les notions de sous- -modules et de morphismes de  -modules sont claires.

ExemplesModifier

  • Le faisceau structural   est un faisceau de  -modules. Les sous-modules de   sont des faisceaux d'idéaux de  .
  • Si   est un morphisme de faisceaux de  -modules, alors le noyau, l'image et le conoyau de   sont des faisceaux de  -modules. Le quotient de   par un

sous- -Module est un  -Module.

  • Si   est un ensemble d'indice, la somme directe   est définie sur chaque ouvert   comme étant  , la somme directe de copies de   indexées par  . C'est un faisceau de  -modules libre. Un faisceau de  -modules   est dit localement libre (de rang  ) si tout point de   possède un voisinage ouvert sur lequel   est libre (de rang  ).
  • Si   sont des faisceaux de  -modules, on définit le faisceau des morphismes de   dans   par
     
    (le  -module des applications linéaires  ). Le dual de   est le faisceau des morphismes de   dans  .
  • Le faisceau associé au préfaisceau   est noté  . Ses germes en   est canoniquement isomorphe à  .
  • Soit   un morphisme d'espaces localement annelés. Soit   un faisceau de  -modules. Alors l'image directe   est un faisceau de  -module.
  • Soit   un faisceau de  -modules. On définit l'image réciproque   (à distinguer de l'image réciproque  ) comme étant le produit tensoriel  . On a   isomorphe à   pour tout   dans  .

Faisceaux quasi-cohérentsModifier

On dit qu'un faisceau de  -modules   est engendré par ses sections globales si pour tout point   de  , l'image de l'homomorphisme canonique   engendre   comme  -module. Cela équivaut à dire qu'il existe un morphisme surjectif de faisceaux de  -modules  , où   est un faisceau de  -modules libre.

On dit que   est quasi-cohérent si tout point de   possède un voisinage ouvert dans lequel   est un quotient d'un faisceau de  -module libre. Cela veut dire donc que tout point   possède un voisinage ouvert   tel que   soit engendré par ses sections  .

Faisceaux cohérentsModifier

On dit que   est cohérent (en) si tout point   de   possède un voisinage   tel que   soit quotient d'un faisceau de  -modules libre de rang fini (on dit alors que   est de type fini) et si pour tout ouvert   et pour tout morphisme  , le noyau est de type fini.

Référence bibliographiqueModifier

A. Grothendieck et J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, chap. 0, § 4-5