Groupe de Heisenberg

En mathématiques, le groupe de Heisenberg d'un anneau unifère A (non nécessairement commutatif) est le groupe multiplicatif des matrices triangulaires supérieures de taille 3 à coefficients dans A et dont les éléments diagonaux sont égaux au neutre multiplicatif de l'anneau :

Originellement, l'anneau A choisi par Werner Heisenberg était le corps ℝ des réels. Le « groupe de Heisenberg continu », , lui a permis d'expliquer, en mécanique quantique, l'équivalence entre la représentation de Heisenberg et celle de Schrödinger. On peut généraliser sa définition en géométrie symplectique.

Le « groupe de Heisenberg discret » correspond à l'anneau ℤ des entiers.

Le groupe de Heisenberg , où p est un nombre premier, correspond au corps premier fini Fp = ℤ/p. C'est un p-groupe fini, d'ordre p3.

Structure de groupeModifier

  est un sous-groupe du groupe linéaire GL(3, A).

La loi sur A3 induite par la bijection

 

est :

 

C'est donc le produit semi-direct A⋉(A×A), le groupe additif A agissant sur le produit direct A×A par : a⋅(b, c) = (b, c + ab).

Par construction, A3 muni de cette loi est un groupe isomorphe à  , dans lequel :

  • les puissances n-ièmes sont données par  ,
  • le symétrique de   est  , donc
  • le commutateur   de   et   est  , donc
  • le groupe dérivé et le centre sont égaux à 0×0×A.

Le groupe   est par conséquent nilpotent de classe 2, donc non abélien (sauf si A est l'anneau nul, auquel cas le groupe est trivial).

Groupe de Heisenberg continuModifier

  est un groupe de Lie réel de dimension 3. Le groupe de Heisenberg discret   en est un réseau.

Géométrie symplectique linéaireModifier

Plus généralement, on peut associer un groupe de Heisenberg à tout espace vectoriel symplectique   (  est une forme bilinéaire non dégénérée alternée sur  ). Le groupe de Heisenberg   est l'espace topologique produit  , muni de la loi de groupe :

 

Le groupe   est une extension du groupe additif de  . L'algèbre de Lie de   est l'espace vectoriel  , muni du crochet de Lie

 

Groupe de Heisenberg discretModifier

Le groupe  , identifié à   muni de la loi ci-dessus, est engendré par   et  . En faisant intervenir leur commutateur  , on démontre qu'une présentation de ce groupe est donnée par trois générateurs   et trois relations :  ,   et  .

D'après le théorème de Bass,   a une croissance (en) polynomiale d'ordre 4.

Groupe de Heisenberg sur FpModifier

D'après sa structure (voir supra) :

Cas p premier impairModifier

Le groupe   est le quotient de   par le sous-groupe normal  . Comme p est impair, ce sous-groupe est constitué des puissances p-ièmes d'éléments du groupe. Une présentation de   (déduite de celle de   ci-dessus) est donc donnée par trois générateurs   et les relations :  ,  ,   et  .

L'exposant de   est p.

Cas p = 2Modifier

Le groupe   est isomorphe au groupe diédral D8. En effet, il est d'ordre 8 et engendré par les images   des générateurs   de  , ou encore par  , d'ordre 2 et  , d'ordre 4, qui vérifient  

Voir aussiModifier

Lien externeModifier

(en) Keith Conrad, « Groups of order p3 »

BibliographieModifier

(en) Daniel K. Biss et Samit Dasgupta, « A presentation for the unipotent group over rings with identity », Journal of Algebra, vol. 237, no 2,‎ , p. 691-707 (DOI 10.1006/jabr.2000.8604)