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Matrice transposée

Matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes d'une matrice
La transposée AT d'une matrice A s'obtient par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale de la matrice. La transposée de la transposée (AT)T est la matrice A d'origine.

En mathématiques, la matrice transposée (ou la transposée) d'une matrice est la matrice , également notée , ou [1], obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de .

Plus précisément, si on note pour et pour les coefficients respectivement de et de alors pour tout on a .

Par exemple, si

alors

.

PropriétésModifier

On suppose ici que K est un anneau commutatif. On note   et   deux matrices quelconques de   et   un scalaire.

  • L'application « transposition » est linéaire :
     .
  • La transposée de   est  . Par conséquent, l'application « transposition »   est bijective. C'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels. En particulier — pour les matrices carrées — c'est une involution de   ; c'est donc la symétrie par rapport au sous-espace des matrices symétriques, parallèlement à celui des matrices antisymétriques.
  • La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l'ordre inverse :
     .
  • Si une matrice carrée   est inversible, alors sa transposée l'est aussi, et la transposée de l'inverse de   est égale à l'inverse de sa transposée :
     .
  • Une matrice carrée et sa transposée ont même diagonale principale (et par conséquent même trace). En particulier, toute matrice diagonale est symétrique, c'est-à-dire égale à sa transposée.
  • Plus généralement, deux matrices carrées transposées l'une de l'autre ont même polynôme caractéristique donc mêmes valeurs propres, comptées avec leurs multiplicités (en particulier, non seulement même trace mais aussi même déterminant), et même polynôme minimal. Mieux : sur un corps, elles sont semblables[2]. Cela peut se montrer en remarquant qu'elles ont les mêmes invariants de similitude, ou bien en utilisant la réduction de Jordan, et en remarquant que  , où J est un bloc de Jordan et S une matrice de permutation antidiagonale (en).

Interprétation : dualitéModifier

Espaces euclidiensModifier

Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire f : EE' par rapport à deux bases orthonormales B et B', alors sa transposée AT est la matrice, dans les bases B' et B, de son opérateur adjoint f * : E'E, caractérisé par

 

Plus généralement, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée AT est la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir « Espace dual »).

HypergraphesModifier

Dans la théorie des hypergraphes, si l'on représente un hypergraphe par la matrice à coefficients dans {0,1} qui lui est associée, l'hypergraphe dual est défini par la transposée de cette matrice.

Cas d'un anneau de scalaires non commutatifModifier

Si   est un anneau non commutatif, on considère la transposée   d'une matrice   de   plutôt comme un élément de  , où   est l'anneau opposé de  , de manière à conserver la compatibilité avec la multiplication,

 .

Autrement dit, la transposition est un antimorphisme.

Notes et référencesModifier

  1. La norme ISO 80000-2:2009, article 2-15.7, recommande la notation  .
  2. Matthieu Romagny, Une remarque sur la transposée d'une matrice, préparation 2008-2009 à l'agrégation de mathématiques, UPMC

Voir aussiModifier

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