Demi-plan de Poincaré
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Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nikolaï Lobatchevski.
Le demi-plan de Poincaré (1882) Modifier
Le demi-plan de Poincaré est formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Il fournit un exemple de géométrie non euclidienne, plus précisément de géométrie hyperbolique.
Géométrie Modifier
On considère le demi-plan supérieur :
Métrique Modifier
On munit le demi-plan supérieur de la métrique :
Cette métrique possède une courbure scalaire constante négative :
On se ramène usuellement au cas d'une courbure unité, c’est-à-dire qu'on choisit : a = 1 pour simplifier les équations.
Géodésiques Modifier
Les géodésiques[1] sont les demi-droites (au sens euclidien) verticales : x = cte (en rouge) et les demi-cercles (au sens euclidien) perpendiculaires à l'axe des abscisses : y = 0 (en bleu) :
Homographies Modifier
Le groupe de matrices GL2+(R) agit sur cet espace, par homographies[2]. Plus précisément, soit g un élément de GL2+(R) :
Son action sur un point z du demi-plan est donnée par la transformation de Möbius :
Groupes fuchsiens Modifier
Formes automorphes Modifier
Dynamique chaotique Modifier
Le flot géodésique sur une variété riemannienne à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit. Pour plus de détails, voir la section « Dynamique chaotique » de l'article « Géométrie hyperbolique ».
Voir aussi Modifier
Notes et références Modifier
- On pourra consulter le site du mathématicien Andrew G. Bennett (université du Kansas) qui contient 3 applets java sur les géodésiques, les cercles hyperboliques et les triangles hyperboliques.
- Le groupe GL2+(R) est le sous-groupe de GL2(R) formé par les matrices de déterminant positif.
3. Le site de Christophe Bertault contient une présentation de niveau L1 pour le demi-plan de Poincaré (http://christophebertault.fr/documents/articles/Article%20-%20La%20geometrie%20hyperbolique%20du%20demi-plan%20de%20Poincare%20en%20MPSI.pdf)
