Triple produit de Jacobi

En mathématiques, le triple produit de Jacobi, dû à Charles Gustave Jacob Jacobi, est une relation qui exprime les fonctions thêta de Jacobi, normalement écrites sous forme de séries, comme un produit infini. Cette relation généralise plusieurs autres résultats, tels que le théorème des nombres pentagonaux.

Soient x et z des nombres complexes, avec |x| < 1 et z ≠ 0. Alors

$\prod _{m\in \mathbb {N} ^{*}}\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}z\right)\left(1+x^{2m-1}z^{-1}\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n^{2}}z^{n}$.

Reformulations

Ceci peut être vu comme une relation faisant intervenir les fonctions thêta. Prenons $x=\exp(\mathrm {i} \pi \tau )$ et $z=\exp(2\mathrm {i} \pi s)$ ; le membre de droite est alors la fonction thêta :

$\vartheta (s;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\mathrm {i} \pi n^{2}\tau +2\mathrm {i} \pi ns)$.

Le triple produit de Jacobi revêt une forme très compacte sous forme de q-séries : en posant $q=x^{2}$ et $c=x^{-1}z$, il se réécrit

$(q;q)_{\infty }\;(-cq;q)_{\infty }\;(-1/c;q)_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c^{n}q^{n(n+1)/2}\quad (J_{1})$

ou encore

$(q;q)_{\infty }\;(-cq;q)_{\infty }\;(-q/c;q)_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {N} }(1-c+c^{2}-\dots +c^{2n})c^{-n}q^{n(n+1)/2}\quad (J_{2})$,

où les $(a;q)_{\infty }$ sont des q-symboles de Pochhammer : $(a;q)_{\infty }=\prod _{k\in \mathbb {N} }(1-aq^{k})$.

Il prend également une forme particulièrement élégante lorsqu'il est exprimé avec la fonction thêta de Ramanujan (en) (en posant q = ab et c = 1/b) : pour $|ab|<1$,

$(ab;ab)_{\infty }\;(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a^{n(n+1)/2}b^{n(n-1)/2}$.

Corollaires

Le théorème des nombres pentagonaux d'Euler se déduit du triple produit de Jacobi en prenant $q=X^{3}$ et $c=-1/X$ dans $(J_{1})$. On obtient alors l'expression de la fonction d'Euler :

$\phi (X):=(X;X)_{\infty }=(X^{3};X^{3})_{\infty }(X^{2};X^{3})_{\infty }(X;X^{3})_{\infty }=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}X^{n(3n+1)/2}$.

En prenant $c=\pm 1$ dans $(J_{2})$, on obtient :

$\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*}}(1-X^{k})^{3}=\sum _{n\in \mathbb {N} }(-1)^{n}(2n+1)X^{n(n+1)/2}\quad {\text{et}}\quad \sum _{n\in \mathbb {N} }X^{n(n+1)/2}=\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*}}(1-X^{2k})(1+X^{k})=\prod _{k\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {1-X^{2k}}{1-X^{2k-1}}}$.

On peut se servir du triple produit de Jacobi pour démontrer l'identité du produit quintuple :

$\prod _{m\in \mathbb {N} ^{*}}(1-x^{m})(1-x^{m}z)(1-x^{m-1}z^{-1})(1-x^{2m-1}z^{2})(1-x^{2m-1}z^{-2})=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n(3n+1)/2}(z^{3n}-z^{-3n-1})$.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacobi triple product » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Fonction êta de Dedekind
• Identité du produit quintuple
• Identités de Macdonald (en)
• Identités de Rogers-Ramanujan