Foncteur

généralisation d'un morphisme mathématique
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En mathématiques, un foncteur est une construction transformant les objets d'une catégorie en ceux d'une autre catégorie, d'une façon compatible aux morphismes entre ces objets.[1] On parle alors d'une construction fonctorielle ou de fonctorialité. Une telle construction est donc un morphisme entre deux catégories.

Historiquement, les foncteurs furent introduits en topologie algébrique, associant aux espaces topologiques et aux applications continues des objets algébriques tels que les groupes d'homotopie et les morphismes de groupes, permettant ainsi un véritable calcul d'invariants caractérisant ces espaces.

DéfinitionsModifier

Un foncteur (ou foncteur covariant) F :    d'une catégorie   dans une catégorie   est la donnée[2],[3]

  • d'une fonction qui, à tout objet X de  , associe un objet F(X) de  ,
  • d'une fonction qui, à tout morphisme f : XY de  , associe un morphisme F(f) : F(X) → F(Y) de  ,

qui

  • respectent les identités : pour tout objet X de  , 
  • respectent la composition : pour tous objets X, Y et Z et morphismes f : XY et g : YZ de  , 

En d'autres termes, un foncteur préserve les domaines et codomaines des morphismes, les flèches identités et la composition.

Un foncteur contravariant G d'une catégorie   dans une catégorie   est un foncteur covariant de la catégorie opposée  op (celle obtenue en inversant le sens des flèches dans  ) dans  . À tout morphisme f : XY de  , il associe donc un morphisme G(f) : G(Y) → G(X) de  , et l'on a la « relation de compatibilité » G(gf) = G(f) ∘ G(g).

ExemplesModifier

  • Le foncteur identité d'une catégorie  , souvent noté 1  ou id  :   , qui envoie chaque objet et morphisme de   sur lui-même.
  • Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets :
    • le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie des groupes (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien). On a de même des foncteurs d'oubli[4] de Grp dans la catégorie Mon des monoïdes et dans celle des H-espaces, et de Ab dans la catégorie des monoïdes commutatifs ;
    • le foncteur de Grp dans Set qui à un groupe associe son ensemble sous-jacent (on a « oublié » la structure de groupe).
  • Pour tout objet X d'une catégorie   localement petite, les deux foncteurs Hom :  Set : Y ↦ Hom (X, Y) (covariant) et Y ↦ Hom (Y, X) (contravariant). Ces foncteurs sont liés au lemme de Yoneda et à la notion de foncteur représentable.
  • Le foncteur constant est le foncteur qui envoie tous les objets de la catégorie de départ sur le même objet de la catégorie d'arrivée et qui envoie chaque flèche de la catégorie de départ sur l'identité de l'objet image. C'est l'objet terminal de la catégorie des foncteurs.
  • Entre deux monoïdes (qui sont des catégories à un seul objet), les foncteurs covariants sont simplement les morphismes de monoïdes.
  • Un foncteur défini d'une catégorie produit   vers une catégorie   est souvent appelé bifoncteur.
  • Le théorème de dérivation des fonctions composées exprime la fonctorialité de la différentiation. En effet, notons  la catégorie dont les objets sont les entiers naturels, et dont les morphismes   sont les matrices réelles à   lignes et   colonnes avec la multiplication matricielle pour composition. Soit   la catégorie dont les objets sont les couples   avec   et  , ayant pour morphismes les fonctions différentiables pointées. Soit   un tel morphisme (on a donc  ). La différentielle de   en   s'exprime par la matrice jacobienne   de   en  , données par les dérivées partielles de ses fonctions coordonnées. Cela définit l'action sur les morphismes d'un foncteur  . Pour les objets,   envoie   vers l'entier  . Étant donné   un autre morphisme, la fonctorialité de   correspond à l'égalité  , c'est-à-dire au théorème de dérivation des fonctions composées. Plus généralement, on aurait pu définir les objets de   comme les couples (  avec   un ouvert de   pour un certain  , et   , avec les applications différentiables pointées entre de tels ouverts comme morphismes[5].
  • Soit   un anneau commutatif et   un  -module. Le produit tensoriel   par  , qui associe à un  -module   le produit tensoriel  , est un foncteur de la catégorie des  -modules vers elle-même. Un autre exemple est donné par l'extension des scalaires.

Propriétés de foncteursModifier

Foncteurs fidèles, pleins, pleinement fidèlesModifier

On dit qu'un foncteur F :    est :

  • fidèle si deux morphismes f, g : XY dans   sont égaux dès que leurs images F(f), F(g) : F(X) → F(Y) dans   le sont ;
  • plein si tout morphisme F(X) → F(Y) est égal à un F(f) ;
  • pleinement fidèle s'il est à la fois fidèle et plein.
Exemples
  • Un morphisme de monoïdes (cf. dernier exemple ci-dessus) est fidèle si et seulement s'il est injectif, et plein si et seulement s'il est surjectif.
  • Les foncteurs d'oubli de Ab dans Grp et de Grp dans Mon sont pleinement fidèles.
  • Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est fidèle (mais pas plein) ; plus généralement, si F est l'inclusion d'une sous-catégorie   dans une catégorie  , alors il est fidèle.

Foncteurs conservatifsModifier

Trivialement, tout foncteur F :    préserve les isomorphismes, c'est-à-dire que si f est un isomorphisme dans   alors F(f) est un isomorphisme dans  .

Le foncteur F est dit conservatif si réciproquement, un morphisme f dans   est un isomorphisme dès que F(f) en est un dans  .

Exemples
  • Un morphisme F de monoïdes (cf. fin du § « Exemples » ci-dessus) est conservatif si et seulement si tout antécédent par F d'un élément inversible est inversible.
  • Tout foncteur pleinement fidèle est conservatif.
  • Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est conservatif.

Foncteurs adjointsModifier

Soient   et   deux catégories, F un foncteur de   dans   et G de   dans  , tels que pour tout objet   et   on ait une bijection, naturelle en X et Y,

 

Alors F est dit adjoint à gauche de G, et G adjoint à droite de F.

Équivalence de catégoriesModifier

Un foncteur F :    est appelé une équivalence de catégories s'il existe un foncteur G :    et un isomorphisme naturel de foncteurs entre GF (resp. FG) et l'identité sur   (resp.  ). L'équivalence de catégories est une notion plus générale que celle d'isomorphisme de catégories.

RemarquesModifier

  • Les foncteurs sont parfois appelés morphismes pour la catégorie Cat des petites catégories.

Notes et référencesModifier

  1. Riehl 2016, page xii.
  2. (en) Steve Awodey, Category theory - Second edition, Oxford logic guides, p. 8, Def. 1.2
  3. (en) D.E. Rydeheard and R.M. Burstall, Computational Category Theory, Prentice Hall, , p. Chapter 3, Section 3.5, Definition 3
  4. (en) Horst Schubert (en), Categories, Springer, (lire en ligne), p. 241.
  5. Riehl 2016, Example 1.3.2 (x) page 14.

BibliographieModifier

(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]

(en) Emily Riehl, Category Theory in Context [détail de l’édition] (lire en ligne)

Voir aussiModifier