Foncteur

généralisation d'un morphisme mathématique
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Dans la théorie des catégories, un foncteur est une construction transformant les objets et morphismes d'une catégorie en ceux d'une autre catégorie, d'une façon compatible[1]. On parle alors d'une construction fonctorielle ou de fonctorialité. Une telle construction est donc un morphisme entre deux catégories.

Historiquement, les foncteurs furent introduits en topologie algébrique, associant aux espaces topologiques et aux applications continues des objets algébriques tels que les groupes d'homotopie et les morphismes de groupes, permettant ainsi un véritable calcul d'invariants caractérisant ces espaces.

Définitions

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Un foncteur covariant (ou simplement foncteur)   d'une catégorie   dans une catégorie   est constitué des données suivantes :

  • pour tout objet   de  , un objet de  , noté  [2] ;
  • pour toute flèche   de  , une flèche de  , notée  , de source   et de but  .

On impose les deux axiomes suivants :

  • pour tout objet X de  ,   ;
  • pour tout couple   de flèches composables de  ,  

En d'autres termes, un foncteur préserve les domaines et codomaines des morphismes, les flèches identités et la composition.

Un foncteur contravariant G d'une catégorie   dans une catégorie   est un foncteur covariant de la catégorie opposée  op (celle obtenue en inversant le sens des flèches dans  ) dans  . À tout morphisme f : XY de  , il associe donc un morphisme G(f) : G(Y) → G(X) de  , et l'on a la « relation de compatibilité » G(gf) = G(f)G(g).

Exemples

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  • Le foncteur identité d'une catégorie  , souvent noté 1  ou id  :   , qui envoie chaque objet et morphisme de   sur lui-même.
  • Considérons trois villes : Paris, Rome et Amsterdam. La catégorie a pour objets ces trois villes. Hom(Paris, Rome) est l'ensemble des chemins de Paris à Rome par exemple. Prenons une carte qui représente ces chemins ; un foncteur consiste à représenter la situation sur une carte avec une perte d'information du fait de l'échelle[3].
  • Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets :
    • le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie des groupes (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien). On a de même des foncteurs d'oubli[4] de Grp dans la catégorie Mon des monoïdes et dans celle des H-espaces, et de Ab dans la catégorie des monoïdes commutatifs ;
    • le foncteur de Grp dans Set qui à un groupe associe son ensemble sous-jacent (on a « oublié » la structure de groupe) et à tout homomorphisme de groupes f l'application sous-jacente |f|. On définit de même d'autres foncteurs "d'oubli de structure", par exemple: de Top dans Ens; de la catégorie des anneaux dans Ab, de la catégorie des groupes topologiques dans Gr, de la catégorie des variétés analytiques dans la catégorie des variétés différentielles[2]...
  • Pour tout objet X d'une catégorie   localement petite, les deux foncteurs Hom :  Set : Y ↦ Hom (X, Y) (covariant) et Y ↦ Hom (Y, X) (contravariant). Ces foncteurs sont liés au lemme de Yoneda et à la notion de foncteur représentable.
  • Le foncteur constant est le foncteur qui envoie tous les objets de la catégorie de départ sur le même objet de la catégorie d'arrivée et qui envoie chaque flèche de la catégorie de départ sur l'identité de l'objet image. C'est l'objet terminal de la catégorie des foncteurs.
  • Entre deux monoïdes (qui sont des catégories à un seul objet), les foncteurs covariants sont simplement les morphismes de monoïdes.
  • Un foncteur défini d'une catégorie produit   vers une catégorie   est souvent appelé bifoncteur.
  • Le théorème de dérivation des fonctions composées exprime la fonctorialité de la différentiation. En effet, notons  la catégorie dont les objets sont les entiers naturels, et dont les morphismes   sont les matrices réelles à   lignes et   colonnes avec la multiplication matricielle pour composition. Soit   la catégorie dont les objets sont les couples   avec   et  , ayant pour morphismes les fonctions différentiables pointées. Soit   un tel morphisme (on a donc  ). La différentielle de   en   s'exprime par la matrice jacobienne   de   en  , données par les dérivées partielles de ses fonctions coordonnées. Cela définit l'action sur les morphismes d'un foncteur  . Pour les objets,   envoie   vers l'entier  . Étant donné   un autre morphisme, la fonctorialité de   correspond à l'égalité  , c'est-à-dire au théorème de dérivation des fonctions composées. Plus généralement, on aurait pu définir les objets de   comme les couples (  avec   un ouvert de   pour un certain  , et   , avec les applications différentiables pointées entre de tels ouverts comme morphismes[5].
  • Soit   un anneau commutatif et   un  -module. Le produit tensoriel   par  , qui associe à un  -module   le produit tensoriel  , est un foncteur de la catégorie des  -modules vers elle-même. Un autre exemple est donné par l'extension des scalaires.
  • Le foncteur  , Ensemble des parties, associe à chaque ensemble   l'ensemble   de tous ses sous-ensembles et à chaque fonction   la fonction   qui applique chaque sous-ensemble   de   sur son image   (incluse dans  )[6].
  • Soit la catégorie des espaces vectoriels sur un corps K. On définit un foncteur contravariant de la catégorie dans elle-même en faisant correspondre à tout-espace vectoriel E son dual E* et à toute application linéaire u : EF sa transposée tu : F* → E*.[7]
  • Soit E et E' deux ensembles préordonnés et f une application croissante de E dans E'. On définit un foncteur   de la catégorie  associée à E dans la catégorie   associée à E' en posant   pour tout objet x de  , l'action sur les flèches étant alors évidente[2].

Propriétés de foncteurs

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Foncteurs fidèles, pleins, pleinement fidèles

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On dit qu'un foncteur F :    est :

  • fidèle si deux morphismes f, g : XY dans   sont égaux dès que leurs images F(f), F(g) : F(X) → F(Y) dans   le sont ;
  • plein si tout morphisme F(X) → F(Y) est égal à un F(f) ;
  • pleinement fidèle s'il est à la fois fidèle et plein.
Exemples
  • Un morphisme de monoïdes (cf. § « Exemples » ci-dessus) est fidèle si et seulement s'il est injectif, et plein si et seulement s'il est surjectif.
  • Les foncteurs d'oubli de Ab dans Grp et de Grp dans Mon sont pleinement fidèles.
  • Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est fidèle (mais pas plein) ; plus généralement, si F est l'inclusion d'une sous-catégorie   dans une catégorie  , alors il est fidèle.

Foncteurs conservatifs

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Trivialement, tout foncteur F :    préserve les isomorphismes, c'est-à-dire que si f est un isomorphisme dans   alors F(f) est un isomorphisme dans  .

Le foncteur F est dit conservatif si réciproquement, un morphisme f dans   est un isomorphisme dès que F(f) en est un dans  .

Exemples
  • Un morphisme F de monoïdes (cf. § « Exemples » ci-dessus) est conservatif si et seulement si tout antécédent par F d'un élément inversible est inversible.
  • Tout foncteur pleinement fidèle est conservatif.
  • Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est conservatif.

Foncteurs adjoints

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Soient   et   deux catégories, F un foncteur de   dans   et G de   dans  , tels que pour tout objet   et   on ait une bijection, naturelle en X et Y,

 

Alors F est dit adjoint à gauche de G, et G adjoint à droite de F.

Équivalence de catégories

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Un foncteur F :    est appelé une équivalence de catégories s'il existe un foncteur G :    et un isomorphisme naturel de foncteurs entre GF (resp. FG) et l'identité sur   (resp.  ). L'équivalence de catégories est une notion plus générale que celle d'isomorphisme de catégories.

Remarque

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Les foncteurs sont parfois appelés morphismes pour la catégorie Cat des petites catégories.

Notes et références

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  1. (en) Emily Riehl, Category Theory in Context [détail de l’édition] (lire en ligne), p. xii.
  2. a b et c Georges Poitou et Paul Jaffard, Introduction aux catégories et aux problèmes universels, Paris, Ediscience, p. 65.
  3. Cet exemple est proposé par Anatole Khelif (maître de conférences à l'université Paris Diderot) dans « Les catégories pour les nuls », sur YouTube, .
  4. (en) Horst Schubert, Categories, Springer, (lire en ligne).
  5. Riehl, Example 1.3.2 (x) page 14.
  6. Saunders MacLane et Garrett Birkhoff (trad. de l'anglais par Jean Weil), Algèbre et solutions développées des exercices : structures fondamentales, les grands théorèmes, théorie de Galois, Paris, J. Gabay, (ISBN 978-2-87647-138-2, OCLC 490130463), p. 28.
  7. Cet exemple est proposé par Richard Ewen Borcherds dans « Categories2:Functors », sur YouTube.

Voir aussi

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Articles connexes

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Bibliographie

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