Calcul stochastique sur des variétés

Le calcul stochastique sur les variétés (également appelée géométrie différentielle stochastique) décrit une branche de la stochastique dans laquelle le calcul stochastique est appliquée à des variétés différentiables. Il s'agit donc de la synthèse du calcul stochastique avec la géométrie différentielle.

Un point qui crée un pont naturel entre l'analyse et la probabilité est le fait que le générateur infinitésimal d'un processus de Markov fort et continu est un opérateur elliptique du second ordre. Le générateur infinitésimal du mouvement brownien est l'opérateur de Laplace et la densité de probabilité de transition du mouvement brownien est juste le noyau de la chaleur minimum de l'équation de la chaleur. Si les chemins browniens sont interprétés comme des courbes caractéristiques de l'opérateur, la solution d'un problème avec cet opérateur peut être représentée comme un mouvement brownien.

Les objets d'investigation dans le calcul stochastique sur les variétés sont les processus stochastiques sur des espaces d'états non linéaires ou variétés. La théorie classique est reformulée dans une représentation sans coordonnées, une difficulté est qu'il n'est généralement pas possible de formuler le tout sur avec des coordonnées. Une conséquence de ceci est que pour la définition de la martingale et du mouvement brownien sur une variété, des structures géométriques supplémentaires telles que connexions linéaires et métrique riemannienne sont obligatoires.

Le mouvement brownien est défini comme le processus de diffusion d'une variété relative générée par la moitié de l'opérateur de Laplace-Beltrami et peut être construit comme solution d'une équation différentielle stochastique (EDS) non canonique sur une variété riemannienne. Parce que l'opérateur sur une variété non parallélisable n'a pas de représentation naturelle sous forme de Hörmander, il n'y a pas non plus de procédure canonique pour construire le mouvement brownien. Cependant ce problème peut être résolu pour les variétés avec une connexion en introduisant le relèvement horizontal stochastique d'une semi-martingale et le développement stochastique avec la construction d'Eells-Elworthy-Malliavin[1],[2].

Le premier est une généralisation du relèvement horizontal des courbes différentiables aux courbes horizontales dans le fibré des repères, de sorte que l'anti-développement et le relèvement horizontal sont liés par une équation différentielle stochastique. Cela permet à son tour de considérer une EDS sur le fibré des repères orthonormaux d'une variété riemannienne, dont la solution est le mouvement brownien, et celle-ci est projetée sur la variété via un développement stochastique. En tant qu'interprétation picturale, cela équivaut à construire un mouvement brownien sphérique en "roulant sans glisser" (en anglais : rolling without slipping) la variété le long des trajectoires du mouvement brownien dans l'espace euclidien.

Avant-propos

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Par souci de clarté, on suppose pour tous les termes (s'ils ne sont pas explicitement formulés) qu'un espace de probabilité filtré   et une variété différentiable   existent. La filtration   satisfait aux conditions habituelles. On utilise l'intégrale de Stratonovich, qui a l'avantage sur l'intégrale d'Itō que les équations différentielles stochastiques sous difféomorphismes   entre variétés restent cohérent, c'est-à-dire que si   est une solution, alors   est aussi une solution de l'équation différentielle stochastique transformée.

Notation:

  •   est le fibré tangent de  .
  •   est le fibré cotangent de  .
  •   est le  -module des champs vectoriels sur  .
  •   est l'intégrale de Stratonovich.
  •   est l'espace de fonctions de test sur  , c'est-à-dire   est infiniment dérivable et a un support compact.
  •   le compactifié d'Alexandrov.

Équations différentielles stochastiques sur une variété

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Processus de flux

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Les processus de flux (également appelés  -diffusions) sont la contrepartie stochastique des courbes intégrales (lignes de flux) d'un champ vectoriel. Contrairement à la variante déterministe, le flot est défini par rapport à un opérateur différentiel du second ordre.

Opérateur différentiel partiel sous forme de Hörmander

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Soit   un champ vectoriel dérivé de le  -isomorphisme

 

pour  . La fonction   est défini par  . On définit maintenant la composition   pour  .

Un opérateur différentiel partiel (ODP)   est alors en forme de Hörmander si les champs vectoriels   existent et   est de la forme

 

Processus de flux

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Soit   un opérateur différentiel partiel sous forme de Hörmander sur   et   un point de départ. Un processus   adapté et continu sur   avec   est appelé processus de flux de   avec départ point   si pour chaque fonction de test   et   le processus

 

est une martingale, c'est-à-dire

 .

Remarque

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Pour une fonction de test  , un opérateur différentiel partiel   sous forme de Hörmander et un processus de flux   (avec valeur initiale  ) les équations de flux ne s'appliquent qu'en moyenne

 

contrairement au cas déterministe, et le ODP est obtenu à nouveau par  .

Durée de vie et temps d'explosion

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Soit   un ensemble ouvert et non vide et   un temps d'arrêt prévisible. On appelle   la durée de vie d'une semi-martingale continue   sur   si

  • il existe une suite de temps d'arrêt   avec  , pour lequel   tient  -presque sûrement sur l'ensemble  .
  • le processus arrêté   est une semimartingale.

Si   vaut aussi pour presque tous   , on appelle   temps d'explosion.

Un processus de flux   peut avoir une durée de vie finie  . Cela signifie que   est défini de telle sorte que si   alors  -presque sûrement sur   que   dans la compactifié d'Alexandrov  . Dans ce cas, on continue le processus chemin par chemin via   pour  .

Semimartingale sur une variété

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Un processus   est une semimartingale sur   si et seulement si pour tout   la variable   est une semimartingale  . On peut montrer que chaque semimartingale   est la solution d'une équation différentielle stochastique sur  . Si la semi-martingale n'est définie que jusqu'à une durée de vie finie  , on peut toujours construire une semi-martingale à durée de vie infinie par transformation temporelle. Une semi-martingale a une variation quadratique par rapport à une coupure dans le faisceau de formes bilinéaires sur  .

Avec l'introduction du concept d'intégrale de Stratonowitsch d'une forme différentielle   le long d'une semi-martingale  , la soi-disant comportement d'enroulement de  , une généralisation des indices.

EDS sur une variété

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Une équation différentielle stochastique sur une variété  , notée EDS sur  , peut être définie soit comme un couple   par un homomorphisme de fibré (un homomorphisme de fibrés vectoriels), soit comme  -uplet   pour des champs vectoriels donnés. À l'aide du théorème de plongement de Whitney, on peut montrer que pour chaque EDS sur   avec la condition initiale   il y a exactement une solution maximale existe. Si on a une solution maximale, on obtient un processus de flux   pour l'opérateur  .

Définition d'une équation différentielle stochastique sur une variété

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Une EDS sur   est un couple  , où

  •   est une semi-martingale continue sur un  -espace vectoriel   de dimension finie.
  •   est un homomorphisme de fibré vectoriels sur  
 
  est une application linéaire.

On écrit l'équation différentielle stochastique   comme

 

ou

 

Ce dernier est expliqué par   par rapport à une base   et  -semimartingales   avec  .

Puisque pour des champs de vecteurs donnés   il existe exactement un homomorphisme de fibrés vectoriels   avec la propriété  , la validité de la définition d'un EDS sur   comme   en découle.

Si   n'a qu'une durée de vie finie, alors on peut transformer le temps dans le cas infini[3].

Solution d'une équation différentielle stochastique sur une variété

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Soit   une EDS sur   et   un variable aléatoire  -mesurable. Soit   un  -processus continu et adapté avec une durée de vie   sur le même espace de probabilité que  . Alors   est une solution d'une EDS

 

à la condition initiale   jusqu'à la durée de vie  , si pour chaque fonction de test   le processus   est une semi-martingale à valeurs dans   et pour chaque temps d'arrêt   avec   l'équation

 

est remplie  -presque sûrement, où   est la différentielle à  . Il découle du fait que   est une semi-martingale pour toute fonction de test   que   est une semimartingale sur  .

Si la durée de vie est maximale, c'est-à-dire

 

 -presque sûrement, on appelle la solution une solution maximale. Le temps d'une solution maximale   peut être étendu à   et après la continuation de   à   ce qui suit est vrai

 

jusqu'à des processus indistinguables[3].

Remarque

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Soit   avec un mouvement brownien  -dimensionnel  , alors on peut montrer que chaque solution maximale avec la valeur de départ   est un processus de flux vers l'opérateur

 

est.

Martingale et le mouvement brownien

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Les mouvements browniens sont des flux stochastiques des opérateurs de Laplace-Beltrami. Il est possible de les construire sur des variétés riemanniennes  , cependant, comme mentionné dans l'introduction, une procédure canonique nécessite une approche différente. Soit   le groupe orthogonal, puis on considère une EDS canonique sur le fibré des repères orthonormaux   sur   dont la solution est le mouvement brownien. Le fibré de base orthonormé est la totalité de tous les ensembles   du repère orthonormé de l'espace tangent  

 

ou en d'autres termes, le  -fibré principal associé à  .

 
La construction d'Eells-Elworthy-Malliavin du mouvement brownien sur une variété  

Soit   une semi-martingale à valeur dans  . La solution   de EDS

 

définit par la projection   un mouvement brownien   sur la variété riemannienne, un développement stochastique de   à  . Inversement,   est appelé anti-développement de   ou  . En bref, on a la relation suivante  

  •   est une semi-martingale à valeurs dans  .
  •   est une semi-martingale à valeurs dans  .

Pour la variété riemannienne, on utilise toujours la connexion de Levi-Civita et on prend   l'opérateur de Laplace-Beltrami correspondant. Au cœur de la construction se trouve la relation

 

définie pour   et pour tout   avec   et l'opérateur   sur   bien défini pour les champs de vecteurs horizontaux,   est aussi appelé opérateur de Laplace horizontal de Bochner.

Martingales avec une connexion linéaire

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Pour définir des martingales, il faut une relation linéaire  . Maintenant la  -martingale peut être caractérisée si son anti-développement est une martingale locale. Cependant, il est également possible de formuler le tout sans l'anti-développement.

Par   on note modulo par rapport aux différentielles de martingales locales.

Soit   une semimartingale  . Alors   est une martingale ou  -martingale si pour chaque   détient

 

Mouvement brownien sur une variété riemannienne

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Soit   une variété riemannienne avec un opérateur de Laplace-Beltrami  . Un processus adapté  -valué   avec une durée de vie maximale   est appelé mouvement brownien sur   si pour chaque   le processus

 

est une martingale   locale de durée de vie  . Le mouvement brownien est donc le processus de  -diffusion. Cependant, cette caractérisation ne fournit pas de procédure canonique pour le mouvement brownien.

Bibliographie

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  • (de) Wolfgang Hackenbroch et Anton Thalmaier, Stochastische Analysis: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale, Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden (ISBN 978-3-519-02229-9)
  • Nobuyuki Ikeda et Shinzo Watanabe, Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes, North Holland
  • Elton P. Hsu, Stochastic Analysis on Manifolds, vol. 38, American Mathematical Society, coll. « Graduate Studies in Mathematics »
  • K. D. Elworthy, Stochastic Differential Equations on Manifolds, Cambridge University Press, (DOI 10.1017/CBO9781107325609)

Références

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  1. (en) Kenneth David Elworthy, Stochastic differential equations on manifolds, vol. 70, Cambridge University Press, coll. « London Mathematical Society Lecture Notes »,
  2. (en) Paul Malliavin, Géométrie différentielle stochastique, Presses de l'Université de Montréal, coll. « Séminaire de mathématiques supérieures »,
  3. a et b (de) Wolfgang Hackenbroch et Anton Thalmaier, Stochastische Analysis: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale, Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden (ISBN 978-3-519-02229-9), p. 364