Connexion (mathématiques)

outil pour réaliser le transport parallèle en géométrie différentielle
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Transport parallèle sur une sphère

En géométrie différentielle, la connexion est un outil pour réaliser le transport parallèle. Il existe plusieurs présentations qui dépendent de l'utilisation faite. Cette notion a été développée au début des années 1920 par Élie Cartan et Hermann Weyl (avec comme cas particulier celle de connexion affine), puis reformulée en 1951 par Charles Ehresmann et Jean-Louis Koszul.

Connexion de KoszulModifier

La connexion de Koszul est un opérateur sur des espaces de sections. Elle a été introduite en 1951 par Koszul pour les fibrés vectoriels, et utilisée par Katsumi Nomizu en 1954[1].

Cet opérateur fait correspondre à toute section globale s d'un fibré vectoriel E de base B, et à tout champ de vecteurs sur B, une section globale notée   vérifiant :

  1. L'application   est  -linéaire ; autrement dit, pour toute fonction régulière  , on a :
     .
  2. la relation de Leibniz :
     .

La relation de Leibniz démontre que la valeur de   en un point b de B ne dépend que des variations de   au voisinage de b. La  -linéarité implique que cette valeur ne dépend que de  . Intuitivement, la notion de connexion a pour but de généraliser aux variétés différentielles la notion de dérivée suivant un vecteur, la quantité   pouvant être interprétée comme la dérivée de s dans la direction X.

Connexion d'EhresmannModifier

Les connexions d'Ehresmann sont des généralisations aux fibrés des connexions de Koszul. De façon plus précise, une connexion d'Ehresmann sur E est un sous-fibré régulier H de TE, le fibré tangent de E.

Connexion de Levi-CivitaModifier

Une métrique riemannienne g de classe   sur une variété différentielle M étant donnée, il existe une unique connexion de Koszul ∇ sur  , appelée connexion de Levi-Civita vérifiant les deux conditions :

  1. ∇ est sans torsion (en) : pour tous champs de vecteurs   et  ,
      ;
  2.   est parallèle : pour tous champs de vecteurs  ,   et  , on a :
 .

Voir aussiModifier

Notes et référencesModifier

NoteModifier

  1. (en) Katsumi Nomizu, Invariant affine connections on homogeneous spaces, dans Amer. J. Math., vol. 76, 1954, p. 33-65

RéférencesModifier