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En mathématiques, la méthode des caractéristiques est une technique permettant de résoudre les équations aux dérivées partielles. Particulièrement adaptée aux problèmes de transport, elle est utilisée dans de nombreux domaines tels que la mécanique des fluides ou le transport de particules.

Dans certains cas particuliers, la méthode des caractéristiques peut permettre la résolution purement analytique de l'équation aux dérivées partielles. Dans les cas plus complexes (rencontrés par exemple en modélisation des systèmes physiques), la méthode des caractéristiques peut être utilisée comme une méthode de résolution numérique du problème.

Sommaire

Méthode analytiqueModifier

Principe généralModifier

Pour une équation aux dérivées partielles du premier ordre, la méthode des caractéristiques cherche des courbes (appelées « lignes caractéristiques », ou plus simplement « caractéristiques ») le long desquelles l'équation aux dérivées partielles se réduit à une simple équation différentielle ordinaire. La résolution de l'équation différentielle ordinaire le long d'une caractéristique permet de retrouver la solution du problème original.

Exemple : Résolution analytique de l'équation de transportModifier

On cherche une fonction  :

 

solution du problème suivant :

 

dans laquelle   est une constante.

On cherche une ligne caractéristique   le long de laquelle cette équation aux dérivées partielles du premier ordre se réduirait à une équation différentielle ordinaire. Calculons la dérivée de   le long d'une telle courbe :

 

On remarquera aisément qu'en imposant   et  , on obtient :

 

La solution de l'équation reste donc constante le long de la ligne caractéristique.

Il vient ainsi trois équations différentielles ordinaires à résoudre :

  •   : en posant  , on obtient :
 
  •   : en notant  , on obtient :
 
  •   :
 

Dans ce cas, les lignes caractéristiques sont donc des droites de pente  , le long desquelles la solution reste constante. La valeur de la solution en un point   peut donc être retrouvée en cherchant la valeur de la condition initiale   à l'origine   de la ligne caractéristique :

 

Cadre général des opérateurs différentiels linéairesModifier

Soit X une variété différentiable et P un opérateur différentiel linéaire de   dans lui-même d'ordre k. En se donnant un système de coordonnées xi, P peut s'écrire sous la forme

 

où α désigne un multi-indice. Le symbole principal de P, noté σP, est la fonction sur le fibré cotangent TX défini dans un système de coordonnées local ξi par

 

où les coordonnées ξi sont induites par les différentielles dxi respectivement. Ceci permet d'assurer que σP est bien défini sur le fibré.

La fonction σP est homogène de degré k en ξ. Ces zéros, hors de la section nulle de TX, sont les caractéristiques de P. Une hypersurface de X définie par l'équation F(x) = c est appelée hypersurface caractéristique en x si

 

InvariantModifier

Les invariants de Riemann sont constants le long des courbes caractéristiques des équations aux dérivées partielles.